高等数学教案.doc

普洱市职业教育中心教师备课本科 目： 高 等 数 学 班 级：_任课教师： 周 文 德 日 期：_高等数学（上册第一分册）一元函数微积分柳重堪 主编1.函数2.极限与连续3.导数与微分4.导数的应用5.不定积分6.定积分及其应用Ø 初等数学与高等数学的根本区别用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。Ø 关于数学应用的评价  “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。华罗庚 “数学处于人类智能的中心领域”冯.诺依曼“数学是调节理论和实践、思想和经验之间的差异的工具。它建起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学”。希尔伯特第1章 函 数本章教学内容:1.1 实数1.2 函数1.3 初等函数1.4 建立函数关系举例【课题】1.1 实数 1.2 函数【教学目标】（1）理解区间的概念，学会用区间表示不等式的解集；（2）理解函数的概念，学会求函数值和定义域；（3）了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）【教学重点】函数的概念及其性质 【教学难点】函数的概念及其性质【教学设计】（1）本次课内容旨在复习中专数学内容，温故知新，以自主学习为主；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】1.1实数一、实数Ø 创设情景 兴趣导入人们在幼童时期就学会了数东西，那就是自然数的一种应用，此后，在记账时为了表示收入和支出，需要用到正数和负数；在标明商品价格、测量物体长度和重量时要用到小数或分数；边长为1米的正方形，由勾股定理知其对角线的长为米，这就导致无理数。数的概念的逐步拓展，一方面是出于实践的需要，另一方面也完善了关于数的理论。Ø 实数包括有理数和无理数两大类。1) 有理数是能表示为两个整数相除的形式的数，或者等价地，有理数就是有限小数或无限循环小数。2) 凡是不能表示成两个整数相除的数称为无理数，或者等价地，无理数是无限不循环小数。Ø 在几何上，可以用数轴上的点来表示实数。这样，就可以建立起全体实数和数轴之间一一对应的关系。换句话说，任意给定一个实数，总可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应，反之，在数轴上的每一个点也必定唯一地对应一个实数。二、区间Ø 创设情景 兴趣导入1、问题资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断提高运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时速旅客列车在北京与天津两个直辖市之间运行的，设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间如何表示列车的运行速度的范围？2、解决不等式：200<v<3503、区间概念一般地，给定两个数a和b（假定a<b），我们把所有大于a且小于b的数的全体记为(a，b)，把所有不小于a且不大于b的数的全体记为a，b，并引入记号“”如下：x(a，b)表示a<x<bxa，b表示axb(a，b)称为开区间，a，b称为闭区间，并称a，b为区间的端点. 在数轴上，(a，b)和 a，b表示点a和点b之间的线段，前者不包括端点，后者包括端点。类似地有半开区间：(a，b和a，b)；无限区间：（-，a），（-，+）引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为.三、绝对值在数轴上，|x|表示点x到原点o的距离. 显然，|x-y|表示点x与点y之间的距离.例1 解不等式|x|9解：|x|9等价于不等式-9x9，即x-9,9例2 解不等式|x|>9解：|x|>9等价于x>9或x<-9因此x(-,-9)或x(9,+)例3 解不等式|u-2|<0.1解：|u-2|<0.1等价于-0.1< u-2<0.1，即1.9< u<2.1,因此u(1.9,2.1)思考：| u -a|<小结：要求学生会求诸如|x|>a，|x|<b的不等式和|x-a|<（a的邻域）.练习 1.1 2、4、5、61.2 函数一、常量与变量Ø 创设情景 兴趣导入在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子： 例如：某种商品的销售单价为元，则其销售额与销售量之间存在这样的依赖关系：=，其中p为常量，L和x是变量.又例如：圆的面积和半径之间存在这样的依赖关系：,其中是常量，S,r是变量.不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。二、函数的定义定义1.1 设D是一非空数集，如果有一个对应规则f，使得对每一xD，都能对应于唯一的一个数y，则此对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并把数x与相应的数y之间的对应关系记为y=f(x)并称x为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D为定义域.当自变量x取遍定义域D中数值时，相应的函数值y取值集合Z=y|y=f(x),xD称为函数f的值域.