第三章线性控制系统的能控性和能观性ppt课件.ppt

1,第三章 线性控制系统的能控性和能观性,3-1 能控性的定义3-2 线性定常系统能控性判别3-3 线性连续定常系统能观性3-4 离散时间系统的能控性与能观性3-6 能控性与能观性的对偶关系3-7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3-8 线性系统的结构分解3-9 传递函数矩阵的实现问题3-10 传递函数中零极点对消与状态能控性和 能观性之间的关系,2,现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。,在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。,能控性和能观性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。,3,本章将在详细讨论能控性和能观性定义的基础上，介绍有关判别系统能控性和能观性的准则，以及能控性与能观性之间的对偶关系。 然后介绍如何通过非奇异变换把能控系统和能观系统的动力学方程化成能控标准型和能观标准型，把不完全能控系统和不完全能观系统的动力学方程进行结构分解。 最后在系统结构分解的基础上介绍传递函数的最小实现。,4,能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。,3-1 能控性的定义,5,一、线性连续定常系统的能控性定义,线性连续定常系统,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0, tf内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。,6,上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说明(如图3-1所示)。,假定状态平面中的P点能在输入的作用下被驱动到任一指定状态P1, P2, P3, Pn，那么状态平面的p点是能控状态。,7,假如能控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在有限的时间区间t0, tf内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。,可以看出，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。,8,2) 也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间t0, tf能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。,几点说明:,1) 在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态，即,在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆的，即能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。,9,3) 在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将x(t0)驱动到x(tf)而不计较x的轨迹如何。,10,三、离散时间系统,其中u(k)是标量控制作用,在(k, k+1)区间内是个常值。,只考虑单输入的n阶线性定常离散系统,11,3-2 线性定常系统能控性判别,线性定常系统能控性判别准则有两种形式,一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性;,另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。,12,一、具有约旦标准型系统的能控性判别1单输入系统,12 3 n即n个根互异,13,(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。,14,为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶系统，对能控性加以剖析。,(3-3),(3-4),(3-5),15,从式(3-7)可知， 可以受控制量u的控制，从式(3-6)又知， 与u无关, 即不受u控制。,16,就状态空间而言，如图3-2所示。,能控部分是图中粗线所示的一条线，它属于能控状态子空间，除此子空间以外的整个空间，都是不能控的状态子空间。,17,它是一个并联型的结构，而对应x1(t)这个方块而言, 是一个与u(t)无联系的孤立部分，而状态x2(t)受u(t)影响，故x1(t) 不能控的。,式(3-3)系统的方块结构图如图3-3所示。,18,虽然式(3-8)与u(t)无直接关系，但它与x2是有联系的，而x2却是受控于u(t)的，所以不难断定式(3-4)的系统是状态完全能控的。,19,它是一个串联型结构，没有孤立部分，也表明其状态是完全能控的。,根据式(3-8)，式(3-9)画出系统的方块结构图如图3-4所示。,20,式(3-11)中只有x2本身，它不受u(t)的控制，而为不能控的。,从图3-5的方块结构图来看，存在一个与u(t)无关的孤立部分。