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,微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简单应用常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。,17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。,学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。,高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。,参 考 书 目,工科数学分析基础,马知恩 等编 （高教出版社）,高等数学释疑解难,工科数学课委会编（高教出版社）,高等数学辅导,盛祥耀 等编（清华大学出版社）,高等数学解题方法及同步训练,同济大学编（同济大学出版社）,第一章 函数与极限,1.1 函 数,1.集合集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合M的元素表示为aM。集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f, g。 (2) M=(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1。,一、集合及其运算,几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。,子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。,2. 区间:,数集x|axb称为开区间，记为(a, b)，即 (a, b)=x|axb。,a, b=x|axb称为闭区间。,a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb称为 半开区间。,上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为 区间的端点，b-a 称为区间的长度。,以下区间称为无限区间：,a, +) = x|ax，,(-, b = x|xb，,(a, +) = x|ax，,(-, b) = x|xb，,(-,+),= R,3. 邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。 设0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。,去心邻域:,(a,) =x |0| x-a |。,还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。,1. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。,二、函数的概念,2. 举例 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。,3. 函数的定义 设 D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。,函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。,值域：Rf=y | y=f(x),xD。,定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,函数值： 任取 xD，与 x对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x处的函数值，记为 f(x)。,求函数的定义域举例：,解: 要使函数有意义, 必须x0, 且x2-40。解不等式得|x|2。 函数的定义域为 D=x| |x|2, 或D=(-, -22, +)。,4. 函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。,5. 函数举例 例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。 对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个：,例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf =2。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =0, + )。,称为绝对值函数。,例3. 函数,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =-1, 0, 1。,例5.函数y=x称为取整函数,任给x, x取值为不超过x的最大整数, 即x -1x x 。,函数的定义域为D=(-, +)， 函数的值域为Rf =Z,函数的定义域为 D=0, 1(1, +)=0, +)。,f (3) = 1+3 = 4。,三、函数的几种简单特性,图形特点： y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。,y=K1,y=f(x),1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。,如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。,图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2 的上方。,y=K2,y=f(x),有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。,如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在 x1X，使|f(x)|M。,函数的有界性举例：,f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。,函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。,无界函数举例：,函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0M，所以函数无上界。,但此函数在(1, 2)内是 有界的。,2. 函数的单调性,如果对于区间I上任意两点x1及x2，当 x1x2时，恒有,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。,f(x1) f(x2)，,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。,设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。,3. 函数的奇偶性,偶函数举例： y=x2， y=cos x都是偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,奇函数举例： y=x3， y=sin x都是奇函数。,如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。,设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点：,4. 函数的周期性,四、反函数与复合函数,对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。,如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。,1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。,单调函数存在反函数.,什么样的函数存在反函数？,在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=f -1 (y)改写成y= f -1 (x)。,反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。,关于反函数的变量符号：,例 函数 y= 表示 y是 x的函数，它的定义域为 -1，1,2复合函数,对于任一 x -1，1，先计算 u=1-x2，然后再计算 y= ，这就是说函数 y= 的对应法则是由函数u=1-x2和y= 所决定的，我们称函数 y= 是由函数u=1-x2和y= 复合而成的复合函数，变量 u称为中间变量,设 u=1-x2，则函数 y= 的值可以按如,下方法计算：,复合函数的定义：,一般地，设函数y =f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果 u | u= j(x)， xD2 D1则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y =f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y =f j(x) ，其中定义域为D2，u称为中间变量,复合而成的其中u， v 都是中间变量,函数y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnx,函数y= ，u=cot v，v= 经复合可得函数,问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？