沪科版七年级数学下册84因式分解复习课件(共60张).pptx

因式分解 复习课,因式分解 复习课,1运用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；3用分组法分解因式；4用十字交叉法分解因式,知识与能力,教学目标,1运用平方差公式分解因式；知识与能力教学目标,1能较熟练地应用平方差公式、完全平方公式分解因式； 2能较熟练地应用分组法、十字交叉法分解因式,过程与方法,1通过综合运用提公因式法，公式法，分组法和十字交叉法分解因式，进一步培养观察和联想能力； 2通过知识结构图培养归纳总结的能力,情感态度与价值观,1能较熟练地应用平方差公式、完全平方公式分,1应用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；3会用分组法分解因式；4会用十字交叉法分解因式,重点,教学重难点,1应用平方差公式分解因式；重点教学重难点,1灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的要求； 2灵活应用分组法和十字交叉法分解因式； 3如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式,难点,1灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的,（二）分解因式的方法：,（1）、提取公因式法,（2）、运用公式法,（4）、分组分解法,（3）、十字相乘法,（二）分解因式的方法：（1）、提取公因式法（2）、运用,因式分解的一般步骤：,一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；,二套：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；,四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。,一般步骤,三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。如(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1）,第二步第二环节,因式分解的一般步骤：一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。,例题：把下列各式分解因式 6x3y2-9x2y3+3x2y2 p（y-x）-q（x-y） (x-y)2-y(y-x)2,（1）、提公因式法：,即： ma + mb + mc = m（a+b+c）,解：原式=3x2y2(2x-3y+1),解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q),解：原式=(x-y) 2(1-y),如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提,（2）运用公式法：, a2b2（ab）（ab） 平方差公式 , a2 2ab b2 （ab）2 完全平方公式 a2 2ab+ b2 （ab）2 完全平方公式 ,运用公式法中主要使用的公式有如下几个：,例题：把下列各式分解因式 x24y2 9x2-6x+1,解：原式= x2-(2y)2 =（x+2y)(x-2y）,解：原式=(3x)2-2(3x) 1+1 =（3x-1)2,（2）运用公式法： a2b2（ab）（ab）,十字相乘法,公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),例题：把下列各式分解因式, X2-5x+6 a2-a-2,解：原式=（x-2)(x-3),解：原式=(a+1)(a-2),十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+,分组分解法：,分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去,1、分组后可以提公因式,2、分组后可以运用公式,例题：把下列各式分解因式, 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1,解：原式=(x2-y2)+(3x-3y),=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3),解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y),分组分解法：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去1、分,否,是,否,是,B层练习检验下列因式分解是否正确？(54=20)(1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b)(2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3)(3) x2-2x-3=(x-3)(x+1)(4) 36a2-12a-1= (6a-1) 2,答案,答案,答案,答案,基本概念,否是否是B层练习答案答案答案答案基本概念,1.公因式确定（1）系数：取各系数的最大公约数；（2）字母：取各项相同的字母；（3）相同字母的指数：取最低指数。2.变形规律：（1）x-y=-(y-x) (2) -x-y=-(x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)33.一般步骤（1）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。,提公因式法：,1.公因式确定提公因式法：,A层练习将下列各式分解因式：(45=20) -a-ab； m-n； x+2xy+y(4) 3am-3an； (5) 3x+6xy+3xy,基本方法,=-a(a+b),= (m+n)(m-n),=(x+y),=3a (m+n)(m-n),=3x(x+y),A层练习基本方法=-a(a+b)= (m+n)(m-n)=(,观察平方差公式(ab)(ab)=a2b2的项、指数、符号有什么特点？