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考前冲刺二考前冲刺二 活用活用 12 个二级结论个二级结论高效解高效解题题 高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分. 结论 1 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 xD，都有 f(x)f(x)0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)maxf(x)min0，且若 0D，则f(0)0. 【例 1】 设函数 f(x)（x1）2sin xx21的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm_. 解析 显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)（x1）2sin xx2112xsin xx21， 设 g(x)2xsin xx21，则 g(x)g(x)， g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min 2g(x)maxg(x)min2. 答案 2 【训练 1】 已知函数 f(x)ln( 19x23x)1，则 f(lg 2)flg 12( ) A.1 B.0 C.1 D.2 解析 令 g(x)ln(19x23x)，xR，则 g(x)ln( 19x23x)，因为 g(x)g(x)ln( 19x23x)ln(19x23x)ln(19x29x2)ln 10， 所以g(x)是定义在 R 上的奇函数. 又 lg 12lg 2，所以 g(lg 2)glg 120， 所以 f(lg 2)flg 12g(lg 2)1glg 1212. 答案 D 结论 2 函数周期性问题 已知定义在 R 上的函数 f(x)，若对任意的 xR，总存在非零常数 T，使得 f(xT)f(x)，则称 f(x)是周期函数，T 为其一个周期. 常见的与周期函数有关的结论如下： (1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. (2)如果 f(xa)1f（x）(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. (3)如果 f(xa)f(x)c(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 【例 2】 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 fx32f(x)， 且 f(2)f(1)1，f(0)2，则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020)( ) A.2 B.1 C.0 D.1 解析 因为 fx32f(x)， 所以 f(x3)fx32f(x)，则 f(x)的周期 T3. 则有 f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f(0)2， 所以 f(1)f(2)f(3)0， 所以 f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020) f(1)f(2)f(3)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020) 673f(1)f(2)f(3)f(2 020)0f(1)1. 答案 B 【训练 2】 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数，且 f(1)1，则 f(8)f(9)( ) A.2 B.1 C.0 D.1 解析 由 f(x2)是偶函数可得 f(x2)f(x2)， 又由 f(x)是奇函数得 f(x2)f(x2)， 所以 f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x). 故 f(x)是以 8 为周期的周期函数，所以 f(9)f(81)f(1)1. 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，所以 f(8)f(0)0，故 f(8)f(9)1. 答案 D 结论 3 函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(ax)f(bx)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xab2对称，特别地，若 f(ax)f(ax)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称. (2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0， 即 f(x)f(2ax)， 则 f(x)的图象关于点(a，0)对称. (3)若 f(ax)f(ax)2b 恒成立，则 yf(x)的图象关于点(a，b)对称. 【例 3】 函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)f(x)成立，且函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则 f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_. 解析 因为函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， 又 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 017)f(50441)f(1)4， 所以 f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144) f(2 014)f(2 014)0， 所以 f(2 016)f(2 017)f(2 018)4. 答案 4 【训练 3】 (1)(2019 贵阳调研)若函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(1x)的图象大致为( ) (2)若偶函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，且 f(3)3，则 f(1)_. 解析 (1)作出 yf(x)的图象关于 y 轴对称的图象，得到 yf(x)的图象， 将 yf(x)的图象向右平移 1 个单位，得 yf(x1)f(1x)的图象. 因此图象 A 满足. (2)因为 f(x)的图象关于直线 x2 对称，所以 f(x)f(4x)，f(x)f(4x)， 又 f(x)f(x)， 所以 f(x)f(x4)，则 f(1)f(3)3. 答案 (1)A (2)3 结论 4 两个经典不等式 (1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当 x1 时，等号成立. (2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当 x0 时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且 x1). 【例 4】 已知函数 f(x)x1aln x. (1)若 f(x)0，求 a 的值； (2)证明：对于任意正整数 n，112 1122112n e. (1)解 f(x)的定义域为(0，)， 若 a0，因为 f1212aln 20，由 f(x)1axxax知， 当 x(0，a)时，f(x)0； 所以 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增， 故 xa 是 f(x)在(0，)的唯一最小值点. 