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    专题七二次函数等腰三角形的存在性问题ppt课件.ppt

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    专题七二次函数等腰三角形的存在性问题ppt课件.ppt

    专题七 二次函数综合题,类型一等腰三角形的存在性问题(遵义2017.27(1),2014.27(2);铜仁2015.25(2);安顺2017.26(2),【方法指导】,典例精讲,例 如图,直线yx3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线yax2bxc经过点A、C,与x轴交于另一点B,且B(1,0)(1)求该抛物线的解析式;【思维教练】,例题图,解:把y0代入yx3中,得0 x3,解得x3,点A坐标为(3,0),把x0代入yx3中,得y033,点C坐标为(0,3),把A(3,0),B(1,0),C(0,3),分别代入yax2bxc中,得 ,解得 ,抛物线的解析式为yx22x3;,(2)点D是y轴上一动点,若BDCD,求此时点D的坐标;【思维教练】,例题图,解:如解图,设D(0,d ),在RtODB中,ODd,OB1,BD2OD2OB2d 21,CD2(3d )2,BDCD,d21(3d )2,解得d ,点D的坐标为(0, );,例题解图,(3)在抛物线上是否存在点E,使EAC是以AC为底的等腰三角形?若存在,求出点E的坐标;,例题图,【思维教练】若EAC是以AC为底的等腰三角形,则EAEC,即点E在线段AC的垂直平分线上,又因为点E在抛物线上,所以作线段AC的垂直平分线与抛物线的交点即为所求,解:存在如解图,过点O作OHAC于点H,交抛物线于点E1,E2,连接E1A,E1C,E2A,E2C.OAOC3,OHAC,AHCH,OH是AC的垂直平分线,E1AE1C,E2AE2C,易知直线OH的函数解析式为yx,,例题解图,联立 ,解得 , ,综上所述,存在点E,使EAC是以AC为底的等腰三角形,点E的坐标为E1( , ),E2 ( , ) ;,例题解图,(4)点F是直线AC上一动点,连接BC,若BCF是以BC为腰的等腰三角形,求出点F的坐标;,例题图,【思维教练】BCF是以BC为腰的等腰三角形,则有2种情况,即BCBF或CFCB.所以找点方法如下:以B为圆心,BC长为半径画弧,与直线AC的交点即为所求;以C为圆心,CB长为半径画弧,与直线AC的交点即为所求,解:如解图,当B为顶角顶点时,以B为圆心,BC长为半径画弧,交直线AC于点F1,设F1( f, f3),由题意可得,BC210, ( f1)2( f3)22 f 24 f10,BCBF1,BC2 ,102 f 24 f10,解得 f10(舍去), f22,F1(2,1);,例题解图,如解图,当C为顶角顶点时,以C为圆心,CB长为半径画弧,交直线AC于点F2,F3,设F(m,m3),由题意可得,CF2m2(m33)22m2,BC210,CFCB,2m210,解得m1 ,m2 ,F2( , 3),F3( , 3)综上所述,满足条件的点F的坐标为F1(2,1),F2( , 3),F3( , 3);,例题解图,(5)点G是抛物线对称轴上一动点,若ACG为等腰三角形,求出点G的坐标【思维教练】动点G在抛物线对称轴上,可以先设出其点坐标,再把ACG的三边用含字母的代数式表示出来,ACG为等腰三角形,腰和底不确定,所以需分AGAC;CACG;GAGC三种情况列方程求解,例题图,解:如解图,抛物线yx22x3的对称轴是直线x 1,设G(1,n),则有AC2323218,AG21(3)2n24n2,CG212(n3)2n26n10,当ACG是等腰三角形时,情况有3种:当AGAC时,以A为圆心,AC长为半径作弧,交对称轴于G1、G2,则4n218,解得n ,G1(1, ),G2(1, );,例题解图,当CACG时,以C为圆心,CA长为半径作弧,交对称轴于G3、G4,则18n26n10,解得n3 ,G3(1,3 ),G4(1,3 );当GAGC时,作AC的垂直平分线交对称轴于G5,则4n2n26n10,解得n1,G5(1,1)综上所述,满足条件的点G的坐标为G1(1, ),G2(1, ),G3(1,3 ),G4(1,3 ),G5(1,1),针对演练,1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2bxc交x轴于点A(4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D是第二象限抛物线上的一个动点,求ADE面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形,若存在,请直接写出所有P点的坐标,(2)设直线AE的解析式为ykxb,将点A(4,0),E(0,2)代入 