,（1）左边是二项式，每项都是平方的形式， 两项的符号相反（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两 数的和，另一个因式是这两数的差（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果， 而在分解因式，“平方差”是得分解因 式的多项式,由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式,观察平方差公式(ab)(ab)=a2b,知识要点,平方差公式,把整式乘法的平方差公式(ab)(ab)=a2b2反过来，就得到a2b2= (ab)(ab)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积,知识要点平方差公式 把整式乘法的平方差公式(,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） Aa2b2=(ab)(ab) B(ab)2=a2+2ab+b2 C(ab)2=a22abb2 D(a+2b)(ab)=a2+ab2b2,A,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方,例1 把下列各式因式分解：（1）( x + z )- ( y + z )（2）4( a + b) - 25(a - c)（3）4a - 4a（4）(xy + z) (xyz )（5）9(m+n)2(m-n)2（6）5x3y(x-y)-10 x4y3(y-x)2,例1 把下列各式因式分解：,（4）原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)- (x-y-z) =2x (2y + 2z) =4x (y + z ),（3）原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1),解：（1）原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y),（2）原式=4( a + b) - 25(a - c) =2(ab) 5(a-c)2(ab)-5(a-c) =(7a2b5c)(3a2b5c),（4）原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+,（5）原式=3(m+n)2(m-n)2,=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n),=(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n),=(4m+2n) (2m+4n),=4 (2m+n) (m+2n),（6）原式=5x3y(x-y)-10 x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)1-2xy2(x-y) =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3),（5）原式=3(m+n)2(m-n)2=3(m+n,例2 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数,证明： (2n+1)2-(2n-1)2 =（2n12n-1）（2n1-2n1） =4n2 =8n因为n是整数，所以原式是8的倍数,例2 若n是整数，证明(2n+1)2-,（1） 652-642 （2） 5.42-4.62,解：652-642 =(65+64)(65-64) =1291 =129,解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =80,例3 计算下列各式的值：,（1） 652-642 （2） 5,(3x+2y)(3-2y)=41.5=6,9x2-4y2 =6,解1：,(3x+2y)(3-2y)=41.5=69x2-4y2 =,由得：(x+2y)(x-2y)=5 ,将代入得：x+2y=5 ,+ 得：x=3,代入得：y=1,解：,练一练,由得：(x+2y)(x-2y)=5 将代入得：x+,已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y2-2y+2x的值,解： x2y22y+2x =x2y2（2x2y） =（x +y）（ x y ）2（xy） =（ x y ）（ x y 2） =59=45,已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y2-,完全平方公式,a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2,知识要点,如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方,完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2知识要点,观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是_,a2+2ab+b2=(a+b)2,观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线,（1）x4-2x2+1,解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2,（2）(x2+y2)2-4x2y2,解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2,例5 分解因式,（1）x4-2x2+1解：原式=（x2-1)2（2）(x2+,（3）3abx2+6abxy+3aby2,解：原式=3ab（x22xyy2）=3ab(x+y)2,（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2 =（ mn2m ）2 =（mn）2,（3）3abx2+6abxy+3aby2解：原式=3ab（x,(x+2)(x+1),x2+3x+2,(x-2)(x+1),x2-x-2,(x-2)(x-1),x2-3x+2,(x+2)(x-1),x2+x-2,(x+2)(x+3),x2+5x+6,(x+2)(x-3),x2-x-6,(x-2)(x+3),x2+x-6,(x-2)(x-3),x2-5x+6,(x+a)(x+b),x2+(a+b)x+ab,=,=,=,=,=,=,=,=,1,2,3,4,5,6,7,8,=,(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-,利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法,用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：,当q0时，q分解的因数a、b（ ）当q0时，q分解的因数a、b（ ）,同号,异号,知识要点,q=ab，p=a+b,利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因,x2+px+q=,x2+(a+b)x+ab=,x,x,a,b,ax,+,bx,=,(a+b)x,(x+a)(x+b),步骤：,竖分二次项与常数项；,交叉相乘，和相加；,检验确定，横写因式,顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱,x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx,1x2+8x+12=,2x2-11x-12=,3x2-7x+12=,4x2-4x-12=,(x+2)(x+6),(x-6)(x+2),(x-3)(x-4),(x-12)(x+1),5x2+13x+12=,(x+1)(x+12),6x2-x-12=,(x-4)(x+3),将下列各式因式分解：,1x2+8x+12=2x2-11x-12=3x2-7x,对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：,1掌握方法：拆分常数项，验证一次项,2符号规律：当q0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同,3书写格式：竖分横积,注意,对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三,知识要点,分组分解法分解因式：,如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。,知识要点分组分解法分解因式： 如果一个多项式适,mx+my-nx-ny,，两组，得（mx+my）-（nx+ny）,解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）,=m(x+y)-n(x+y),=(x+y)(m-n),，两组，得（mx-nx）+(my-ny),解2：原式= （mx-nx）+(my-ny),=x(m-n)+y(m-n),= (m-n) (x+y),练一练,mx+my-nx-ny，两组，得（mx+my,（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提,（2）分组添括号时要注意符号的变化,（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的,注意,（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组（2）分组添括号时要,把下列各式因式分解：,练一练,（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1,解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z),（2）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1),把下列各式因式分解：练一练（1）x2+2xy+y2-z2,（3）9a4-4a2+4a-1,解：9a4-4a2+4a-1,= 9a4-(4a2-4a+1),= 9a4-(2a-1) 2,= (3a2+2a-1)(3a2-2a+1),= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1),（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24,解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24,= (x2+x-2)(x2+x-12)+24,= (x2+x) 2-14(x2+x)+48,= (x2+x-6)(x2+x-8),= (x+3)(x-2)(x2+x-8),（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=,（2007年株洲市）分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10,解：令x4+x2=m，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 = m2-m-12+10 = m2-m-2 = (m-2)(m+1) = (x4+x2-2)(x4+x2+1) = (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) = (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1),（2007年株洲市） 解：令x4+x2=m，则原式可化为,如果a+b=0，求a3 2b3+ a2b 2ab2的值,原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 ),= a2 (a +b)- 2b2 (a +b ),= (a +b) ( a2 - 2b2 ),练一练,=0,如果a+b=0，求a3 2b3+ a2b 2ab2的值,解：4x4+1 = 4x4+4x2+1-4x2 =（2x2+1）2-（2x）2 =（ 2x2+1+ 2x）（ 2x2+1-2x）,因式分解：4x4+1,解：4x4+1 因式分解：4x4+1,把下列各式分解因式：, -x3y3-2x2y2-xy,(1) 4x2-16y2 (2) x2+xy+ y2.,(4)81a4-b4,（6) (x-y)2 - 6x +6y+9,(2x+y)2-2(2x+y)+1, x2y2+xy-12,(8) (x+1)(x+5）+4,解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y),解:原式 = (x2+2xy+y2) = (x+y)2,解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2,解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b),解：原式=(2x+y-1)2,解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2,解：原式=(xy-4)(xy+3),解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2,把下列各式分解因式： -x3y3-2x2y2-xy(1),应用：,1、 