因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，故 a1. (2)证明 由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0. 令 x112n，得 ln112n12n. 从而 ln112ln1122ln112n1212212n112n1. 故112 1122112n0，ln（x1）x0， 得x|x1，且 x0，所以排除选项 D. 当 x0 时，由经典不等式 x1ln x(x0)， 以 x1 代替 x，得 xln(x1)(x1，且 x0)， 所以 ln(x1)x1，且 x0)，排除 A，C，易知 B 正确. 答案 B (2)证明 令 g(x)f(x)12x2x1 ex12x2x1，xR，则 g(x)exx1， 由经典不等式 exx1 恒成立可知，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在 R 上为增函数，且 g(0)0. 所以函数 g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论 5 三点共线的充要条件 设平面上三点 O，A，B 不共线，则平面上任意一点 P 与 A，B 共线的充要条件是存在实数 与 ，使得OPOAOB，且 1.特别地，当 P 为线段 AB 的中点时，OP12OA12OB. 【例 5】 在ABC 中，AE2EB，AF3FC，连接 BF，CE，且 BF 与 CE 交于点 M，AMxAEyAF，则 xy 等于( ) A.112 B.112 C.16 D.16 解析 因为AE2EB，所以AE23AB， 所以AMxAEyAF23xAByAF. 由 B，M，F 三点共线得23xy1. 因为AF3FC，所以AF34AC， 所以AMxAEyAFxAE34yAC. 由 C，M，E 三点共线得 x34y1. 联立解得x12，y23，所以 xy122316. 答案 C 【训练 5】 在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC的中点.若ABAMAN，则 _. 解析 如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T. 由已知易得 AB45AT，45ATABAMAN， AT54AM54AN，T，M，N 三点共线，54541，45. 答案 45 结论 6 三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC 的外心|OA|OB|OC|a2sin A. (2)O 为ABC 的重心OAOBOC0. (3)O 为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA. (4)O 为ABC 的内心aOAbOBcOC0. 【例 6】 已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP13(1)OA(1)OB(12) OC，R，则点 P 的轨迹一定经过( ) A.ABC 的内心 B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心 D.AB 边的中点 解析 取 AB 的中点 D，则 2ODOAOB， OP13(1)OA(1)OB(12)OC， OP132(1)OD(12)OC2（1）3OD123OC， 又2（1）31231， 点 P，C，D 三点共线， 故点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心. 答案 C 【训练 6】 (1)P 是ABC 所在平面内一点，若PA PBPB PCPC PA，则 P 是ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)O是平面上一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点， 动点P满足OPOBOC2AP，R，则 P 点的轨迹一定经过ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析 (1)由PA PBPB PC，可得PB (PAPC)0，即PB CA0，PBCA，同理可证PCAB，PABC.P 是ABC 的垂心. (2)设 BC 的中点为 M，则OBOC2OM， 则有OPOMAP，即MPAP. P 的轨迹一定通过ABC 的重心. 答案 (1)D (2)C 结论 7 与等差数列相关的结论 已知等差数列an，公差为 d，前 n 项和为 Sn. (1)若 Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列. (2)若等差数列an的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数项之和为 S奇，所有偶数项之和为 S偶，则所有项之和 S2mm(amam1)，S偶S奇md，S偶S奇am1am. (3)若等差数列an的项数为奇数 2m1， 所有奇数项之和为 S奇， 所有偶数项之和为 S偶，则所有项之和 S2m1(2m1)am，S奇S偶am，S奇S偶mm1. 【例 7】 (1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 am1am1a2m0，S2m138，则 m_. 解析 (1)数列an为等差数列，且前 n 项和为 Sn， 数列Snn也为等差数列. Sm1m1Sm1m12Smm，即2m13m10，解得 m5. 经检验，m5 符合题意. (2)由 am1am1a2m0 得 2ama2m0，解得 am0 或 2. 又 S2m1（2m1）（a1a2m1）2(2m1)am38， 显然可得 am0，所以 am2. 代入上式可得 2m119，解得 m10. 答案 (1)C (2)10 【训练 7】 (1)(2019 成都诊断)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1020，S2050，则 S30_. (2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差 d_. 解析 (1)(S20S10)S10(S30S20)(S20S10)，S303S203S1035032090. (2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S奇，偶数项的和为 S偶，等差数列的公差为 d. 由已知条件，得S奇S偶354，S偶S奇3227，解得S偶192，S奇162. 又 S偶S奇6d，所以 d19216265. 答案 (1)90 (2)5 结论 8 与等比数列相关的结论 已知等比数列an，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)数列1an也为等比数列，其公比为1q. (2)公比 q1 或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*). (3)若等比数列的项数为 2n(nN*)，公比为 q，奇数项之和为 S奇，偶数项之和为S偶，则 S偶qS奇. (4)已知等比数列an，公比为 q，前 n 项和为 Sn.则 SmnSmqmSn(m，nN*). 