ykxb中,得 ,解得 ,,解:(1)由题意可得: ,解得 , 二次函数的解析式为 ;,AE所在直线解析式为y x2,如解图,过点D作DN与y轴平行,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作 EHDF,垂足为H,设D点坐标为(x0, ),则F点坐标为(x0, ),则DF ,又SADESADFSEDF,第1题解图,SADE DFAG DFEH 4DF2( ) ,当x0 时,ADE的面积取得最大值 ;,(3)存在,点P的坐标为(1,1)或(1, )或(1, )或(1,2 )或(1,2 ),【解法提示】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x1,又A(4,0),E(0,2),当APAE时,设点P坐标为(1,m),则AP2AE2,即32m2(4)2(2)2,,解得m ,点P的坐标为(1, )或(1, );当EPAE时,设点P坐标为(1,n),则EP2AE2,即12(2n)2(4)2(2)2,解得n2 ,点P 的坐标为(1,2 )或(1,2 );当APEP时,设点P坐标为(1,t),则AP2EP2,即9t21(t2)2,,解得t1,点P的坐标为(1,1)综上所述,抛物线对称轴上存在点P,使AEP为等腰三角形,点P的坐标为(1,1)或(1, )或(1, )或(1,2 )或(1,2 ).,2. 如图,抛物线y x2 x4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PMx轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PEAC交x轴于点E,交BC于点F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请直接写出此时点Q的坐标; 第2题图(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值,(2)存在,点Q( , 4)或(1,3);,解:(1)令y0,得 x2 x40.解得x13,x24.点A在点B的左侧,点A,B的坐标分别为A(3,0),B(4,0)令x0,得y4.点C的坐标为(0,4);,【解法提示】设直线BC的解析式为ykxb,将B(4,0),C(0,4)代入ykxb,得,, 解得 ,直线BC的解析式为yx4,点Q在直线BC上,且点Q的横坐标等于点P的横坐标m,点Q的坐标为(m,m4),A(3,0),C(0,4),AC2OA2OC2324225,CQ2(m0)2m4(4)22m2,AQ2m(3)2(m4)22m22m25,,要使以A,C,Q为顶点的三角形为等腰三角形,可分三种情况讨论,()当ACCQ时,即AC2CQ2,252m2,解得m1 ,m2 ,点Q在第四象限,m0,m40,0m4,mm1 ,m4 4,点Q1的坐标为( , 4);()当ACAQ时,即AC2AQ2,252m22m25,解得m30,m41,,点Q在第四象限,当m0时,不合题意舍去,m4143,点Q2的坐标为(1,3);()当AQCQ时,即AQ2CQ2,2m22m252m2,解得m5 ,当m 时,m4 ,此时点Q在第一象限,不合题意,舍去综上所述,满足使得以A,C,Q为顶点的三角形为等腰三角形的点Q坐标为( , 4)或(1,3);,(3)如解图,过点F作FGPQ于点G,则FGx轴由B(4,0),C(0,4),得OBC为等腰直角三角形OBCQFG45.FGPQ,QGF90,FQGQGFQFG904545,QFG为等腰直角三角形,GQFG FQ.PEAC,12. 第2题解图FGx轴,23.13.,FGPAOC90,FGPAOC. ,即 .GP FG FQ.QPGQGP FQ FQ FQ.FQ QP.PMx轴,点P的横坐标为m,MBQ45,QMMB4m,PM m2 m4.,QPPMQM m2 m4(4m) m2 m.QF QP ( m2 m) m2 m. 0,QF有最大值当m 2时,QF有最大值,类型二 直角三角形的存在性问题(安顺2018.26(3),【方法指导】,典例精讲,例 如图,在平面直角坐标系中,抛物线图象过点C(6,6),并与x轴交于原点O和A(4,0),且抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式,已知抛物线与x轴有两个交点,故可考虑设抛物线的两点式,再将C点代入即可,解:抛物线图象与x轴交于原点O和A(4,0),设抛物线的解析式为ya(x0)(x4),将C(6,6)代入,得a ,y x(x4),即此抛物线的解析式为y