中南大学线性代数5.3 正定二次型ppt课件.ppt

第三节 正定二次型,第五章,二、 正（负）定二次型的概念,一、 惯性定理,三、 正（负）定二次型的判别,四、 小结,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面限定所用变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质,二次型的标准形中正系数的项数称为二次型的正惯性指数，负系数的项数称为二次型的负惯性指数.,二、正(负)定二次型的概念,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式都为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,注意：正定矩阵必须为实对称矩阵,提示 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,提示 利用正定矩阵的定义,逆否命题：若矩阵主对角线上的某个元素小于或等于0，则此矩阵一定不为正定矩阵,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.,思考题,说明：此题也可由特征值判别法判别,于是,