【例 8】 (1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6( ) A.2 B.73 C.83 D.3 解析 由已知S6S33，得 S63S3且 q1，因为 S3，S6S3，S9S6也为等比数列， 所以(S6S3)2S3(S9S6)， 则(2S3)2S3(S93S3).化简得 S97S3， 从而S9S67S33S373. 答案 B (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S372，S6632. 求数列an的通项公式； 求 log2a1log2a2log2a3log2a25的值. 解 由 S372， S6632， 得 S6S3q3S3(1q3)S3， q2.又 S3a1(1qq2)，得 a112. 故通项公式 an122n12n2. 由及题意可得 log2ann2， 所 以 log2a1 log2a2 log2a3 log2a25 1 0 1 2 23 25（123）2275. 【训练 8】 已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列1an的前 5 项和为( ) A.158或 5 B.3116或 5 C.3116 D.158 解析 设等比数列an的公比为 q，易知 S30. 则 S6S3S3q39S3，所以 q38，q2. 所以数列1an是首项为 1，公比为12的等比数列，其前 5 项和为11251123116. 答案 C 结论 9 多面体的外接球和内切球 (1)长方体的体对角线长 d 与共点的三条棱长 a，b，c 之间的关系为 d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为 R，则有(2R)2a2b2c2. (2)棱长为 a 的正四面体内切球半径 r612a，外接球半径 R64a. 【例 9】 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.76 B.43 C.23 D.2 解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等). 依题意，x4318，得 x2，易得小三棱锥的高为2 63. 设小球半径为 r，则13S底面2 63413S底面r(S底面为小三棱锥的底面积)，得 r66. 故小球的表面积 S4r223. 答案 C 【训练 9】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是 1，且其外接球的表面积是 16，则该三棱柱的侧棱长为( ) A. 14 B.2 3 C.4 6 D.3 (2)(2019 重庆诊断)已知球 O 的直径 PA2r，B，C 是该球面上的两点，且 BCPBPCr，三棱锥 PABC 的体积为32 23，则球 O 的表面积为( ) A.64 B.32 C.16 D.8 解析 (1)由于直三棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是 16，所以外接球半径为 2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长 2，所以该三棱柱的侧棱长为 162 14. (2)如图，取 PA 的中点 O，则 O 为球心，连接 OB，OC，则几何体OBCP 是棱长为 r 的正四面体，所以 VOBCP212r3，于是 VPABC2VOBCP26r3，令26r332 23，得 r4.从而 S球44264. 答案 (1)A (2)A 结论 10 焦点三角形的面积公式 (1)在椭圆x2a2y2b21(ab0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则PF1F2的面积 SPF1F2b2 tan 2，其中 F1PF2. (2)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，则PF1F2的面积 SPF1F2b2tan 2，其中 F1PF2. 【例 10】 如图，F1，F2是椭圆 C1：x24y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.62 解析 设双曲线 C2的方程为x2a22y2b221，则有 a22b22c22c21413. 又四边形 AF1BF2为矩形，所以AF1F2的面积为 b21tan 45 b22tan 45，即 b22b211. 所以 a22c22b22312. 故双曲线的离心率 ec2a23262. 答案 D 【训练 10】 已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C上一点，且PF1PF2.若PF1F2的面积为 9，则 b_. 解析 在焦点三角形 PF1F2中，PF1PF2， 所以F1PF290 ， 故 SPF1F2b2tanF1PF22b2tan 45 9，则 b3. 答案 3 结论 11 圆锥曲线的切线问题 (1)过圆 C：(xa)2(yb)2R2上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)R2. (2)过椭圆x2a2y2b21 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0 xa2y0yb21. (3)已知点 M(x0，y0)，抛物线 C：y22px(p0)和直线 l：y0yp(xx0). 当点 M 在抛物线 C 上时，直线 l 与抛物线 C 相切，其中 M 为切点，l 为切线. 当点 M 在抛物线 C 外时，直线 l 与抛物线 C 相交，其中两交点与点 M 的连线分别是抛物线的切线，即直线 l 为切点弦所在的直线. 【例 11】 已知抛物线 C：x24y，直线 l：xy20，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点，当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程. 解 联立方程得x24y，xy20，消去 y， 整理得 x24x80， (4)248160)焦点的弦 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 (1)xA xBp24. (2)yA yBp2. (3)|AB|xAxBp2psin2( 是直线 AB 的倾斜角). 【例 12】 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于( ) A.4 B.92 C.5 D.6 解析 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图设 A，B 在准线上的射影分别为D，C，作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜角为 ， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos AEAB13，sin289. 又 y24x，知 2p4，故利用弦长公式|AB|2psin292. 答案 B 【训练 12】 (2019 郑州调研)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 解析 法一 由已知得焦点坐标为 F34，0 ， 因此直线 AB 的方程为 y33 x34，即 4x4 3y30. 与抛物线方程联立，化简得 4y212 3y90， 故|yAyB|（yAyB）24yAyB6. 因此 SOAB12|OF|yAyB|1234694. 法二 由 2p3，及|AB|2psin2 得|AB|2psin23sin23012. 原点到直线 AB 的距离 d|OF| sin 30 38， 故 SAOB12|AB| d12123894. 答案 D