x22x;,(2)连接CD,过点A作x轴的垂线交CD于点B,连接OB,求线段OB的长;,例题图,【思维教练】要求线段OB的长度,需求得B点的纵坐标,利用勾股定理即可求出其长度,B点的横坐标已知,且在直线CD上,故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标,解:抛物线的解析式为y x22x,y (x2)22,顶点D的坐标为(2,2),设直线CD的解析式为ykxb(k0),将D(2,2),C(6,6)代入,得 ,解得 ,直线CD的解析式为y2x6,当x4时,y2, B(4,2),即AB2,OA4,在RtBOA中,由勾股定理,得OB ;,(3)连接OD, OC,判断OCD的形状,并说明理由;,例题图,【思维教练】判断OCD的形状,可先目测,得到初步猜想OCD为直角三角形,进而证明,得出结论,在这里DOC90的判断方法可根据勾股定理的逆定理,由三角形的边长入手,也可以从角度入手,甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90.,解:OCD是直角三角形,理由如下:由勾股定理,得OC2626272,OD222(2)28,CD2(62)2(62)280,OC2OD2CD2,OCD是直角三角形;,(4)在x轴上是否存在一点E,使COE是以OC为斜边的直角三角形;,例题图,【思维教练】要使COE是以OC为斜边的直角三角形,则OEC90,故过点C作x轴的垂线,垂足即为所求,解:存在,如解图,过点C作CEx轴于点E,则COE是以OC为斜边的直角三角形C(6,6),E(6,0);,例题解图,(5)点N是抛物线上一动点,且DCN为直角三角形,求出点N的坐标,例题图,【思维教练】要使DCN为直角三角形,需对哪个点作直角顶点进行讨论,故需分DCN90,CDN90,DNC90这三种情况讨论,解:DCN为直角三角形,分以下三种情况讨论:当DCN90时,如解图,由(2)可知直线CD的解析式为y2x 6,CNCD,设直线CN的解析式 y xa,直线CN过点C(6,6),a9,直线CN的解析式为 y x9,联立 , 解得 (舍去), ,N1(3, );,例题解图,当CDN90时,如解图, 点N在抛物线上,故可设点N的坐标为(x, x22x),D(2,2),C(6,6),CN2(x6)2( x22x6)2,DN 2(x2)2( x22x2)2,CD2(62)2(62)280,CDN90,在RtCDN中,CN 2DN 2CD 2,即(x6)2( x22x6)2(x2)2( x22x2)280,解得x11,x22(舍去)将x1代入y x22x中,得y ,N2(1, );,例题解图,当DNC90时,如解图,设CD中点为B,由(3)可知OCD为直角三角,以点B为圆心,CD为直径的圆与抛物线交于点O,此时N3(0,0)综上所述,DCN为直角三角形时,点N的坐标为N1(3, ),N2(1, ),N3(0,0),例题解图,针对演练,1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,直线ykxn(k0)经过B、C两点已知A(1,0),C(0,3),且BC5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 第1题图,解:(1)点C的坐标为(0,3),OC3,在RtBOC中,OC3,BC5,OB 4,点B的坐标为(4,0),将点B(4,0),点C(0,3)代入直线ykxn(k0)中,得 ,解得 ,直线BC的解析式为y= x3,,点A(1,0),B(4,0),C(0,3)在抛物线上, ,解得 ,抛物线的解析式为 ;(2)存在由(1)知抛物线解析式为 ,,对称轴l为直线x= = ,设点P的坐标为( ,t),如解图,过点C作CDl于点D,连接PC,PB,设直线l与x轴的交点为点M,则点D的坐标为( ,3),点M的坐标为( ,0),第1题解图则CD ,PD|t3|,PM|t|,BM4 ,PC2CD2PD2 (t3)2,PB2PM2BM2t2 ,BC225,,当BCP是直角三角形时,则有:()当BCP90时,即PCBC,PC2BC2PB2,即 (t3)225t2 ,解得t= ,此时点P的坐标为( , );()当PBC90时,即BPBC,BP2BC2PC2,即t2 25 (t3)2,解得t2,此时点P的坐标为( ,2);()当BPC90时,即CPBP,BP2PC2BC2,即t2 (t3)225,,解得t1 ,t2 ,此时点P的坐标为( , ),( , )综上所述,存在满足条件的点P,点P的坐标为( , )或( , )或( , ),2. 设抛物线的解析式为yax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);过点B2( ,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A2;过点Bn( )n1,0)(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An.