函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。例1 f(x)=2x2+3x-1就是一个特定的函数，确定的对应法则为：f( )=2( )2+3( )-1例10：设f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2f(x)=2x2 x 2其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：分母不等于0 偶次根式被开方数大于或等于0 对数的真数大于0 y=x0 (x0 ) y=tanx(x)等.例2 求函数y=+arcsin的定义域. 解：要使函数有定义，即有： 于是，所求函数的定义域是：-3，-23，4.小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。例3 求函数的定义域解：在实数范围内使函数有意义的自变量x的取值范围是x0，故定义域为0,+.例4 求函数的定义域.解：对于，要求x0;对于，要求x满足-1x1,因此的定义域是-1,0(0,1例5 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx (2)=与y= 解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.三、函数表示法（1）解析法（或分析法、公式法）。如：、，这样的表达式亦为函数的解析式，这种表示法的主要优点是严密；（2）图示法：如用直角坐标平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优点是直观；(3)表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。四、函数的几种属性1.有界性 设函数y=f（x）在区间D内有定义，如果存在正数M，使得当x在D内取任何值时均有|f(x)|M则称函数f(x)在区间D内有界.如果不存在这样的数M，便称函数在D内是无界的。例如：，在（-，+）上均有界，而在（0，1）内无界.思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？y=sinx y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx2.奇偶性 一般地，如果函数定义域D以原点为对称，且恒满足等式f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)，则称f(x)是偶函数(或奇函数). 奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数的几何图形关于轴对称例如：函数是偶函数。例如：函数和是奇函数。例如：函数既不是奇函数也不是偶函数。3.周期性 我们在中专时已知道y=sinx,y=cosx,y=tanx及y=cotx都是周期函数，一般地，对于函数y=f(x),设其定义域为D，如果存在正常数T>0，使得对任一xD，有x±TD且下列等式成立：f(x±T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数思考：周期函数的周期唯一吗？4.单调性 如果当任意的x1,x2(a,b)，且x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2),则称函数在(a,b)上单调增加，区间(a,b)称为单调增区间；类似地，如果当任意的x1,x2(a,b)，且x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2), 则称函数在(a,b)上单调减少，区间(a,b)称为单调减区间单调增区间或单调减区间统称为单调区间课堂练习：练习1.2 2小结：1.函数的概念；2.函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性布置作业：练习1.1 5 练习1.2 3、4、5（1）-（4）选做12【课题】1.3 初等函数 1.4 建立函数关系举例【教学目标】1.掌握基本初等函数的图形和性质,培养数形结合的数学思想；2.理解复合函数的概念；3.掌握复合函数的构成过程.【教学重点】复合函数的构成过程 .【教学难点】复合函数的分解【教学设计】（1）实例引入知识，提升学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，培养学生的思维能力；（3）实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】1.3 初等函数一、基本初等函数在初等数学中，我们学习过下列六种函数，它们统称为基本初等函数.1.常值函数 y=c，其定义域为（-，+），图形是一条平行于x轴的直线.2.幂函数 y=x,为常数.思考：当分别等于-1，1/2，1，2，3时的定义域、图形.3.指数函数 y=(a>0，a1，a为常数).当a>1时是增函数；当0<a<1时是减函数.4.对数函数 y=( a>0，a1，a为常数). 当a>1时是增函数；当0<a<1时是减函数.当a=e时的对数函数称为自然对数，记为y=lnx.注意：指数函数与对数函数互为反函数，其图形以直线y=x对称.例如y=5x与y=log5x互为反函数，其图形以直线y=x对称.5. 