同济版大一高数下第七章第六节全微分方程xgppt课件.ppt

1,高等数学,第二十九讲,2,全微分方程,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第七章,3,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,一、全微分方程,则称,为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .,4,例1. 求解,解: 因为,故这是全微分方程 ,取,则有,因此方程的通解为,5,例2. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,解法二：取,通解同上。,注：,6,利用曲线积分求解:,故方程的通解为,解法1,方程为全微分方程.,例3,7,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例3,8,常用微分倒推公式:,9,这不是一个全微分方程 ,就化成例2 的方程 ：,但若在方程两边同乘,思考: 如何解方程,即,或,10,二、积分因子法,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,若存在连续可微函数,积分因子.,11,积分因子不一定唯一 .,例如, 对,可取,12,例1：求下列微分方程的通解,解法1：写成全微分方程的形式：,由于,原方程不是全微分方程,在方程两边同时乘以,得：,即,两边积分得通解：,13,解法2 化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入 ,得通解,14,解法3 化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,