连接AnBn1,得RtAnBnBn1.(1)求a的值;(2)直接写出线段AnBn,BnBn1的长(用含n的式子表示);第2题图,(2)AnBn( )2n3,BnBn1( )n.AnBn232n,2( )n12,2( )2n2或2 ,BnBn12n或( )n1( )n;,(3)在系列RtAnBnBn1中,探究下列问题:当n为何值时,RtAnBnBn1是等腰直角三角形?设1kmn(k,m均为正整数),问:是否存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,说明理由,解:(1)点A1(1,2)在抛物线上,2a12,得a2;,(3)由AnBnBnBn1,得( )2n3( )n,解得n3,所以,当n3时,RtAnBnBn1是等腰直角三角形;依题意得:AkBkBk1AmBmBm190,()当RtAkBkBk1RtAmBmBm1时, ,即 , , 第2题解图所以,km,(舍去);,()当RtAkBkBk1RtBm1BmAm时, ,即 , ,2k3mk2m3,mk6,1kmn(k,m均为正整数),取 或 ,,当 时,RtA1B1B2RtB6B5A5,相似比为: 2664;当 时,RtA2B2B3RtB5B4A4,相似比为: 238.,类型三特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3);铜仁2018.25(2),【方法指导】平行四边形的判定,矩形、菱形的判定方法参照中平行四边形的判定,典例精讲,例已知抛物线yax2bxc经过点A (1,0),B(3,0),C(0,3)三点(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴;,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式,需将A,B,C三点坐标代入yax2bxc中,解方程组即可;把抛物线一般式化成顶点式,可得抛物线的顶点坐标和对称轴,解:将点A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点代入yax2bxc中,得 ,解得 ,抛物线的解析式为yx24x3.把yx24x3化成顶点式为y(x2)21,抛物线的顶点坐标为(2,1),对称轴是直线x2;,(2)过点C作CD平行于x轴,交抛物线对称轴于点D,试判断四边形ABDC的形状,并说明理由;,例题图,【思维教练】要判断四边形ABDC的形状,观察发现:四边形ABDC为平行四边形,结合已知条件有CDAB,再设法证明ABCD即可,解:四边形ABDC是平行四边形理由如下:D点在抛物线的对称轴上,CDx轴,D点的横坐标为2,即CD2,A (1,0),B(3,0),AB2,ABCD,又CDAB,四边形ABDC是平行四边形;,(3)如果点G是直线BC上一点,点H是抛物线上一点,是否存在这样的点G和H,使得以G,H,O,C为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点H的坐标;,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H,由于OC的长度和位置确定,所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等,据此可求出点H的坐标,解:存在,如解图,设直线BC的解析式为ykxb(k0),将点B(3,0),C(0,3)代入可得: ,解得 ,直线BC的解析式为yx3.点G在直线BC上,点H在抛物线上,且以点G,H,O,C构成的四边形是以OC为边的平行四边形,GHx轴,GHOC,设G点坐标为(n,n3),H点坐标为(n,n24n3),,例题解图,GHOC3,GH|n24n3(n3)|n23n|3,当n23n3时,解得n ;当n23n3时,方程无解;当n 时,n24n3 ;当n 时,n24n3 .综上所述,存在这样的点G和H,使得以G,H,O,C为顶点的四边形是平行四边形,点H的坐标为( , )或( , ) ;,例题解图,(4)如果点M在直线BC上,点N在抛物线上,是否存在这样的点M和N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点N的坐标;,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N,因为AB长度和位置确定,故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论:当AB为边时,则MNAB,且MNAB,据此可求出点N的坐标;当AB为对角线时,则MN与AB互相平分,从而确定点N的坐标,解:存在点M,N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形当AB为平行四边形的边时,需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边),如解图,()当点M在点N的左边时,设点N的坐标为(m,m24m3),则点M的坐标为(m2,m5),四边形ABNM是平行四边形,m24m3m5,解得m ,当m 时,m24m3 ;当m 时,m24m3 .