三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx6.反三角函数 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx二、函数的复合运算定义 设其中，且的值全部或部分落在的定义域内，则称为的复合函数，而称为中间变量.简单说：几个基本初等函数的组合例1：若y=，u = sinx，则其复合而成的函数为y=，要求u必须0，sinx0，x2k，+2k例2：分析下列复合函数的结构（1）y= （2）y=解：（1）y=，u=cosv，v=（2）y=，u=sinv，v=，t=x+1例3：设f(x)= g(x)= 求fg(x) gf(x)解：fg(x)=f()=()=4 gf(x)=g()=2 注：此题用“整体代换”的思想.三、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。四、分段表示的函数例如符号函数sgnx=根据初等函数的定义，分段函数不是初等函数.课堂练习：练习1.3 1 （2）、（4）3 、51.4 建立函数关系举例创设情景 兴趣导入在研究和解决实际问题时，通常需要首先找出问题中变量之间的关系，即列出函数关系式，然后再进行分析和计算。下面我们将举几个例子说明建立函数关系式的方法。例1 某炼油厂要建造一个容积为v0的圆柱形储油罐（见图1-4-1）.试建立表面积和底半径之间的函数关系.图1-4-1解：油罐总的表面积等于上下底面（都是半径为r的圆）面积及侧面（长为2r高为h的矩形）面积之和：S=2r2+2rh根据题意，h×r2= v0，即h= v0/r2，把它代入上式，得到所求的函数关系如下：S=2r2+2 v0/r ，r(0,+)小结：建立函数关系时，首先要弄清哪些是常量，哪些是变量，哪个是自变量，哪个是因变量，然后根据题意建立函数关系，最后给出函数定义域.例2 某脉冲发生器产生一个三角形电压波，其波形如图1-4-2所示，要求写出电压u与时间t之间的函数关系式.解：由题意及1-4-2图看出和U0是给定的数.该脉冲波形由三段直线所构成.分别建立三段直线的方程即可得到所求函数（分段函数）如下：U=例3 在机械中常遇到一种曲柄连杆机构，如图1-4-3所示，半径为r的主动轮以等角速度旋转时，长为l的连杆AB就带动滑块B在槽内作水平往返运动.运动从=0开始.求滑块B的运动规律.解：设滑块B到主动轮中心的距离为s，由题意知这里的变量是s，和时间t，显然=t，而，r ,l都是常量.滑块B的运动规律可以用s作为t的函数来描述.下面就来求这个函数关系式.由几何关系可以得到S=OC+CB=rcos+= rcos+将=t代入，即得所求的滑块运动规律为S= rcost+, t0,+)课堂小结：由于实际问题多种多样，建立函数关系的方法也就不能千篇一律，需要具体问题具体分析。然而分清常量与变量，确定自变量与因变量，充分利用几何和物理等有关知识，建立函数关系是一些基本的步骤.课堂练习：P.28 练习1.4 1、2布置作业：P40 自我检测题第2章 极限与连续本章教学内容：2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 两个极限存在定理及其应用2.4 无穷小量与无穷大量2.5 函数的连续性【课题】2.1 数列的极限 【教学目标】了解数列极限的概念，知道数列“-N”定义；【教学重点】极限的概念 【教学难点】极限的概念【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】2.1 数列极限Ø 创设情景 兴趣导入问题：如何用渐近的方法求圆的面积？我国古代著名数学家刘徽利用计算圆的内接正3072边形面积算得=3.1416（后来祖冲之又算得3.），奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位.圆的面积被定义为内接（或外切）正多边形面积当边数无限增多时的极限.通过课件展示用圆的内接正多边形面积近似圆的面积，激发学生的求知欲导入新课.定义 一串无穷多个数按照某种规律依次排列下去，就构成一个数列：x1, x2, x3，xn,其中第n项xn称为该数列的通项.观察下列数列，当n无限增大时通项xn的变化趋势是什么？1，-1，1， ，(-1)n+1， ；定义2.1 设有数列xn和数a，如果对于任意给定的正数>0，总存在自然数N，使得当n>N时不等式|xn-a|<恒成立，则称数a是数列xn的极限，记为=a或xn数列的极限的描述性定义： 对于数列xn，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a 是数列xn的极限，或称数列xn收敛a 记为 =a如果数列没有极限，就说数列是发散的引导学生理解数列极限定义时就注意以下几点：（1）随着n无限增大，差距| xn-a|可以无限地变小；（2）当n大到一定程度后，| xn-a|可以任意小；（3）对于预先给定的任意小的正数，可以找到一个正整数N，当n变得比N大时，| xn-a|可以小于；（4）如果对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在一个正整数N，使得对N是的一切xn，不等式| xn-a|恒成立，则常数a就叫做数列xn当趋于无穷大时的极限或者说xn收敛于a性质1 如果一个数列有极限，则此极限是唯一的性质2 数列有无极限，极限是何值，与该数列的任意有限项无关，因此，将一个数列增加或删去有限项，不影响其极限是否存在，也不影响其极限值（如果极限存在）.