直线与圆知识点总结及例题.doc

直线和圆直线和圆知识点总结知识点总结 1 1、直线的倾斜角、直线的倾斜角： （1）定义定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转逆时针方向转到和直线直线l重合重合时所转的最小正角最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为 0； （2）倾斜角的范围倾斜角的范围, 0。 如 （如 （1 1） 直线023cosyx的倾斜角的范围是_ （答：50)66，） ； 倾斜角的取值范围是 0180.倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是 90的直线没有斜率. （2 2）过点), 0(),1 , 3(mQP 的直线的倾斜角的范围m那么,32,3值的范围是_（答：42mm或） 2 2、直线的斜率、直线的斜率： （1）定义定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90)；倾斜角为 90的直线没有斜率； （2）斜率公式斜率公式：经过两点111( ,)P x y、222(,)P xy的直线的斜率为212121xxxxyyk； （3）直线的方向向直线的方向向量量(1, )ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用应用：证明三点共线： ABBCkk。如如(1)(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件（答：既不充分也不必要） ； （2 2）实数, x y满足3250 xy (31 x)，则xy的最大值、最小值分别为_（答：2, 13） 3 3、直线的方程、直线的方程： （1）点斜式点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。 直线的斜率0k时， 直线方程为1yy ；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1xx .（2）斜斜截式截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。 （3）两点式两点式：已知直线经过111( ,)P x y、222(,)P xy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy， 它不包括垂直于坐标轴的直线。 若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为)()(121121yyxxxxyy的形式.（4）截距式截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为, a b,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B 不同时为 0)的形式。如（如（1 1）经过点（2，1）且方向向量为v=(1,3)的直线的点斜式方程是_（答：13(2)yx ） ； （2 2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点_（答：( 1, 2) ） ； （3 3）若曲线|ya x与(0)yxa a有两个公共点，则a的取值范围是_（答：1a ） 提醒提醒：(1)(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？） ；(2)(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。 如如过点(1,4)A， 且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答：3） 4. 4.设直线方程的一些常用技巧设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb； （2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为 0 的直线)； （3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()yk xxy，当斜率k不存在时，则其方程为0 xx； （4）与直线:0l AxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0l AxByC垂直的直线可表示为10BxAyC. 提醒提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 5 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点00(,)P xy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB； （2） 两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。 6 6、直线、直线1111:0lAxB yC与直线与直线2222:0lA xB yC的位置关系的位置关系： （1）平行12210ABA B（斜率）且12210BCB C（在y轴上截距） ； （2）相交12210ABA B； （3）重合12210ABA B且12210BCB C。 提醒提醒： （1 1） 111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2 2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； （3 3）直线1111:0lAxB yC与直线2222:0lA xB yC垂直垂直12120A AB B。如（如（1 1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m_时1l2l；当m_时1l2l；当m_时1l与2l相交；当m_时1l与2l重合（答：1；12；31且mm ；3） ； （2 2）已知直线l的方程为34120 xy，则与l平行，且过点 （1， 3） 的直线方程是_ （答：3490 xy） ； （3 3） 两条直线40axy与20 xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是_（答：12a ） ； （4 4）设, ,a b c分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线sin0A xayc 与sinsin0bxB yC的位置关系是_（答：垂直） ； （5 5）已知点111( ,)P x y是直线:( , )0l f x y 上一点，222(,)P xy是直线l外一点， 则方程1122( , )( ,)(,)f x yf x yf