,y =,例 函数y=arctan x2可看作是由y=arctan u和u=x2复合而成的,五、初等函数,1. 幂函数,函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数 幂函数的定义域：与常数m 有关，但函数在（0，+）内总有定义 最常见的幂函数：,常用的指数函数为 y=ex.,2指数函数 函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数指数函数的定义域：D=（- ，+ ） 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1，则指数函数单调减少,3对数函数 指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的定义域是区间(0，+ ) 自然对数函数：y=ln x=loge x.,常用的三角函数有：正弦函数： y=sin x,1,-1,y=cos x,余弦函数： y=cos x,4三角函数,正切函数： y=tan x,余切函数： y=cot x,反三角函数是三角函数的反函数.,反正弦函数： y=arcsin x， 定义域为-1，1.,反余弦函数：y=arccos x 定义域为-1，1,5反三角函数,反正切函数： y=arctan x,定义域为(- ， ).,其值域规定为(0，p),反余切函数： y=Arccot x，,定义域为(- ， +).,6基本初等函数与初等函数,幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为基本初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数,都是初等函数,例如,，,，,一、数列的概念,二、数列的极限,三、用定义证明极限举例,四、收敛数列的性质,数列、,数列举例、,数列的几何意义,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义,极限的唯一性、,收敛数列的有界性,收敛数列与其子数列间的关系,1.2 数列的极限,一、数列极限的概念,如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：,1. 数列 一个实际问题,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,该方法称为割圆术,数列：,如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n对应着一个确定的实数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3， ，xn ，这一列有次序的数就叫做数列，记为xn，其中第n 项xn 叫做数列的一般项,数列举例：,数列举例：,2，4，8， ，2n ， ； 一般项为2n,一般项为,1 2n,1，-1，1， ，(-1)n+1， ； 一般项为(-1)n+1,一般项为,数列的几何意义：,数列xn可以看作自变量为正整数 n 的函数： xn=f (n)，它的定义域是全体正整数,数列与函数：,x1=f(1)，,x2=f(2)，,x3=f(3)，,x4=f(4)，,，,xn=f(n),数列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3， ，xn ，,例如,xn=a,而数列2n， (-1)n+1，是发散的,记为,所以数列,是收敛的,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的,显然不能.,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,“当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够大， |xn-a |就能有多小,这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。,3. 极限的精确定义：,或 xn a (n ),记为,数列极限的几何意义：,对于任意给定的正数e，总存在正整数N ，使得对于n N时的一切xn，不等式 |xn-a |N 时，所有的点 xn 都落在区间(a- e , a+e)内，而只有 有限(至多只有N个)个在区间(a- e , a+e)以外.,对于任意给定的正数e0，,要使,4、用定义证明极限举例,分析：,证明：因为对于任意给定的e0， 存在N=1/e， 使当nN时，有,所以,=e,对于任意给定的e 0，要使,只需,故取,分析：,所以,证明：因为对任意给定的正数e0(任意小), 存在,使当nN时， 有,e,=,注,定义习惯上称为数列极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数N，30，不等式|xna|（n N）.,定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。,定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna| ,n N,定义中的不等式|xna| （n N）是指下面一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,对于任意给定的正数e0，,分析：,要使,例 3 设|q |1，证明等比数列 1，q ，q2， ，qn-1，的极限是0,使当nN时，有,例 3 设|q |1，证明等比数列 1，q ，q2， ，qn-1，的极限是0,矛盾!,二、收敛数列的性质,1.定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛，则其只有一个极限.,证,用反证法.,a b不妨设a b.,数列的有界性：对于数列xn，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式 |xn|M则称数列xn是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列xn是无界的,数列xn=2n(n=1，2， )是无界的,2.定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界,证明：设数列xn收敛，且收敛于a根据数列极限的定义，对于 ，存在正整数N，使对于nN时的一切xn， 不等式 | xn- a |N时， | xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |1+| a | 取M=max| x1 |， | x2 |， , | xN |， 1+| a |，那么数列xn中的一切 xn都满足不等式 | xn | M 这就证明了数列xn是有界的,3.定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a ，且a0(或 a0, 当nN时, 都有xn 0,推论 如果数列xn收敛于a ，且从某项起有xn0(或xn0), 则a 0(或a 0).,2如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,讨论：,1.3 函数的极限,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,1.自变量趋于有限值时函数的极限,极限的通俗定义、,极限的几何意义、,极限的局部保号性、,极限的精确定义、,左右极限,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义、,水平渐近线,一、函数极限的概念,二、函数极限的性质,关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：,一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，,二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势,一、函数极限的概念,函数极限的通俗定义： 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限,先看一个例子,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。,1.自变量趋于有限值时函数的极限,f (x)=A或f (x) A(当x x0),f (x)=A e0, d0, 当0|x-x0|d 时，有 |f (x)-A|e ,1) 函数极限的精确定义： 设函数f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义. 如果对于任意给定的正数e (不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等式0|x-x0|d的一切 x ，对应的函数值f (x)都满足不等式|f (x)-A|e ，那么常数A就叫做函数f (x)当x x0时的极限，记为,注,定义习惯上称为极限的定义, 其三个要素：10。正数，20。