同济版大一高数下第七章第七节高阶线性微分方程ppt课件.ppt

1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第三十一讲,2,高阶线性微分方程解的结构,第六节,一、线性齐次方程解的结构,二、线性非齐次方程解的结构,第七章,3,n 阶线性微分方程的一般形式为,为二阶线性微分方程.,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,自由项,P(x) , Q(x) ,f (x) 均为 x 的已知函数,P(x),Q(x)为变系数,形如,4,证毕,一、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,5,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,6,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,7,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,8,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,9,例1,10,例2：已知方程,1、验证,是方程的特解。,2、问,是否是方程的解，,解 1、,三个函数分别代入方程可知均为方程的特解。,解 2、,由解的叠加定理可知,是方程的解，,只有一个常数，,其含有两个真正的任意常数，则是,方程的通解。,特点：,（常数）,（函数）,若是、是否是通解。,但其实质是：,则不是通解。,11,二、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,12,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,定理4 若,是非齐次微分方程两个相异,的特解，则,是对应齐次微分方程的解。,13,定理 5.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),定理3, 定理5 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,14,定理6.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,15,例3.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,16,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例4.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),17,P331 1（8）, 3,作业,18,定理7、,若函数,是方程,的解。,且,分别是,与,的解。,推论：若,是方程,的解，则,