点N的坐标为( , )或( , ) ;,例题解图,()当点M在点N的右边时,设点N的坐标为(m,m24m3),则点M的坐标为(m2,m1),四边形ABMN是平行四边形,m24m3m1,解得m1或2,当m1时,点N与点A重合,故舍去;当m2时,m24m31,点N的坐标为(2,1);,当AB为平行四边形的对角线时,则MN与AB互相平分,如解图,AB与MN相交于点J,易得J(2,0),易得AJNJBJMJ,设M(m,m3),N(n,n24n3),则有 2,m3n24n30,整理,得n23n20,解得n11(舍去),n22,N点坐标为(2,1)综上所述,点N的坐标为( , ) , ( , ) ,(2,1);,例题解图,(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K,点P是抛物线对称轴上一点,点Q为y轴上一点,是否存在这样的点P和Q,使得四边形CKPQ是菱形?如果存在,请求出点P的坐标;,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点P,由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定,则CK为菱形的边,故利用KPCK上下平移直线BC,与抛物线对称轴的交点即为所求点P.,解:存在理由如下:K点的坐标为(2,1),CK ,假如存在这样的点P,使得四边形CKPQ为菱形,则KPCK2 ,如解图,当点P在点K的下方时,点P1的坐标为(2,12 ),当点P在点K的上方时,点P2的坐标为(2,12 )点P的坐标为(2,12 )或(2,12 );,例题解图,(6)若点R是抛物线对称轴上一点,点S是平面直角坐标系内任一点,是否存在满足条件的点R、S,使得四边形BCRS为矩形?若存在,求出点R、S的坐标,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点R、S,要使四边形BCRS为矩形,则点R在直线BC上方,且BCR90,可通过寻找相似三角形利用相似求出点R,再根据矩形性质求出点S.,解:存在,如解图,要使四边形BCRS为矩形,抛物线对称轴交x轴于点T,则BCR90,CRKTBK, ,由(5)知,K(2,1),CK2 ,T(2,0),TK1,BK ,RK 4,R(2,5),CBRS,CBRS,根据点平移及矩形性质可得S(5,2)故存在满足条件的点R、S,使得四边形BCRS为矩形,且点R、S的坐标分别为R(2,5),S(5,2),例题解图,针对演练,解:(1)设抛物线的解析式为yax2bxc,将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式,得 ,解得 ,抛物线的解析式为y x2 x4,配方,得y (x )2 ,顶点坐标为( , ); (2)设E点坐标为(x, x2 x4),S2 OAyE6( x2 x4),即S4x228x24;,(3)平行四边形OEAF的面积为24时,平行四边形OEAF可能为菱形,理由如下:当平行四边形OEAF的面积为24时,即4x228x2424,化简,得x27x120,解得x3或4,当x3时,EOEA,则平行四边形OEAF为菱形;当x4时,EOEA,则平行四边形OEAF不为菱形平行四边形OEAF的面积为24时,平行四边形OEAF可能为菱形,解:(1)C1与C2关于y轴对称,C1与C2交点一定在y轴上,且C1与C2的形状、大小均相同,a1,n3,C1的对称轴为x1,C2的对称轴为x1,m2,C1:yx22x3,C2:yx22x3;(2)令C2中y0,则x22x30,解得x13,x21,点A在点B左侧,A(3,0),B(1,0);(3)存在如解图,设P(a,b),,第2题解图,四边形ABPQ是平行四边形,PQAB4,Q(a4,b)或(a4,b)当Q(a4,b)时,得a22a3(a4)22(a4)3,解得a2,ba22a34435,P1(2,5),Q1(2,5);当Q(a4,b)时,得a22a3(a4)22(a4)3,解得a2,ba22a34433.P2(2,3),Q2(2,3)综上所述,所求点的坐标为P1(2,5),Q1(2,5)或P2(2,3),Q2(2,3),类型四相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3)【方法指导】ABC与DEF相似,在没指明对应点的情况下,理论上应分六种情况讨论,但实际问题中通常不超过四种,常见有如下两种类型,每类分两种情况讨论就可以了,另外,如果不满足以上两种情况,但可以确定已知三角形的形状(特征)时,先确定动态三角形中固定的因素,看是否与已知三角形中有相等的角,若存在,根据分类讨论列比例关系式求解;已知条件中有一条对应边,只需要讨论另外两条边的对应关系,列比例关系式求解;若可得相似三角形的某个对应角的度数时,分类讨论另外两个角的对应情况,列比例关系式求解,典例精讲,例如图,抛物线图象交x轴于A、B两点,且点A位于x轴的正半轴,点B位于x轴的负半轴,且OA ,OB3 .