正数， 30。不等式,定义中,所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0.,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式 |f(x) A| 来选定，一般地，越小，越小.,2) 几何解释:,因此对于任意,给定的正数e ，,当0|x-x0|d 时，,|f (x)-A|=|c-c|=0e,成立，,举例：,证明: 这里|f(x)-A|=|c-c|=0，,都有,所以,任意取一正数d ，,成立,|f (x)- A|=|x- x0| e,当 0|x- x0| d=e 时,的正数e ,总可取d=e ,因此对于任意给定,能使不等式,所以,证明：这里|f(x)- A|=|x- x0|，,|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|e ，,当0|x-1|d时，有,只要 |x-1| ，,所以e0，d = 0，,因此,证明： |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，,为了使 |f(x)-A| ，,即可取d =,所以e 0 ， d =e 0 ，,从而,只需 |x-1|d ，,|f(x)- 2|=|x-1|e ，,使当0|x-1|d ，有,|f (x)- 2|= | -2|,要使|f (x)-2|e ，,证明：注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系,=|x+1-2|,=|x-1|，,即取d = e ,例5 设x00, 证明,证,恒有,所以,左右极限：,x x0-表示x仅从x0的左侧趋于x0 ，而x x0+表示x仅从x0的右侧趋于x0,若当x x0-时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数 f(x)当x x0时的左极限，记为,若当x x0+时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数 f(x)当x x0时的右极限，记为,讨论：,左极限的e -d 定义： 若e0， d0， 当 x0- d xx0 时, 有|f (x)-A|e ,则称常数A为函数f (x)当xx0时的左极限,左右极限的e -d 定义如何叙述?,例6 函数,当x0时f(x)的极限不存在,因为f(x)的左极限,右极限,所以极限 不存在,A叫做函数f (x)当x 时的极限，,若当x 时，f (x)无限接近于某常数A，,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,类似地有 和,记为,则常数,讨论：,通俗定义：,叙述？三者之间的关系如何？,设f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果对于任意给定的正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|X的一切x，对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|e，则常数A叫做函数f (x)当x 时的极限,精确定义：,解不等式得 ，,所以 ,证明：,故取X= ,不等式 成立,当|x|X时，,要证存在正数X，,分析：设e是任意给定的正数,因为对e0，,X= ，,使当|x|X时，有,水平渐近线：,直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线,已知 ,如果 ，,例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：,则直线y=c是,函数y=f (x)的图形的水平渐近线,一般地，,二、函数极限的性质,1.局部有界性,2.唯一性,定理,如果,那么存在正数,，使得,当,时，有,.,3(局部保号性),推论,1.4 极限的运算法则,一、无穷小与无穷大,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小与无穷大,如果函数f (x)当x x0(或x )时的极限为零，那么函数 f (x)叫做x x0(或x )时的无穷小,1. 无穷小,所以函数x-1是当x1时的无穷小,例如 因为 ，,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,例如 ，,因为 ，,而 ,所以 ,定理1说明如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,问：,4. 无穷大 如果当x x0(或x )时，对应的函数值的绝对值|f (x)|无限增大，就说函数f (x)当x x0 (或x )时为无穷大，记为,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,2. 当x x0(或x )时为无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”,特殊情形：,例如:,证,无穷小与无穷大的关系：,定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则,为无穷小,；,二、极限的四则运算法则,定理3 如果lim f (x)=A，lim g (x)=B，则,（1）lim f (x)g(x)存在，且lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x)=A B,（2）lim f (x)g(x)存在，且 lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x)= A B,定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商.,定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立.,说明:,推论1,即常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,解,1,=211,解,例3,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系得,讨论：,当x x0 时，多项式的极限,有理分式的极限,观察：,小结:,解,先用x3去除分子及分母,然后取极限:,解,解 应用例6的结果得,根据例5、6、7讨论有理函数当x时的极限：,讨论：,其中a00、b0 0， m和n为非负整数,=,结论： 当a00、b0 0， m和n为非负整数时,， 当nm,比较：,0， 当nm，,解 当x时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用但,这是无穷小与有界函数的乘积，所以,例8,解,(消去零因子法),定理4 设函数u=j(x)当x x0时,的极限存在且等于,极限也存在，且,注：,三、复合函数的极限运算法则,检查下各题的解过程是否有误，错误的地方如何改正？,解题评析：,例9 求下列极限,解,解,解,解,1.5 极限存在准则与重要极限,准则 I： 如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：,1.准则 I： 如果数列xn 、yn及zn满足下列条件： (1) ynxnzn(n=1，2，3，)，,准则 和准则 称为夹逼准则.,注意:,夹逼定理示意图,例1,解,由夹逼准则得,2.准则 II 如果数列x n满足条件x 1x 2x 3 x nx n+1 就称数列x n是单调增加的；,如果数列x n满足条件x 1x 2x 3 x nx n+1 就称数列x n是单调减少的,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛现在准则II表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛,准则 II： 单调有界数列必有极限,几何解释:,例2,证,(舍去),首先注意到,设法构造一个“夹逼不等式”，使函数,在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则 .,3.第一个重要极限：,即 sin xxtan x,因此,于是,AOB的面积扇形AOB的面积AOD，,证明：,注,此结论可推广到,因为，令u=a(x)，则u 0，于是,解,=1,例3 求,解：,4. 第二个重要极限,e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ,还可证明,界根据准则II，数列x n必有极限,可以证明数列x n是单调增加并且有,这个极限我们用,e 来表示即,此结论可推广到,注,令t=-x，则x 时，t 于是,例4,解1,一般地,解2,解1,解2,例5 求,两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x 0的过程中，x 20比3x 0“快些”，反过来3x 0比x 20“慢些”，而sin x 0与x 0“快慢相仿”,观察两个无穷小比值的极限：,1. 