,21,1) 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。,通过以上分析，可以得出以下几点结论：,系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数，以及控制作用的施加点。如图3-3所示，控制作用只施加于x2，未施加于x1，图3-5则相反，这些没有与输入联系的孤立部分所对应的状态变量是不能控制的。,22,2) 在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素 有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=x1 x2 xnT是不完全能控的。,如果一个系统至少有一个状态变量是不能控的，则称此系统不完全能控，或简称为不能控。,23,4) 不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立方块，它对应的是一阶齐次微分方程的模拟结构图，其自由解是 ，故为不能控的状态。,3) 在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。,24,2具有一般系统矩阵的多输入系统,25,2) 可以证明，系统的线性变换不改变系统的能控性条件。,第一章已经证明，线性变换不改变系统的特征值，而从上一段可知，若某第i个状态xi不能控，就是 的自由分量不能控，也即相应特征值的自然模式 不能控，既然系统线性变换不改变系统特征值，所以不改变系统的能控性。,26,3) 推得一般系统的能控性判据如下:,若系统矩阵A的特征值互异，则式(3-12)可变换为式(3-13)的形式，此时系统能控性的充分必要条件是控制矩阵T-1B的各行元素没有全为0的。,27,4) 应指出，A的特征值互异时，其对应的特征矢量必然互异，故必然能变换为式(3-13)的对角线型。,在这种情况下，对单输入系统是不能控的，对多输入系统则需考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关。若它们线性无关，系统才是能控的。,28,例3-1,解 1、2两系统属能控系统；,判断下列系统的能控性,29,解 3、4两系统则是状态不完全能控的，为不能控系统。,30,例3-2,有系统如下，试判断其是否能控。,解 将其变换成约旦型，先求其特征根,得,再求变换阵,31,T-1b有一行元素为零，故系统是不能控的，其不能控的自然模式为et。,故,得变换后的状态方程,32,例3-3,有系统如下，试判断其是否能控。,解 若A的特征值1，2，3互异，将其变换为对角线阵时，变换矩阵,33,得,故T-1b的各元素不可能为零，系统为能控的。,34,若A的特征值1=2，31。将其变换为约旦型，变换矩阵,T-1b的各元素不可能为零，系统为能控的。,35,若A的特征值1=2= 3 。则变换阵,T-1b的最后一行元素不为零，系统亦为能控的。,36,二、直接从A与B判别系统的能控性1单输入系统,线性连续定常单输入系统,其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵满秩，即rankM=n。,否则，当rankMn时，系统为不能控的。,37,根据能控性定义，对任意的初始状态矢量x(t0)，应能找到u(t)，使之在有限时间tft0内转移到零状态x(tf)=0。,由式(3-17)，并令t=tf，x(tf)=0，得,38,又因,其中,39,其中,40,要使系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式(3-21)解出0, 1, , n-1来，即,因此，必须保证的逆存在，亦即其秩必须等于n。判据得证。,41,例3-4,系统同例3-3 ，判明其能控性。,解,42,它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论a2, a1取何值，其秩为3，系统总是能控的。,故,因此把凡是具有本例形式的状态方程，称之谓能控标准型。,43,例3-5,系统同例3-2 ，判明其能控性,其秩为1，降秩，故系统为不能控的。,解,44,在这种情况下，状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重合现象。否则，被相消的极点就是不能控的模式，系统为不能控系统。,由第一章式(1-64)，知ux间的传递函数阵为,因为若传递函数分子和分母约去一个相同公因子之后，就相当于状态变量减少了一维，系统出现了一个低维能控子空间和一个不能控子空间，故属不能控系统。,最后指出，在单输入系统中，根据A和b还可以从输入和状态矢量间的传递函数阵确定能控性的充分必要条件。,45,例3-6,系统同例3-2，从输入和状态矢量的传递函数确定其能控性。,显然，传递函数阵中有一个相同的零点和极点，该极点所对应的自然模式为et为不能控的，所以该系统为不能控系统。,46,例3-7,系统同例3-3，从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性。,显然，Wux(s)中不可能出现相同的零点和极点，即其分子和分母不存在公因子的可能性，故能控标准型的状态方程一定是能控的。,解 ux间传递函数阵为,47,2多输入系统,其能控的充分必要条件是矩阵的秩为n。,48,49,考虑到x(t0)是任意给定的，欲使上面的关系式成立，M的秩必须是满秩。