性质3 有极限的数列一定有界.识记数列极限的四则运算课堂练习：P.51 练习2.1 1、5课堂小结：1、数列极限定义；2、数列极限的性质【课题】2.2 函数的极限 【教学目标】1.了解函数极限的概念，知道函数描述性定义，了解左右极限概念.2.掌握极限的四则运算法则【教学重点】极限的四则运算法则【教学难点】极限的概念【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】Ø 复习旧课 导入新课数列的极限的描述性定义：对于数列xn，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a 是数列xn的极限，或称数列xn收敛a 记为 =a一、当x->+时和当x->-时函数的极限定义2.2（x->+时的极限）定义2.3（x->-时的极限）规定： x从x的左右两侧无限接近于x,记x x x从x的左侧无限接近于x,记x x x从x的右侧无限接近于x,记x x x无限增大时，用记号x + x无限减小时，用记号x 无限增大时，用记号x 二、xx0时函数的极限举例说明：时，函数无限接近于多少？观察：当：x 1时，f(x)=x+1，无限接近2当：x 1时，g(x)=，无限接近2f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义2.4 如果当x x时,函数无限趋近于一个确定的常数, 则称为函数当 x x时的极限,记作f(x)=A或 (当 x x时).此时也称存在。如果当x x时, 函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在。如 ： ，又如= 2注意 ： f(x)=在x=1处无定义, 但当 x=1时,函数f(x)=无限趋近于一个确定的常数2,所以=2。 1、描述性定义 函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x，或+或），因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。（1）当x时，函数f(x)的极限此种情况与数列极限类似，不同处在于n->+是整序变量，即n只取1，2，3，等孤立的正整数点变到+，而x->+时，自变量x连续地取实数值变到+，函数f(x)无限接近于一个常数a（2）当xx0时，函数f(x)的极限 当x无限接近于常数x0时，函数f(x)无限接近于常数a结论：函数当 x x时的极限是否存在，与在点处是否有定义无关. 如上举例f(x)=在x=1处无定义, 但 = 2. 2、左右极限 右极限 当x x，有 左极限 当x x，有函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。定理 极限存在的充分必要条件 函数 当时的极限存在的充分必要条件是，当时的左右极限都存在并且相等.即 注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。三、极限运算法则设在同一变化过程中（此处省略了自变量的变化趋势，下同）及都存在，则有下列运算法则：法则1、f(x)g(x)= f(x) g(x)法则2、f(x)·g(x)= f(x)·g(x)法则3、=（g(x)0）(1)直接代入求值例1 求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=3·2-4·2+1=5例2 求解：= -例3 求解：=小结：时，可直接代入（若代入后令分母为零。可先约分后再代入）举例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、5、 6、（2）型例4 求解：=课堂小结：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之课堂练习:P.594、（1）、（3）、（5） 5、(1)、（3）、(5)布置作业：P.59 4、（2）、（4） 5、(2)、（4）、（8)【课题】2.3 两个极限存在定理及其应用 【教学目标】1.了解两个极限存在定理；2.识记两个重要极限，会用两个重要极限求极限.【教学重点】两个重要极限 【教学难点】两个重要极限的应用【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】Ø 创设情景 兴趣导入考察极限观察与思考：当x®0时函数的变化趋势x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.当x取正值趋近于0时，®1，即=1； 当x取负值趋近于0时，-x®0, -x>0, sin(-x)>0于是 一、夹逼定理两个重要极限：1、=1 （证明略） 特点：它是“”型 （三角形代表同一变量） 思考：吗？例1 求解：=例2 求解：=例3求解：原式=注：1、乘积的极限写成极限的乘积时，必须每个乘积的极限存在。二、单调数列存在定理定理 单调有界数列一定有极限（证明从略）例4（略）例5 数列的极限观察与思考：当n®+¥时函数的变化趋势n1210100010000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3即当n®+¥时， 是趋近于一个确定的无理数e2.2、可以证明： （2-3-14）若令 （2-3-15）特点：（） ，即1型；（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数， 公式（2-3-14）和（2-3-15）常用来求1型的幂指函数的极限.