无穷小的阶,1.6 无穷小的比较,设a 及b 都是自变量在同一个变化过程中的无穷小,就说b是比a高阶的无穷小，记为b=o(a)；,就说b是比a低阶的无穷小,就说b与a是同阶无穷小；,就说b是关于a的k 阶无穷小,就说b与a是等价无穷小，记为a b,阶的定义：,举例：,所以当x 3时，x2-9 与x -3,所以当x 0时，3x 2是比x 高阶,即3x 2=o(x)( x 0),是同阶无穷小,的无穷小，,关于x 的二阶无穷小,所以当x 0时，1-cos x 是,价无穷小，即sin x x (x 0),所以当x 0时，sin x 与x是等,等价关系具有：自反性，对称性，传递性,常用等价无穷小:,注,上述等价无穷小必须熟练掌握,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,一般地有,定理1,2. 等价无穷小的应用,例1,解,定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替因此，如果用来代替的无穷小选取得适当，则可使计算简化,当x 0时，tan 2x 2x ，sin 5x 5x，所以,当x 0时sin x x，无穷小x 3+3x 与本身等价，,例2,所以,解,解,例4,解,错,解,注意,不能滥用等价无穷小代换.,1.7 函数的连续性与间断点,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为,Dy = f(x0+Dx)- f(x0),一、函数连续的概念,函数的增量:,定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量Dx =x-x0趋于零时，对应的函数的增量Dy = f(x0+Dx)- f(x0)也趋于零，即,那么就称函数y=f(x)在点x0处连续,函数连续的定义:,例1,证,由定义2知,用e -d 语言叙述的函数的连续性定义： 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意给定义的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式|x-x0|d 的一切x ，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|e ，那么就称函数y=f(x)在点x0处连续,讨论： 如何用e -d 语言叙述函数的连续性定义？,单侧连续,函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,左右连续与连续的关系：,例2,解,右连续但不左连续 ,函数在区间上的连续性：,在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,4函数y=cos x 在区间(-，+)内是连续的,3函数y=sin x 在区间(-，+)内是连续的,连续函数举例：,1如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，+)内是连续的,二、函数的间断点,(1) 在x =x0没有定义；,则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点,设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：,间断点的定义：,例1,解,间断点举例：,因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义：当x=1时，令y=2，则所给函数在x=1 成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点,实际上，,因此x=1是函数f(x)的间断点,如果改变函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则函数f(x)在x=1 成为连续,x=1也称为该函数的可去间断点,例5,解,例3-例5间断点的共同点:,通常把间断点分成两类： 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在，那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点,间断点的类型:,1.8 连续函数的运算与 初等函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理1,例如,所以它的反函数y=arcsin x 在闭区间-1,1上也是单调增加且连续的,2反函数的连续性,定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x=j(y)也在对应的区间 Iy=y|y=f(x)，xI x上单调增加（或单调减少）且连续,同样，y=arccos x 在区间-1，1上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区间(-，+)内单调减少且连续,总之，反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的,3复合函数的连续性,定理3,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,意义,在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，即,例1,解,所以,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,4初等函数的连续性,(均在其定义域内连续 ),定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,注意,1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义，不连续.,2. 初等函数求极限的方法代入法.,如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区间内的点,则,初等函数的连续性在求函数极限中的应用：,举例 :,解,解,=,令a x -1= t，,则x=log a (1+t)，,当x 0时t 0，,于是,=lna .,解,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义上是比较明显的。,1.9 闭区间上的连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)，则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,函数f(x)=1+sin x在区间0，2p上有最大值2和最小值0,函数f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1,又如 ：,在开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1,函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值,又如 ：,注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么至少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值,定理1 （有界性与最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定有最大值 和最小值,注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,在开区间(a，b) 内考察函数y=x,函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值,在闭区间0，2 考察函数,函数 y=f(x)在闭区间0，2上既无最大值又无最小值,二、零点定理与介值定理,零点： 如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点,定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a) f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x (axb)，使f(x)=0,几何意义：,例1 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根 证明 函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间0，1上连续，,f(0)=10， f(1)=-20根据零点定理，在(0，1)内至少有一点x ，使得f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0 x1)这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根是x ,又,定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x ，使得f(x)=C (axb),连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.,介值定理的几何意义：,x1,x,x2,y= C,mCM,C,推论的几何意义：,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,