,式(3-23)不再是有n个未知数的n个方程组，而是有nr个未知数的n个方程组，根据代数理论，在非齐次线性方程(3-23)中，有解的充要条件是它的系数矩阵M和增广矩阵M x(t0)的秩相等，即,(3-23),50,综上所述，若要使式(3-22)的线性定常系统是状态完全能控的，必须从式(3-23)线性方程组中解出j，而方程组有解的充分必要条件是矩阵M满秩。,故线性定常系统状态能控的充分必要条件是M满秩。,51,附带指出，不论单输入或多输入系统，为简便计，有时不写出M矩阵，而记以A b或A B对，M 满秩时，也可以说A b或A B是能控对。,在多输入系统中，M是nnr矩阵，不象在单输入系统中是nn方阵，其秩的确定一般来说要复杂一些。由于矩阵M与MT的积MMT是方阵，而它的非奇异性等价于M的非奇异性，所以在计算行比列少的矩阵的秩时常用rankM=rankMMT的关系，通过计算方阵MMT的秩确定M的秩。,52,例3-8,判别三阶两输入系统的能控性。,解,53,易知MMT非奇异，故M满秩，系统是能控的。,实际上在本例中，M的满秩从M矩阵的前三列可直接看出，它包含在的矩阵中。所以在多输入系统中， 有时并不一定要计算出全部 M 阵。 这也说明在多输入系统中，系统的能控条件是较容易满足的。,54,3-3 线性连续定常系统能观性,控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。,55,图3-6a中所示系统是状态能观测的，因为系统的每一个状态变量对输出都产生影响。,56,图3-6b所示系统是状态不能观测的，因为状态x2对输出y不产生任何影响，当然要从输出量y的信息中获得x2的信息也是不可能的。,57,一、能观性定义,能观性所表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即,(3-24),如果对任意给定的输入u，在有限观测时间tft0，使得根据t0, tf期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。 若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测，或简称是能观的。,58,1) 能观性表示的是y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以在分析能观测问题时，不妨令u0，这样只需从齐次状态方程和输出方程出发，或用符号=(A,C)表示。,对上述定义作如下几点说明：,2) 从输出方程可以看出，如果输出量y的维数等于状态的维数，即m=n，并且C是非奇异阵，则求解状态是十分简单的，即显然，这是不需要观测时间的。,59,可是在一般情况下，输出量的维数总是小于状态变量的个数，即mn。为了能唯一地求出n个状态变量，不得不在不同的时刻多测量几组输出数据y(t0), y(t1), , y(tf)，使之能构成n个方程式。倘若t0, t1, , tf相隔太近，则y(t0), y(t1), , y(tf) n个方程虽然在结构上是独立的，但其数值可能相差无几，而破坏了其独立性。因此，在能观性定义中，观测时间应满足tft0的要求。,60,61,二、定常系统能观性的判别,定常系统能观性的判别也有两种方法 一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性。 另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。,62,1转换成约旦标准型的判别方法,现分两种情况叙述如下：,(1) A为对角线矩阵,63,(3-27),从而可得结构图如图3-7所示。,64,65,由式(3-28)可知，假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, , cm2均为零，则在y(t)中将不包含 这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。,从状态矢量空间而言，只有x(t)=x1 0 x3 xnT是能观测子空间，其余的是不能观子空间。,66,综上所述，可得能观性判据如下: 在系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中没有全为零的列。若第i列全为零，则与之相应的xi(t)为不能观的。,67,(2) A为约旦标准型矩阵,这时，状态方程的解为,以三阶为例,68,由式(3-29)可知，当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。,69,约旦标准型的系统具有串联型的结构，如图3-8所示。,从图中也可看出，若串联结构中的最后一个状态变量能够测量到，则驱动该状态变量的前面的状态变量x2, x3也必然能够观测到，因此只要c11, c21, c31不全为零就不可能出现与输出无关的孤立部分，系统就一定是能观的。,70,因此，在系统矩阵为约旦标准型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列的元素不全为零。,由于任意系统矩阵A经T-1AT变换后，均可演化为对角线型或约旦型，此时只需根据输出矩阵CT是否有不全为零的列，或对应约旦块的CT的第一列是否不全为零，便可以确定系统的能观性。