抛物线交y轴于点C(0,3)(1)求抛物线的解析式;,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式,已知OA,OB 的长度,可知点A、B的坐标,再结合点C的坐标,利用待定系数法即可确定抛物线的解析式,解:OA ,点A在x轴的正半轴,A( ,0),OB3 ,点B在x轴的负半轴,B(3 ,0),设抛物线的解析式为:yax2bxc,将点A( ,0),B(3 ,0),C(0,3)代入,得 ,解得 ,即此抛物线的解析式为y x2 x3;,(2)连接AC、BC,则在坐标轴上是否存在一点D,使得ABCACD(点D不与点B重合),若存在,请求出点D坐标;,例题图,【思维教练】要在坐标轴上找一点D,使得ABCACD,由(1)知A、B、C三点坐标,可判断出ABC为直角三角形,则可知ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点,根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标,解:存在,如解图,tanOCA ,OCA30,tanBCO ,BCO60,ACB90,ABC为直角三角形,ABCACD,且点D在坐标轴上,由题易知,AB4 ,AC2 ,BC6, ,即 ,CD3,C(0,3),D(0,0);,例题解图,(3)设抛物线的对称轴分别交抛物线,x轴于点E,F,在x轴上是否存在一点G(不与点F重合),使得AEF与AEG相似,若存在,请求出点G坐标;,【思维教练】要使AEF与AEG相似,因为AEF为直角三角形,需考虑AEG中哪个角为直角的情况:当点G在x轴上时,分AEFAGE和AEFAEG两种情况,例题图,解:存在,AEF是直角三角形,且AEF与AEG相似,AEG也是直角三角形,点G在x轴上,分两种情况讨论:当AGEAEF时,由(1)知A( ,0),E( ,4),EF4,AF2 ,根据勾股定理,得AE2 , ,AE2AGAF,解得AG ,OGAGOA ,即G( ,0);当AEFAEG时,点F与点G重合,综上所述,G点坐标为( ,0) ;,(4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点,在y轴上是否存在一点N,使得AOC与MNC相似,若存在,请求出点N坐标;,例题图,【思维教练】要使AOC与MNC相似,因为ACOMCN,则需考虑AOC90这个直角与哪个角对应,从而分以下两种情况讨论:AOCMNC,AOCNMC,根据对应边成比例计算出点N的坐标,解:存在,设直线AC的解析式为ykxb,将A( ,0),C(0,3)代入,直线AC的解析式为y x3,易知AC2 ,又抛物线对称轴为x ,将x 代入y x3中,得y6,M( ,6),又C(0,3),MC .分以下两种情况讨论:,()如解图,过点M作MNy轴于点N,此时AOCMNC,则此时,点N与点M纵坐标相等,N(0,6);,例题解图,()如解图,过点M作MNAC 于点M,此时AOCNMC, ,即 ,NC4,则ONOCNC7,N(0,7)综上所述:满足要求的点N的坐标为(0,6)或(0,7);,例题解图,(5)在抛物线上是否存在点P,使AOC与ACP相似若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由,例题图,【思维教练】要使AOC与ACP相似,因为AOC是直角三角形,而ACP中三个内角均可能为直角,故需分三种情况讨论,在每种情况之下,求出对应点,再看求出的点是否满足三角形相似的条件,解:存在,AOC是直角三角形,AOC与ACP相似,ACP也是直角三角形,分以下三种情况讨论:()如解图,当点P与点B重合,即ACP90时,AOCACB,CAOBAC,AOCACB,此时,点P的坐标为(3 ,0);,例题解图,()如解图,当CAP90时,AC2AP2CP2,设点P坐标为(x, x2 x3),A( ,0),C(0,3),AC2( )23212,AP2(x )2( x2 x3)2,CP2x2(3 x2 x3)2,即12(x )2( x2 x3)2x2(3 x2 x3)2,解得x 或4 .