最短路径将军饮马造桥选址课件.ppt
,郧西县河夹中学 段廉洁,郧西县河夹中学 段廉洁最短路径问题将军饮马问题造,最短路径问题,垂线段最短。,两点之间，线段最短。,L,A,B,A,B,L,C,最短路径问题垂线段最短。两点之间，线段最短。LABABL,问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,A,B,C,L,问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边,两种情形,点A，B分别是直线l异侧的两个点,点A,B分别是直线l同侧的两个点,A,B,l,l,A,B,C,B,C,两种情形点A，B分别是直线l异侧的两个点点A,B分别是直线l,解决问题 1, 作图,l,A,B,B,C, 证明,l,A,B,B,C,C,解决问题 1 作图lABBC 证明lABBCC,l,A,B,B,C,C,证明:,lABBCC证明:,问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,A,B,M,N,a,b,问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现,解决问题 2, 作图, 证明,A,B,M,N,a,b,A,A,B,M,N,a,b,A,M,N,解决问题 2 作图 证明ABMNabAABMNabA,证明:,证明:ABMNabAMN,练习 1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?2、如图2，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分别找一点M、N，当AMN周长最小时，AMN+ANM的度数为多少？,D,B,A,C,图 1,A,B,D,C,图 2,A,A,N,M,练习 1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球,郧西县河夹镇初级中学,段廉洁,造桥选址问题的延伸探索,郧西县河夹镇初级中学段廉洁造桥选址问题的延伸探索,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座,思维分析,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,思维分析BA 1、如图假定任选位置造桥，连接,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了.怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.合作与交流,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连,问题延伸一,如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处,思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,思维方法一,1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）,思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.,连接A1P交的对岸于点，在点处建桥,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把点、，使，；连接交于点相邻河岸于点，建桥；连接交的对岸于点，建桥；从点到点的最短路径为MMN,问题解决沿垂直于河岸方向依次把点、，使,思维方法二,沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,思维方法二 沿垂直于第一条河岸方向平移点至,思维方法三,沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BBPQ，BBMN；连接BA交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接BN交B的对岸于P点，建桥PQ；从点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1B,思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BB,问题延伸二,如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB,桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处,思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.,问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AA,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B点至B1、B2 ,使BB1GH，B1B2 =PQ ；连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1 ,使BB1GH ；连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1 ,使BB1GH ；连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，,