,71,2直接从A、C阵判断系统的能观性,从式(3-24)解得,(3-30),72,73,3-4 离散时间系统的能控性与能观性,一、能控性矩阵M,当系统为单输入系统时，式中 u(k) 标量控制作用，控制阵h为n维列矢量 G 系统矩阵(nn); x 状态向量(n1)。采样周期T为常数，式中未予表示。,74,根据3-1能控性定义，在有限个采样周期内，若能找到阶梯控制信号，使得任意一个初始状态转移到零状态，那么系统是状态完全能控的，怎样才能判定能否找到控制信号呢？先看一个实例。,75,利用递推法：,76,现令x(3)=0, 从上式得三个标量方程，求解三个待求量u(0), u(1), u(2)，写成矩阵形式,(3-34),77,这就是说能找到u(0), u(1), u(2), 使x(0)在第3步时，使状态转移到零，因而为能控系统。,78,有解的充分必要条件，即能控的充要条件是系数矩阵满秩。,只要式(3-36)满秩，系统就是能控的，将此系数矩阵称之为能控性矩阵。,仿连续时间系统，记以或称为G h 对。,79,若系统是能控的，则应在k=n时，从上式解得u(0), u(1), , u(n-1)，使x(k)在第n个采样时刻为零，即x(n)=0。,从而有,80,或,81,对于单输入系统来讲，式(3-39)中的h是n维列矢量，因此M阵是nn的系数阵。 对于多输入系统，h不再是n维列矢量而是nr矩阵H，r为控制信号(即输入)u的维数，因此M是一个nnr矩阵。,82,例如：有一个三阶的三输入系统,或,为一个3(33)=39的矩阵，显然上式是满秩的，即M的秩等于3，系统是能控的。,83,可以看出，它是一个具有9个待求变量而只有三个方程的方程组。,84,一般地说，在输入个数为r的n阶系统，方程式的个数(n)总是小于未知数的个数(nr)的，在这种情况下，只要M满秩，方程组就有无穷多组解。在研究能控性问题时，关心的问题是是否有解，至于是什么样的控制信号，在此是无关紧要的。,在多输入系统中，n阶系统的初始状态转移到原点，一般并不一定需要n个采样周期，即采样步数kn。,如果n阶系统，输入数r=n，即H也是nn方阵，而且H又是非奇异阵，那么只需一个采样步数，x(0)就能转移到原点。,85,如上例，H是非奇异的，故采样步数k可以等于1。,即,由于x(0)已知，H满秩，故可以唯一地确定第一步的控制信号，从而使x(0)能在第一个采样周期即达到零状态。,在k=1时，式(3-40)为,86,二、能观性矩阵 N,式中 ym维列矢量； Cmn输出矩阵，其余同式(3-33)。,根据3-3中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出y(k)，就能唯一地确定任意初始状态矢量x(0)，则系统是完全能观的。 现根据此定义推导能观性条件。,87,若系统能观，那么在知道y(0), y(1), y(n-1) 时，应能确定出x(0)=x1(0) x2(0) xn(0)T。,从式(3-42)可得,88,x(0)有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于n。这个系数矩阵称为能观性矩阵。,或,89,3-6 能控性与能观性的对偶关系,能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。,90,一、线性系统的对偶关系,有两个系统，一个系统1 为,另一个系统 2 为,91,式中 x1, x2 n维状态矢量； u1, u2 各为r与m维控制矢量； y1, y2 各为m与r维输出矢量; A1, A2 nn系统矩阵; B1, B2 各为nr与nm控制矩阵; C1, C2 各为mn与rn输出矩阵。,显然，1是一个r维输入m维输出的n阶系统，其对偶系统2是一个m维输入r维输出的n阶系统。,92,从图中可以看出，互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。,图3-11是对偶系统1和2的方块结构图。,93,再从传递函数矩阵来看对偶系统的关系,由此可知，对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。,94,同样可求得系统输入-状态的传递函数阵(sI-A1)-1B1，是与其对偶系统初始状态-输出传递函数阵C2(sI-A2)-1 互为转置的。,此外，还应指出，互为对偶的系统，其特征方程式是相同的。,即,因为,原系统的初始状态输出的传递函数阵C1(sI-A1)-1是与其对偶系统输入状态传递函数阵(sI-A2)-1B2互为转置的。,95,二、对偶原理,系统1=(A1,B1,C1)和2=(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则1的能控性等价于2的能观性， 1的能观性等价于2的能控性。或者说，若1是状态完全能控的(完全能观的)，则2是状态完全能观的(完全能控的)。,96,将式(3-53)的关系式代入上式有,说明1能观性判别矩阵N1的秩也为n，从而说明为完全能观的。,97,对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。,98,3-7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型,由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式： 如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析是十分方便的； 对于系统的状态反馈则化为能控标准型是比较方便的； 对于系统状态观测器的设计以及系统辨识，则将系统状态空间表达式化为能观标准型是方便的。