例6 求解：令1+，于是=例7 求解：，为了利用公式（2-3-14），令于是=课堂练习：P.69 1、（1）、（3）2、（1）、（2）、（3）课堂小结掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限。布置作业 p.69 1、（4）2、（4）、（5）、（6）【课题】2.4无穷小量与无穷大量 2.5 函数的连续性 【教学目标】1.了解无穷小量的概念、运算及其与无穷大量的关系；2.了解函数连续性的定义；3.了解函数间断点的概念；4.记住初等函数在其定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质.【教学重点】1.无穷小量的概念及运算；2.函数连续性的定义 【教学难点】函数连续性的定义【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】一、无穷小量概念定义2.5 极限为零的量称为无穷小量注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。2、数零是唯一可作为无穷小的常数。3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。4、当xa（或）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当xa（或）时，f(x)是无穷小量。若数列的极限为0，则是无穷小量。例如：，所以，当x0时，sin x 是无穷小量。同样，当x0时 (>0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。当x+时， ，所以是无穷小量.定理2.1 若 （2-4-1）则 （2-4-2）其中.逆命题也成立，也就是说式（2-4-1）与（2-4-2）等价.二、无穷小量的性质1、 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。例如，当x0时，x+sinx也是无穷小量2、 无穷小量与有界量之积是无穷小量。例如，当x0时，xsinx也是无穷小量。3、任一常数与无穷小量之积是无穷小量。例如，当x0时，3sinx也是无穷小量。4、有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）三、无穷小量的比较无穷小量的商不一定是无穷小量四、无穷大量当x（或±）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x（或±）时，f(x)是无穷大量。记作 f(x)=,或f(x).关于无穷大量几点说明: 1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念; 2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作或. 3.若数列当n+时，它项的绝对值无限增大，则是无穷大量。4.如果当x（或±）时，函数f(x)是无穷大量，那么就是当x（或±）时的无穷小量，反过来，如果当x（或±）时，函数f(x)是非零无穷小量，那么就是当x（或±）时的无穷大量。 即无穷大量的倒数是无穷小量。无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。 因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0， 证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。课堂练习 p.73 练习2.4 1 、2、3（1）(3)2.5 函数的连续性一、函数在一点的连续与间断定义2.6 设函数f(x)在x=x0的一个邻域内有定义，且等式成立，则称f(x)在点x0处连续，x0称为函数的连续点.注：f(x)在点x0处连续必须同时满足三个条件：(1)存在；(2)存在；(3).只要有一个条件不满足，则点就是函数f(x)的间断点。例1 证明f(x)=x2在其定义域的每一点处均连续。解：启发讲解例2 证明函数在x=0处是连续的.解：已知f(0)=0，而由此可知，即f(x)在x=0处连续.如果函数f(x)在x0及x0的右边附近有定义，且，则称f(x)在x0处右连续. 类似地，若，则称f(x)在x0处左连续二、间断点的分类设是的一个间断点，如果：（1）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当，则称为的跳跃间断点（2）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当存在，但不等于，则称为的可去间断点（3）除（1）（2）以外的，称为的第二类间断点，当=，称为的无穷间断点。三、初等函数的连续性如果函数f(x)在一个区间的每一点处都是连续的，则称f(x)在该区间上连续.可以证明，六类基本初等函数在其定义域内是连续的.定理2.2 如果一个初等函数在某个区间内有定义，则它在该区间内是连续的.四、利用连续函数求极限注意到函数连续的公式可以写成：这表明，对于连续函数f(x)而言，函数符号f与极限符号lim可以交换.这在求极限时是很有用的.