若 100 x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（ ）,140,2、计算(-2)101+(-2)100,3、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值,解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100,=(-2)100(-2+1)=2100 (-1)=-2100,解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3),又 2x-3=0, 原式=0,应用：1、 若 100 x2-kxy+49y2 是一个完全平方,因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解,注意,因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运,多项式,二项式,立方和差,添项,三项式,完全平方式,十字相乘法,拆项法,多于三项的多项式,分组分解,分组后提公因式,分组后运用公式,分组后十字相乘,提取公因式,平方差,课堂小结,多项式二项式立方和差添项三项式完全平方式十字相乘法拆项法多于,2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =_,3(a+b) 2+2(a+b)-15 =_,4-1-2a-a2=_,5x2-6x+9-y2 =_,6x2-4y2+x+2y=_,79x2+6xy+y2+3x+y =_,89x2+6xy+y2+3x+y-2=_,1a3-ab2 =_,a(a+b)(a-b),2x(a-b),(a+b+5)(a+b-3),-(a+1) 2,(x-3+y)(x-3-y),(x+2y)(x-2y+1),(3x+y)(3x+y+1),(3x+y+2)(3x+y-1),随堂练习,一、分解因式,2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =_,二、分解因式,172-2(13x-7)2,28a2b2-2a4b-8b3,解：72-2(13x-1)2,解：8a2b2-2a4b-8b3,=262-(13x-7) 2,=2(6+13x-7)(6-13x+7),=2(13x-1)(-13x+13),=-26(13x-1)(x-1),=2b(4a2b-a4-4b2),=-2b(a4-4a2b+4b2),=-2b(a2-2b) 2,二、分解因式172-2(13x-7)228a2b2-2a,三、因式分解,(x+2)(x-3),1x2-x- 6 =,(x+2)(x-5),2x2-3x-10=,(x-7)(x+4),3x2-3x-28=,(x-1)(x-3),4x2-4x+3=,(x+2)(x+3),(x-3)(x+7),5x2+5x+6=,6x2+4x-21=,(y+12)(y-3),7y2+9y-36=,(y-7)(y+16),(y+16)(y+3),8y2+9y-112=,9y2+19y+48=,三、因式分解(x+2)(x-3)1x2-x- 6 =(x+,4若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值,解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) a+b=4，a2+b2=10 原式=410=40,5已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值,解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=2,4若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+,1（1）5a2(3a2)； （2）3bc(4ac)； （3）2(pq)(3p2q)；（4）(a3)(m2)2（1）(16b)(16b)； （2）3(2xy)(2xy)； （3）(0.7p12)(0.7p12)；（4）3(xy)(xy)3（1）(15t)2；（2）(m7)2； （3）(y1/2)2； （4）(mn)2；（5）(5a8)2；（6）(abc)2,习题答案,1（1）5a2(3a2)； （2）3b,4（1）原式=3.14（21+62+17）=314； （2）原式=（758+258）（758258） =1016500=508 0005（1）（ab）2；（2）(p+2)(p2)； （3）y(2xy)2；（4）3a(xy)(xy)6（1）V =I(R1+R2+R3)，代入R1，R2，R3的 值，得V=2207所求面积S=R24r2=（R2r）（R 2r），代入R，r的数值后得S=175.84cm2,4（1）原式=3.14（21+62+17）=314；,822x22=4(x1)或x2(x2)2=4(x1)9m=1210(2n1) 2n21=2n1222n11= (2n11)2,822x22=4(x1)或x2(x2)2=4(x,C层练习将下列各式分解因式： (63=18) (2a+b)(ab) ； (2) (x+y)-10(x+y)+25 (3) 4a3b(4a3b),基本方法,= (2a- 3 b) ,= (x+y-5),=3a (a+2b),第二步第一环节,C层练习基本方法= (2a- 3 b) = (x+y-5),（2）(x2y2)2-4x2y2,3.把下列各式分解因式,更上一层楼,（2）(x2y2)2-4x2y2 3.把下列各式分解因式更,解方程：,x-9x=0,超级变变变,变式,解下列方程：(3x- 4) - (3x+ 4) =48,解方程：x-9x=0超级变变变变式解下列方程：,多项式的除法 (2mp-3mq+4mr) (2p-3q+4r),超级变变变,变式：20052+2005能被2006整除吗？,第三步,多项式的除法 超级变变变变式：第三步,已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 2bc 的正负性。（提示： a2-b2 -c2 2bc = a2-（b2+c2 +2bc ） （20分）,已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b,将4x2+1加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法? （20分）,将4x2+1加上一项，使它成为完全平方式，你有,畅所欲言,通过复习这节课你有那些新的收获与感受?说出来与大家一起分享！,畅所欲言通过复习这节课你有那些新的收获与感受?,