,99,把状态空间表达式化成能控标准型(能观标准型)的理论根据是状态的非奇异变换不改变其能控性(能观性)，只有系统是状态完全能控的(能观的)才能化成能控(能观)标准型。,下面讨论单变量系统的能控标准型和能观标准型。,100,一、单输入系统的能控标准型,则能控性判别阵中至少有n个1维列矢量是线性无关的，因此在这nr个列矢量中选取n个线性无关的列矢量，以某种线性组合仍能导出一组n个线性无关的列矢量，从而导出状态空间表达式的某种能控标准型。,对于n维定常系统,如果系统是状态完全能控的，即满足,101,对于单输入单输出系统，在能控判别阵中只有唯一的一组线性无关矢量，因此一旦组合规律确定，其能控标准型的形式是唯一的。,对于多输入多输出系统，在能控性判别阵中，从(nnr)中选择出n个独立的列矢量的取法不是唯一的，因而其能控标准型的形式也不是唯一的。,显然，当且仅当系统是状态完全能控的，才能满足上述条件。,102,1. 能控标准型,103,(3-73),称形如式(3-70)的状态空间表达式为能控标准型。,104,105,证明 因假设系统是能控的，故n1矢量b, Ab, An-1b是线性独立的。,其中i(i=0, 1, , n-1)是特征多项式各项系数。,106,由,把式(3-75)分别代入上式，有,107,108,把上述Ae1, Ae2, Aen代入式(3-77)，有,109,再证,由,有,把式(3-75)中b=en代入，有,从而证得,110,把式(3-75)中e1, e2, en的表示式代入上式,最后推证,其中,111,或者写成,显然,112,那么根据传递函数的分母多项式和分子多项式的系数，便可以直接写出能控标准型的 。,采用能控标准型的 ，求系统的传递函数是很方便的。,从式(3-78)可以看出，传递函数分母多项式的各项数是 的最后一行的元素的负值；分子多项式的各项系数是 的元素。,(3-78),113,例 3-12,试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,114,解 先判别系统的能控性,rankM=3，所以系统是能控的。,再计算系统的特征多项式,即,根据式(3-71)，(3-72)及(3-73)，可得,115,116,本例也可先求出系统传递函数W(s)，而后再从传递函数W(s)的分母多项式和分子多项式的系数，写出能控标准I型的状态空间表达式。,因此系统的能控型为,采用式(3-74)可以直接写出系统的传递函数,117,2能控标准型,118,(3-83),称形如式(3-81)的状态表达式为能控标准型。,(3-84),119,120,其变换后的状态方程和输出方程为,121,利用凯莱哈密尔顿定理,将上式代入式(3-87)中，有,写成矩阵形式,122,即,上式两边左乘Tc2-1 ，得,123,即,显然，欲使上式成立，必须,即,因,再推证式(3-83)的,124,试将例3-12中的状态空间表达式变换为能控标准型,例3-13,解 例3-12中已经求得,由式(3-82)、式 (3-83)、式(3-84)与式(3-85)可得,125,状态空间表达式的能控标准型为,126,二、单输出系统能观标准型,状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准I型和能观标准II型，它们分别与能控标准II型和能控标准I型相对偶。,127,1能观标准I型,128,称形如式(3-90)的状态空间表达式为能观标准I型。,(3-92),(3-93),其中i(i=0, 1, , n-1)是矩阵A的特征多项式的各项系数。,129,取变换阵T01,直接验证，或者用对偶原理来证明。,130,证明过程如下：,首先构造=(A, b, c)的对偶系统*(A*, b*, c*),然后写出对偶系统*(A*, b*, c*)的能控标准II型， 的状态空间表达式的能观标准I型即是*的能控标准II型。,131,132,2能观标准II型,133,称形如式(3-97)的状态空间表达式为能观标准型。,其中ai(i=0, 1, , n-1)是矩阵的特征多项式的各项系数。i(i=0, 1, , n-1)是T02-1b的相乘结果, i的具体计算见式(3-74)。,(3-100),134,其中分母多项式的各项系数是 阵的最后一列的负值，分子多项式的各项系数是 阵的元素。这个现象用对偶原理不难解释。,上述变换可根据对偶原理直接由其对偶系统的能控标准I型导出，其过程与能观标准I型类同，不再重复。,和能控标准I型一样，根据状态空间表达式的能观标准II型，也可直接写出系统的传递函数,135,例3-14,试将例3-12中的状态空间表达式变换为能观标准、型,解 求能观性判别矩阵N,其秩为3，故知此系统可以变换为能观标准型。,(1) 求状态空间表达式的能观标准型,例3-12中已经求得,136,由式(3-91)、式(3-92)、式(3-93)，可得,137,和例3-13的状态空间表达式的能控标准型相比较，可知二者之间是互为对偶的。,状态空间表达式的能观标准型为,138,显然与例3-12得到能控型对偶关系。,(2) 求能观标准型,状态空间表达式的能观标准型为,由式(3-98)、式(3-99)、式(3-100)，可得,139,3-8 线性系统的结构分解,前已说过，如果一个系统是不完全能控的，则其状态空间中所有的能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间。