例3 解：=例4 求解：略五、闭区间上连续函数的性质定理2.3 （最大值最小值存在定理）在闭区间上连续函数必定在该区间上达此函数的最大值和最小值.这个定理要求达到两个条件：（1）区间是闭的；（2）函数是连续的.缺一不可定理2.4 （零点定理） 设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)<0，则必有（a,b）满足f()=0零点定理可用来求方程的近似值.推论（介值定理）设函数f(x)在a,b上连续，则对于任一介于f(a)与f(b)之间的常数c，必有（a,b），满足f()=c.课堂练习：p.80 练习2.5 6课堂小结：（1）无穷小量是极限为0的量；（2）公式是函数在点x=x0处连续的确切描述，求连续函数的极限等同于求函数值.（3）初等函数在其定义域内是连续的.布置作业：p99自我检测题（一）1、2、3、4；（二）1、2、3；（三）（3）第3章 导数与微分本章教学内容：3.1 导数概念3.2 求导法3.3 微分3.4 高阶导数【课题】3.1 导数概念 【教学目标】1.理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义。2.理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要而非充分条件。3.了解函数可导的充要条件：存在【教学重点】导数的概念及其几何意义【教学难点】导数的几何意义【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】Ø 创设情景 兴趣导入一、两个实例例1 变速直线运动的瞬时速度一个质点在一条直线上运动,所经过的路程是时间的函数.如果质点是作匀速直线运动,质点的运动速度等于路程与时间之比,即 如果质点是作变速直线运动,它的速度随时间变化而变化.现讨论质点在某一时刻时的速度,即瞬时速度质点从时刻到这段时间间隔内,质点从位置移动到,质点经过的路程为: 质点的平均速度为： .当较小时,平均速度可近似地表示质点在时刻的速度.且越小,这种近似程度也越好.令,如果存在,则称平均速度的极限为质点在时刻的瞬时速度,即.例2 切线问题切线的一般定义：设有曲线:及上的一点（图3）,在点外另取上一点,作割线,当点沿曲线逐渐趋于点时,割线绕点旋转,而逐渐趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线这里极限位置的含义：只要弦长趋于零,也趋于零图3-1-1图3-1-2 设是曲线上的一点（图3）,则在点外另取上一点,割线的斜率为: 其中为割线的倾角，当点沿曲线趋于点时，如果存在,则此极限就是切线的斜率,其中是切线的倾角上面两个实际问题,虽然其实际意义不同,但解决问题的方法相同.都归结为求函数增量与自变量增量之比的极限: 或 ,其中 ,称为自变量增量,称为相应于自变量增量的函数增量.在物理学、化学、生物学、经济学等科学领域中,还有许多实际问题,如线密度、电流、反应速度等,都可归结为函数对于自变量的变化率即函数的导数.二、导数定义定义3.1设函数在点处的某一邻域内有定义，当自变量X在点处有增量,仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限 存在，则称在点处可导，并称此极限值为在处的导数，记为，也可记为，即 若极限不存在，则称在点处不可导。令=h， 可表示为： 。 问 ：例3 根据导数定义求y=f(x)=x2在x=3处的导数.解：根据导数定义通常分三步（1）求y=f(x0+x)-f(x0)=(3+x)2-32=6x+x2(2)求（3）求因此，一般地，（为任意实数）注：求得先求，再将x用代替。例4 （略）如果函数y=f(x)在开区间I上的每一点都可导，就称函数f(x)在开区间I上可导，这时，都对应f(x)的一个确定的导数值，这样就成了一个新的函数成为函数y=f(x)的导函数，简称导数，记作 , 或.显然，y=f(x)在点处的导数，就是导函数在处的函数值，即=.讲解例5-8三、导数的几何意义函数在点的导数在几何上表示曲线在点（，）处切线的斜率。（1）若存在，则曲线在点（，）切线方程为 当时，则过（）的法线方程为： 当 时，法线方程 （2）若，则切线垂直于 轴，切线方程： 例9 求立方抛物线y=x3在点（-2，-8）处切线方程.解：切线过点（-2，-8），故具有形式y+8=k(x+2)，其中斜率k=3（-2）2=12.因此所求切线方程为y+8=12(x+2)即12x-y+16=0定理3.1 如果函数y=f(x)在x0处可导，则y=f(x)在x0连续.证明从略.注：逆定理不一定成立例如函数y=|x|在x0=0处是连续的，但在该点不可导.因此，函数f(x)在x0处可导的几何意义是：曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处有不垂直于x轴的切线.课堂练习：p.115 练习3.1 3、4课堂小结：1、导数定义求导的三个步骤：（1）求y=f(x0+x)-f(x0)；(2)求；（3）求. 2、导数的几何意义是切线的斜率. 3、可导必连续，但连续未必可导.布置作业：p.115 练习3.1 6、8【课题】3.2 求导法 【教学目标】1.掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则.2.掌握复合函数的求导法则.3.了解隐函数求导法.【教学重点】导数的四则运算、复合函数求导法则【教学难点】导数的复合函数求导法则【教学设计】