第五章第2节向量的分解与向量的坐标运算.doc

第第 2 节节 向量的分解与向量的坐标运算向量的分解与向量的坐标运算 最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1和 e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使 aa1e1a2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量 a 关于基底e1，e2的分解式. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB(x2x1， y2y1)， |AB| （x2x1）2（y2y1）2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10. 微点提醒 1.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)且 ab，则 x1x2且 y1y2. 2.若 a 与 b 不共线，ab0，则 0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( ) (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2满足 1a1b2a2b，则 12，12.( ) (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.( ) 解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若 b(0，0)，则x1x2y1y2无意义. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P99B1 改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e1(0，0)，e2(1，2) B.e1(1，2)，e2(5，7) C.e1(3，5)，e2(6，10) D.e1(2，3)，e212，34 解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 答案 B 3.(必修 4P103B3 改编)设 P 是线段 P1P2上的一点，若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2的一个三等分点(靠近点 P1)，则点 P 的坐标为( ) A.(2，2) B.(3，1) C.(2，2)或(3，1) D.(2，2)或(3，1) 解析 由题意得P1P13P1P2且P1P2(3，3). 设 P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)， x2，y2，则点 P(2，2). 答案 A 4.(2015 全国卷)已知点 A(0， 1)， B(3， 2)， 向量AC(4， 3)， 则向量BC( ) A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4) 解析 根据题意得AB(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7， 4)，故选 A. 答案 A 5.(2017 山东卷)已知向量 a(2，6)，b(1，)，若 ab，则 _. 解析 ab，260，解得 3. 答案 3 6.(2019 赤峰二中模拟)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为_. 解析 设 D(x， y)， 则由ABDC， 得(4， 1)(5x， 6y)， 即45x，16y，解得x1，y5. 答案 (1，5) 考点一 平面向量基本定理及其应用 【例 1】 (1)(2019 阜新实验中学月考)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若AB2AE，AD3AF，AMABAC(，R)，则52( ) A.12 B.1 C.32 D.3 (2)(2019 长春调研)在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD13AB12AC.延长 AD 交 BC 于 E，若AEABAC，则 的值是_. 解析 (1)AMABACAB(ABAD) ()ABAD2()AE3AF. 因为 E，M，F 三点共线，所以 2()(3)1， 即 251，5212. (2)设AExAD，AD13AB12AC， AEx3ABx2AC. 由于 E，B，C 三点共线，x3x21，x65. 根据平面向量基本定理，得 x3，x2. 因此 x3x2x615. 答案 (1)A (2)15 规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【训练 1】 (1)(2019 济南质检)在ABC 中，AN14NC，若 P 是直线 BN 上的一点，且满足APmAB25AC，则实数 m 的值为( ) A.4 B.1 C.1 D.4 (2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC23OA13OB，则|AC|AB|_. 解析 (1)根据题意设BPnBN(nR)，则APABBPABnBNABn(ANAB)ABn15ACAB(1n)ABn5AC. 又APmAB25AC，1nm，n525，解得n2，m1. (2)因为OC23OA13OB，所以OCOA13OA13OB13(OBOA)，所以AC13AB，所以|AC|AB|13. 答案 (1)B (2)13 考点二 平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)设 A(0，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(0，1)，则ABAC等于( ) A.2AD B.2AD C.3AD D.3AD (2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (1)由题意得AB(1，2)，AC(1，4)，AD(0，2)，所以ABAC(0，6)3(0，2)3AD. (2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)， aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)， cab，(1，3)(1，1)(6，2)， 则61，23，解得 2，12， ，2124. 答案 (1)C (2)D 规律方法 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用. 2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 【训练 2】 (1)(2019 广东联考)已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|2|AC|，则向量OB的坐标是_. (2)如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E 为 AD的中点，若CACEDB(，R)，则 的值为( ) A.65 B.85 C.2 D.83 解析 (1)由点 C 是线段 AB 上一点，|BC|2|AC|，得BC2AC. 设点 B 为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2). 则2x2，3y4，解得x4，y7. 所以向量OB的坐标是(4，7). (2)建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0，0). 不妨设 AB1，则 CDAD2，所以 C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)， CA(2，2)，CE(2，1)，DB(1，2)， CACEDB，(2，2)(2，1)(1，2)， 22，22，解得65，25，则 85. 答案 (1)(4，7) (2)B 考点三 平面向量共线的坐标表示 多维探究 角度 1 利用向量共线求向量或点的坐标 【例 31】 (一题多解)已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点P 的坐标为_. 解析 法一 由 O，P，B 三点共线，可设OPOB(4，4)， 则APOPOA(44，4). 又ACOCOA(2，6)， 由AP与AC共线，得(44)64(2)0， 解得 34， 所以OP34OB(3，3)， 所以点 P 的坐标为(3，3). 法二 设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4，4)，且OP与OB共线，所以x4y4，即 xy. 又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线， 所以(x4)6y(2)0，解得 xy3， 所以点 P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3) 角度 2 利用向量共线求参数 【例 32】 (1)(2018 全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，则 _. (2)已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 manb 与 a3b 共线，则mn_. 