,如果一个系统是不完全能观的，则其状态空间中所有能观测的状态构成能观子空间，其余为不能观子空间。,但是，在一般形式下，这些子空间并没有被明显地分解出来。,本节将讨论如何通过非奇异变换即坐标变换，将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。,140,把线性系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解是状态空间分析中的一个重要内容。 在理论上它揭示了状态空间的本质特征，为最小实现问题的提出提供了理论依据。 实践上，它与系统的状态反馈、系统镇定等问题的解决都有密切的关系。,141,一、按能控性分解,142,其中,(3-104),(3-105),(3-106),143,可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3-103)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分。,对于这种状态结构的分解情况如图3-12所示。,(n-n1)维子系统 是不能控的。,其中n1维子空间 是能控的；,144,因为u对 不起作用， 仅做无控的自由运动。显然，若不考虑(n-n1)维子系统，便可得到一个低维的能控系统。,145,其中n个列矢量可以按如下方法构成： 前n1个列矢量R1，R2Rn1是能控性矩阵M中的n1个线性无关的列； 另外的(n-n1)个列Rn1+1Rn在确保Rc为非奇异的条件下，完全是任意的。,146,例3-15,设线性定常系统如下，判别其能控性，若不是完全能控的，试将该系统按能控性进行分解。,147,解 系统能控性判别矩阵,所以系统是不完全能控的。,按式(3-107)构造非奇异变换阵Rc,其中R3是任意的，只要能保证Rc为非奇异即可。,148,变换后系统的状态空间表达式,149,在构造变换矩阵Rc时，其中(n-n1)列的选取，是在保证Rc为非奇异的条件下任选的。现将R3选取为另一矢量R3=1 0 1T,则,于是,150,其实，这一现象并非偶然，因为变换矩阵的前n1列是能控性判别阵中的n1个线性无关列。,从两个状态空间表达式可以看出，它们都把系统分解成两部分，一部分是二维能控子系统，另一部分是一维不能控子系统，且其二维能控子空间的状态空间表达式是相同的，均属能控标准型,151,二、按能观性分解,152,将状态空间表达式(3-108)变换为,(3-112),(3-113),153,和不能观n-n1的子系统,可见，经上述变换后系统分解为能观的n1维子系统,图3-13是其结构图。显然，若不考虑(n-n1)维不能观测的子系统，便得到一个n1维的能观系统。,154,其中前n1行矢量 是能观性判别阵中的n1个线性无关的行；,另外的(n-n1)个行矢量 在确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。,155,例3-16,设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将该系统按能观性进行分解。,156,所以该系统是状态不完全能观的。,解 系统的能观性判别矩阵,其秩,为构造非奇异变换阵 ，取,157,得,其中 是在保证 为非奇异的条件下任意选取的。,于是系统状态空间表达式变换为,158,三、按能控性和能观性进行分解,1如果线性系统是不完全能控和不完全能观,若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。,159,160,(3-119),(3-120),从 的结构可以看出，整个状态空间分为能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个部分，分别用 表示。,161,并且(A11, B1, C1)是能控能观子系统。,162,从结构图可以清楚看出四个子系统传递信息的情况。,式(3-117)的方块结构图如图3-14所示。,163,在系统的输入u和输出y之间，只存在一条唯一的单向控制通道，即uB11C1y。,从而也说明，传递函数阵只是对系统的一种不完全的描述，如果在系统中添加(或去掉)不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递函数阵。因而根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式其解将有无穷多个。,显然，反映系统输入输出特性的传递函数阵W(s)只能反映系统中能控且能观的那个子系统的动力学行为。,但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是最小实现问题。,164,2变换矩阵R确定之后，只须经过一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解，但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。,步骤如下：,(1)首先将系统=(A, B, C)按能控性分解,下面介绍一种逐步分解的方法。这种方法虽然计算较繁，但较直观，易于掌握。,165,166,对 取状态变换,式中 不能控但能观的状态； 不能控不能观的状态； 根据式(3-114)构造的 的按能观性分解的变换阵。