三角形中的最值问题.doc

第42课 三角形中的最值问题考点提要1掌握三角形的概念与基本性质2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题基础自测1（1）ABC中，则A的值为 30° 或90° ；（2）ABC中，当A= 时，取得最大值 2在ABC中，则的取值围是 解 由， 令，由，得3锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值围是 30ºB45º 4设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和切圆半径，则的最大值为5在ABC中，角A，B，C所对边的边长分别是，若，则B的取值围是 0°B120° 6在ABC中，若A>B，则下列不等式中，正确的为 >； <； >； <解 A>B>>>，故正确；<<A>B，故正确（或由余弦函数在上的单调性知正确）；由<<>A>B，故正确知识梳理1直角ABC中，角A，B，C所对边的边长分别是，C=90°，若切圆的半径为r，则2在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用例题解析例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值点评 例2 已知ABC中，（1）求最小角的最大值； （2）若ABC是锐角三角形，求第三边c的取值围解 （1）由三角形三边关系得第三边c满足解得，故最小角为A又（当且仅当时等号成立），所以A30°，即最小角的最大值为30°（2）因为ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为ab，所以AB，故只需说明B，C为锐角即可由B，C为锐角得 即解得点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件另外要注意变形的等价性，如“角A为锐角”例3 （2008）求满足条件的ABC的面积的最大值解 设BC，则AC 根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=，由三角形三边关系有 解得，故当时取最大值点评 例4 如图，已知A=30°，P，Q分别在A的两边上，PQ=2当P，Q处于什么位置时，APQ的面积最大？并求出APQ的最大面积点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数例5 已知ABC的周长为6，成等比数列，求：（1）ABC的面积S的最大值； （2）的取值围解 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b 2 =ac由得（当且仅当a=c时，等号成立），又由余弦定理得（当且仅当a=c时，等号成立），故有， （1），即（当且仅当a=b= c时，等号成立）； （2） 点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解（1）为不等式问题，（2）为函数问题方法总结1三角形中角的最值（围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的围，根据余弦函数的单调性处理要注意三角形三边关系和角围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系2三角形中边的最值（围）问题，主要由有三角形三边关系决定3三角形中面积的最值（围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的围练习42 三角形的最值问题班级 姓名 学号 1若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是 2在锐角ABC中，若，则的取值围是 （，） 解 ，而，3在ABC中，若，则A的取值围是 0ºB45º 4若2、3、x分别是锐角三角形的三边长，则x的取值围是 5若三角形两边之和为16 cm，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 ，周长的最小值是 24 6已知ABC中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC的最大值为_7钝角三角形的三边为，其中最大角不超过120°，则的取值围是 解 由题意钝角三角形中，为最大边且最大角不超过120°，因此得 ， ， ，由得，得，得或，故8已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若SAOB=9，SCOD=16，则四边形面积的最小值是 49 9（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 cm2解 由题意可围成以下几种三角形 图（1）中，； 图（2）中，；图（3）中，比较上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为cm2点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大这是等周问题中的一个基本结论可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，610在ABC中，已知（1）求证：a、b、c成等差数列； （2）求角B的取值围解 11如图，形ABCD的边长为a，E、F分别是边BC、CD上的动点，EAF=30°，求AEF面积的最小值解 设AEF的面积为S，BAE=（15º45º），则由EAF=30°得DAF=形ABCD的边长为a，在RtBAE中，；在RtDAF中， 12（2008延考）在ABC中，角A，B，C对边的边长分别是，已知（1）若，且A为钝角，求角A与C的大小；（2）若，求ABC面积的最大值解 （1）由题设及正弦定理，有故因A为钝角，所以由，可得，C=，A=（2）由余弦定理及条件，有，故由于ABC面积，又，当时，两个不等式中等号同时成立，所以ABC面积的最大值为备用题1直角ABC的斜边AB=2，切圆的半径为r，则r的最大值为 2在ABC中，已知sin2A + sin2B = 5sin2C，求证：解 等式sin2A + sin2B = 5sin2C立即联想正弦定理，有a2+b2=5c2 而a2+b2=5c2与余弦定理连起来也无可非议 c2= a2+b22abcosC，5c2= c2+2abcosC，4c2=2abcosC 于是可知cosC0，C为锐角，而5c2= a2+b22ab， 故4c2=2abcosC5c2cosC cosC，sinC 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中3已知ABC的角满足（1）求A； （2）若ABC的面积为4，求ABC周长的最小值4如图，边长为的正ABC的中心为O，过O任意作直线交AB、AC于M、N，求的最大值和最小值答案 最大值、最小值5如图A = 90°，B = ，AH = h，h 为常数，AHBC于H，AHE=AHD = x，问当x取何值时，DEH的面积最大？并求出最大面积