当x 时y0,点P与点A重合,故舍去,P(4 ,5);,例题解图,AP . , 2, , , , .AOC与ACP不相似,P(4 ,5)(舍去);()如解图,当CPA90时,以AC为直径作圆,此圆过点O、A、C,不与抛物线有其他交点,则不存在符合要求的点P.综上所述:满足条件的点P的坐标为(3 ,0),例题解图,针对演练,1. (2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y x2bxc经过点A(2,0),B(8,0)(1)求抛物线的解析式;(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PDBC,垂足为点D.是否存在点P,使线段PD的长度最大,若存在,请求出点P的坐标;当PDC与COA相似时,求点P的坐标,第1题图,解:(1)将A(2,0),B(8,0)代入y x2bxc得,抛物线解析式为:y x2 x4;,在RtPDE中,PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE,当线段PE最长时,PD的长度最大设P(t, t2 t4),点E在直线BC上,且点E,G的横坐标与点P的横坐标相等,E(t, t4),G(t,0),即PG t2 t4,EG t4,PEPGEG t22t (t4)24(0t8),当t4时,PE有最大值4,此时点P坐标为(4,6),即当P点坐标为(4,6)时,PD的长度最大,最大值为 PE 4,由A(2,0),B(8,0),C(0,4),易知AB2BC2AC2,则ACB90,OCBOCA90,OCBOBC90,OCAOBC,AOCCOB90,COABOC.当RtPDC与RtCOA相似时,就有RtPDC与RtBOC相似,相似三角形对应角相等,PCDCBO,或PCDBCO,,()若PCDCBO(RtPDCRtCOBRtAOC),此时有CPOB,C(0,4),P点的纵坐标为4, x2 x44,解得x16,或x20(舍),即RtPDCRtCOB时,P(6,4);,()若PCDBCO(RtPDCRtBOCRtCOA),如解图,过点P作x轴的垂线,垂足为点G,与直线BC交于点F,PFOC,PFCBCO,PCDPFC,PFPC,,设P(n, n2 n4),由题意可得n0,同,可知PF n22n,如解图,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,在RtPNC中,PC2PN2NC2n2( n2 n4)42 n4 n3 n2,PFPC,PF2PC2,即( n22n)2 n4 n3 n2,解得n3或n0(舍去),即RtPDCRtBOC时,P(3, );当PDC与COA相似时,点P的坐标为(6,4)或(3, ),第1题解图,2. (2018常德)如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MNAB交OA于N,当ANM面积最大时,求M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQx轴,与抛物线交于Q,过A作ACx轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标,第2题图,解:(1)设二次函数的解析式为ya(x3)2h(a0),将O(0,0)、A(8,4)代入解析式,得 二次函数的解析式为y (x3)2 ,即y x2 x;,(2)O、B两点关于x3对称,B(6,0),设点M的坐标为(m,0)(0m6),设直线AB的解析式为yk1xb1,直线AB的解析式为y2x12,易得直线OA的解析式为y x,MNAB,设MN的解析式为y2xb2,,把M(m,0)代入得b22m,直线MN的解析式y2x2m,SANMSAOMSNOM,SAOM m4,SNOM m m,SANM m22m(0m6),当m 3时,SANM有最大值为SANM 32233;当ANM面积最大时,点M的坐标为(3,0);,(3)设P(t,0),则Q(t, t2 t),OP|t|,PQ| t2 t|,A(8,4),ACx轴,OC8,AC4,OPQOCA90,以O、P、Q为顶点的三角形与以O、C、A为顶点的三角形相似有如下两种情况:,当OPQOCA时,解得t18,t24,t30(舍去);当OPQACO时,解得t114,t22,t30(舍去),综上所述,P点的坐标为(2,0)或(4,0)或(8,0)或(14,0),类型五全等三角形的存在性问题(铜仁2017.25(2)【方法指导】全等的两个三角形,在没指明对应点的情况下,理论上应分六种情况讨论,但实际问题中通常不超过四种,常见有如下两种类型,每类分两种情况讨论就可以了,典例精讲,例(2017铜仁25(1)(2)如图,抛物线yx2bxc经过点A(1,0),B(0,2),并与x轴交于点C,点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三点不在同一直线上)(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;,例题图,【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达式,通过解方程组,可得到b,c的值,解:将点A(1,0),B(0,2)代入yx2bxc中,得 ,解得 ,二次函数表达式为yx2x2;,(2)在抛物线上找出两点P1、P2,使得MP1P2与MCB全等,并求出P1、P2的坐标,【思维教练】利用全等时对应边相等,结合抛物线的对称性,分两种情况:分别作B、C点关于对称轴对称的点,所作对称点即为所求P1,P2点;作BC的平行线,与抛物线的交点,即为所求P点,例题图,解:令yx2x20,得x11,x22,所以点C的坐标为(2,0)易得抛物线对称轴为x ,如解图,取点C关于对称轴l的对称点A,点B关于对称轴l的对称点为B(1,2),则当点P1,P2与A,B重合时,有MP1P2与MBC全等,此时,P1(1,0),P2(1,2),例题解图,过点M作MP1BC,交抛物线于点P1,如解图,若MP1CCBM,则MP1CB.四边形MBCP1为平行四边形,xMxBxP1xC; xMxBxC 02 .将x 代入yx2x2中,得y ,P1( , ),此时P2与C点重合,P1 ( , ) ,P2(2,0)综上所述,满足条件的P1,P2点的坐标分别为P1(1,0),P2(1,2);P1 ( , ) ,P2(2,0),例题解图,针对演练,1. (2017包头)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y x2bxc与x轴交于A(1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)直线yxn与抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且BE4EC.求n的值;连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,AGF与CGD是否全等?请说明理由,第1题图,解:(1)抛物线y x2bxc与x轴交于A(1,0),B(2,0)两点,将A(1,0),B(2,0)代入抛物线解析式可得 ,解得 ,该抛物线的解析式为y x2 x3;,(2) 如解图,过点E作EEx轴于点E,EEOC, ,BE4CE,BE4OE,设点E的坐标为(x,y),OEx,BE4x.点B坐标为(2,0),OB2,x4x2,x ,抛物线y x2 x3与y轴交于点C,当x0时,y3,C(0,3),第1题解图,设直线BC的解析式为ykxb1,B(2,0),C(0,3),将B、C两点代入解析式,得 ,解得k ,直线BC的解析式为y x3.当x 时,代入直线BC的解析式,得y ,E( , )点E在直线yxn上, n ,n2;,全等;理由如下:直线EF的解析式为yx2,当y0时,x2,F(2,0),OF2.A(1,0),OA1,AF1,抛物线与直线yx2相交于点D,联立方程,得 ,解得 或 .点D在第四象限,点D的坐标为(1,3),点C的坐标为(0,3),CDx轴,CD1,AFGCDG,FAGDCG,CDAF1,AGFCGD(ASA),2. 如图,一次函数y x2与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y x2bxc经过点A,B,点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动,点Q从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动,两点同时出发,运动时间为t秒(1)求此抛物线的表达式;(2)求当APQ为等腰三角形时,所有满足条件的t的值;(3)点P在线段AB上运动,请直接写出t为何值时,APQ的面积达到最大?此时,在抛物线上是否存在一点T,使得APTAPO?若存在,请直接写出点T的坐标;若不存在,请说明理由,第2题图,解:(1)把x0代入y x2中,得y2.把y0代入y x2中,得x2 .A(2 ,0),B(0,2),把A(2 ,0),B(0,2)分别代入y x2bxc中,得b ,c2,抛物线的表达式为y x2 x2;,(2)OA2 ,OB2,由勾股定理,得AB 4,BAO30.运动t秒后,AQt,BP2t.由APQ为等腰三角形,有QAQP,APAQ,PAPQ三种情况,,当QPQA时,如解图,过点Q作QDAB于点D,则D为AP的中点在RtADQ中,QD AQ t,ADPD AQ t,AP t,BPAPAB,2t t4.解得t84 ;,第2题解图,当APAQ时,()若点

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