,(2) 将上式中不能控的子系统 按能观性分解,将 分解为,167,(3) 将能控子系统 按能观性分解,对xc取状态变换,由式(3-124)有,把状态变换后的关系代入上式，有,168,两边左乘 ，有,式中 能控能观状态； 能控不能观状态； 根据式(3-114)构造的 按能观性分解的变换阵。,169,综合以上三次变换，便可导出系统同时按能控性和能观性进行结构分解的表达式。,170,例 3-17,171,解 例3-15已将系统按能控性分解,经变换后，系统分解为,从上面可见，不能控子空间 仅一维，且显见是能观的，故无需再进行分解。,172,将能控子系统c按能观性进行分解,按能观性分解，根据式(3-114)构造非奇异变换阵,173,即,将c按能观性分解为,174,综合以上两次变换结果，系统按能控和能观分解为表达式,175,3结构分解的另一种方法,先把待分解的系统化成约旦标准型， 然后按能控判别法则和能观判别法则判别各状态变量的能控性和能观性， 最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。,176,例如给定系统=(A, B, C)的约旦标准型为,177,按约旦标准型能控判别准则和能观判别准则,判定：,于是,能控且能观变量：x1，x2能控但不能观变量：x3，x5不能控但能观变量：x4不能控不能观变量：x6,178,按此顺序重新排列，就可导出,179,3-9 传递函数矩阵的实现问题,反映系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反映系统中能控且能观子系统的动力学行为。对于某一给定的传递函数阵将有无穷多的状态空间表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个内部不同结构的系统。,从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构的系统中，其中维数最小的一类系统就是所谓最小实现问题。,180,确定最小实现是一个复杂的问题，本节只是在前一节系统结构分析的基础上对实现问题的基本概念作一简单介绍，并通过几个具体例子介绍寻求最小实现的一般步骤。,181,一、实现问题的基本概念,应该指出，并不是任意一个传递函数阵W(s) 都可以找到其实现，通常它必须满足物理可实现性条件。即,182,传递函数阵W(s)中的每一个元的分子分母多项式系数均为实常数。,2) W(s)的元Wik(s)是s的真有理分式函数，即Wik(s) 的分子多项式的次数低于或等于分母多项式的次数。,当Wik(s)的分子多项式的次数低于分母多项式的次数时称Wik(s)为严格真有理分式。,若W(s)阵中所有元都为严格真有理分式时，其实现具有(A, B, C)的形式。,183,根据上述物理可实现性条件，对于其元不是严格的真有理分式的传递函数阵，应首先按式(3-126a)算出D阵，使W(s)-D为严格的真有理分式函数的矩阵。,然后再根据W(s)-D寻求形式为(A, B, C)的实现。,184,二、能控标准型实现和能观标准型实现,3-7已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。,本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把mr维的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式。,185,式中 n-1, n-2, , 1, 0 mr维常数阵； 分母多项式该传递函数阵的特征多项式。,显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当m=r=1时，W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。,186,(3-130),式中 0r和Ir rr阶零矩阵和单位矩阵； r 输入矢量的维数； n 式(3-127)分母多项式的阶数。,187,(3-133),式中 0m和Im mm阶零矩阵和单位矩阵； m 输出矢量的维数。,188,显然可见，能控标准型实现的维数是nr，能观标准型实现的维数是nm。 最后应指出，多输入多输出系统的能观标准型并不是能控标准型简单的转置，这一点和单输入单输出系统不同，读者必须注意。,189,例3-18,190,解 首先将W(s)化成严格的真有理分式，可算得,191,对照式(3-127)，可得,将C(sI-A)-1B 写成按s降幂排列的格式,192,将上述系数及矩阵代入式(3-128)、式(3-129)及(3-130)，便可得到能控标准型的各系数阵,193,194,类似地，将i及i(i=0,1,2)代入式(3-131),式(3-132)、式(3-133)，可得能观标准型各系数阵。,195,所得结果也进一步表明，多变量系统的能控标准型实现和能观标准型实现之间并不是一个简单的转置关系。,196,三、最小实现,传递函数阵只能反映系统中能控且能观的子系统的动力学行为。对于一个可实现的传递函数阵来说，将有无穷多的状态空间表达式与之对应。从工程角度看，如何寻求维数最小的一类实现，具有重要的现实意义。,197,1、最小实现的定义,198,由于传递函数阵只能反映系统中能控和能观子系统的动力学行为，因此把系统中不能控或不能观的状态分量消去，将不会影响系统的传递函数阵。也就是说，这些不能控或不能观状态分量的存在将使系统成为不是最小实现。根据上述分