解析 (1)由题意得 2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 420，即 12. (2)由2132，所以 a 与 b 不共线， 又 a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0. 那么当 manb 与 a3b 共线时， 有m1n3，即得mn13. 答案 (1)12 (2)13 规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10；(2)若 ab(b0)，则 ab. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 【训练 3】 (1)(2019 北师大附中检测)已知向量 a(1，1)，点 A(3，0)，点 B 为直线 y2x 上的一个动点，若ABa，则点 B 的坐标为_. (2)设向量OA(1，2)，OB(2m，1)，OC(2n，0)，m，nR，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则 mn 的最大值为( ) A.3 B.2 C.2 D.3 解析 (1)由题意设 B(x，2x)，则AB(x3，2x)， ABa，x32x0，解得 x3，B(3，6). (2)由题意易知，ABAC，其中ABOBOA(2m1，1)，ACOCOA (2n1，2)， 所以(2m1)21(2n1)，得：2m12n1. 2m12n2 2mn1，所以 2mn122，即 mn3. 答案 (1)(3，6) (2)A 思维升华 1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. 2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. 3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a1e12e2的形式. 易错防范 1.注意运用两个向量 a，b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2x2y10. 2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.向量 a，b 满足 ab(1，5)，ab(5，3)，则 b 为( ) A.(3，4) B.(3，4) C.(3，4) D.(3，4) 解析 由 ab(1，5)，ab(5，3)， 得 2b(1，5)(5，3)(6，8)， b12(6，8)(3，4). 答案 A 2.已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与AB同方向的单位向量是( ) A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 解析 ABOBOA(4，1)(1，3)(3，4)， 与AB同方向的单位向量为AB|AB|35，45. 答案 A 3.已知向量 a(2，1)，b(3，4)，c(1，m)，若实数 满足 abc，则 m等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由平面向量的坐标运算法则可得 ab(5，5)， c(，m)，据此有5，m5，解得 5，m1，m6. 答案 B 4.已知向量 a(1， 2)， b(3， m)， mR， 则“m6”是“a(ab)”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由题意得 ab(2，2m)，由 a(ab)，得1(2m)22，所以 m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件. 答案 A 5.已知 e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且 mn0，若 ab，则mn( ) A.12 B.12 C.2 D.2 解析 因为 ab，所以 ab，即 me12e2(ne1e2)，则nm，2，得mn2. 答案 C 6.已知点 A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若APABAC(R)，且点 P 在直线 x2y0 上，则 的值为( ) A.23 B.23 C.32 D.32 解析 设 P(x，y)，则由APABAC， 得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，27). 所以 x54，y75. 又点 P 在直线 x2y0 上， 故 542(75)0，解得 23. 答案 B 7.(2019 河北豫水中学质检)已知在 RtABC 中，BAC90 ，AB1，AC2，D 是ABC 内一点，且DAB60 ，设ADABAC(，R)，则( ) A.2 33 B.33 C.3 D.2 3 解析 如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)， 因为DAB60 ，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m0). AD(m， 3m)ABAC(1，0)(0，2)(，2)，则 m，且 32m， 所以2 33. 答案 A 8.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB，BC分别为 a，b，则AH( ) A.25a45b B.25a45b C.25a45b D.25a45b 解析 设AHAF，DHDE.而DHDAAHbAFbb12a ， DHDEa12b . 因此，a12b bb12a .由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得12，121.解之得 45，25.故AHAFb12a 25a45b. 答案 B 二、填空题 9.(2019 安徽江南十校联考)已知平面向量 a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，且(ac)(ab)，则 m_. 解析 a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)， ac(m1，m3)，ab(1，m5)， 又(ac)(ab)， (m1)(m5)m30，即 m23m20， 解之得 m3 172. 答案 3 172 10.已知 A(2，3)，B(4，3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且|AP|32|BP|，则点 P的坐标为_. 解析 设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上， 则AP32BP，得(x2，y3)32(x4，y3)， 即x232（x4），y332（y3）.解得x8，y15. 所以点 P 的坐标为(8，15). 答案 (8，15) 11.已知 A(1，1)，B(3，1)，C(a，b)，若 A，B，C 三点共线，则 a，b 的关系式为_. 解析 由已知得AB(2，2)，AC(a1，b1)， A，B，C 三点共线，ABAC. 2(b1)2(a1)0，即 ab2. 答案 ab2 12.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 p(ac，b)，q(ba，ca)，且 pq，则角 C_. 解析 因为 pq，则(ac)(ca)b(ba)0， 所以 a2b2c2ab，所以a2b2c22ab12， 由余弦定理知，cos C12，又因为 0C，所以 C3. 答案 3 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.如图，在ABC 中，AD23AC，BP13BD，若APABAC，则 的值为( ) A.89 B.49 C.83 D.43 解析 APABBPAB13BDAB13(ADAB)23AB1323AC23AB29AC. 因为APABAC，所以 23，29，则 232989. 答案 A 14.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 90 ，如图所示，点 C在以 O 为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 解析 因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上，所以|OC|2|xOAyOB|2x2y22xyOA OBx2y2， x2y21，则 2xyx2y21. 又(xy)2x2y22xy2， 故 xy 的最大值为 2. 答案 B 15.已知|OA|1，|OB| 3，OA OB0，点 C 在AOB 内，且OC与OA的夹角为30 ，设OCmOAnOB(m，nR)，则mn的值为_. 解析 OA OB0，OAOB， 以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系， OA(1，0)，OB(0， 3)，OCmOAnOB(m， 3n). tan 30 3nm33， m3n，即mn3. 答案 3 16.在ABC 中，点 D 满足BDDC，当点 E 在线段 AD 上移动时，若AEABAC，则 t(1)22的最小值是_. 解析 因为BDDC， 所以AD12AB12AC. 又AEABAC，点 E 在线段 AD 上移动， 所以AEAD，则1212，即 012. 所以 t(1)222221212212. 当12时，t 的最小值是12. 答案 12