xy0 所表示的直线与l的关系是_（答：平行） ； （6 6）直线l过点（，） ，且被两平行直线360 xy和330 xy 所截得的线段长为 9， 则直线l的方程是_ （答：43401xyx和） 7 7、特殊情况下的两直线平行与垂直特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直 8 8、对称、对称（中心对称和轴对称）问题问题代入法代入法：如（如（1 1）已知点( , )M a b与点N关于x轴对称，点 P 与点 N 关于y轴对称，点 Q 与点 P 关于直线0 xy对称，则点 Q 的坐标为_（答：( , )b a） ； （3 3）点（，）关于直线l的对称点为(2,7)，则l的方程是_（答：3y=3x） ； （4 4）已知一束光线通过点（，） ，经直线l:3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15） ，则反射光线所在直线的方程是_（答：18x510y） ； （5 5）已知ABC 顶点 A(3，)，边上的中线所在直线的方程为 6x+10y59=0，B 的平分线所在的方程为 x4y+10=0，求边所在的直线方程（答：29650 xy） ； （6 6）直线 2xy4=0 上有一点，它与两定点（4,1） 、 （3,4） 的距离之差最大， 则的坐标是_ （答：（5,6） ） ；（7 7） 已知Ax轴，:Bl yx，C（2，1） ，ABC周长的最小值为_（答：10） 。提醒提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 9. 9.（1）直线过定点。如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论 m 取 何值恒过定点（-1，2） （2）直线系方程（1）与已知直线 Ax+By+C=0 平行的直线的设法: Ax+By+m=0 (mC) ( 2 ) 与已知直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的设法: Bx-Ay+m=0 （3）经过直线1l1Ax+1By+1C=0，2l2Ax+2By+2C=0 交点的直线设法： 1Ax+1By+1C+（2Ax+2By+2C）=0（为参数，不包括2l） （3）关于对称 （1）点关于点对称（中点坐标公式） （2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行） （3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk= -1二个方程） （4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称） 1010、圆的方程、圆的方程： 圆的标准方程：222xaybr。 圆的一般方程：22220(DE4F0)xyDxEyF，特别提醒特别提醒：只有当22DE4F0时，方程220 xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆 （二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？ （0,AC且0B 且2240DEAF） ） ； 圆的参数方程：cossinxarybr（为参数） ，其中圆心为( , )a b，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sinxyrxryr；22xyt cos ,sin (0)xryrrt。 1122A,x yB xy为直径端点的圆方程 12120 xxxxyyyy 如（如（1 1）圆 C 与圆22(1)1xy关于直线yx 对称，则圆 C 的方程为_（答：22(1)1xy） ； （2 2）圆心在直线32 yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_（答：9)3()3(22yx或1) 1() 1(22yx） ； （3 3）已知( 1, 3)P 是圆cossinxryr（为参数，02 )上的点， 则圆的普通方程为_，P 点对应的值为_， 过 P 点的圆的切线方程是_ （答：224xy；23；340 xy） ； （4 4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_（答：0，2） ； （5 5）方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆，则实数 k的取值范围为_ （答：21k） ；（6 6） 若3cos( , )|3sinxMx yy（为参数，0)，bxyyxN| ),(， 若NM ， 则 b 的取值范围是_ （答：3,3 2） 1111、 点与圆的位置关系、 点与圆的位置关系： 已知点00M,x y及圆222C0： x-aybrr，（1）点 M 在圆 C 外22200CMrxaybr； （2）点 M 在圆 C 内 22200CMrxaybr； （3）点 M 在圆 C 上20CMrxa 220ybr。如如点 P(5a+1,12a)在圆(x)y2=1 的内部,则 a 的取值范围是_（答：131|a） 1212、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系：直线:0l AxByC和圆222C：xaybr 0r 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况） ：0 相交；0 相离；0 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小） ：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（如（1 1）圆12222yx与直线sin10(,2xyR k，)kz的位置关系为_ （答： 相离） ；（2 2） 若直线30axby 与圆22410 xyx 切 于 点( 1, 2 )P ， 则ab的 值 _ （ 答 ： 2 ）； （ 3 3 ） 直 线20 xy被 曲 线2262xyxy1 50所截得的弦长等于 （答：4 5） ； （4 4）一束光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 （答：4） ； （5 5）已知( , )(0)M a b ab是圆222:O xyr内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线2: l axbyr，则 A/ml，且l与圆相交 Blm，且l与圆相交 C/ml，且l与圆相离 Dlm，且l与圆相离（答：C） ； （6 6）已知圆 C：22(1)5xy，直线 L：10mxym 。求证：对mR，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若17AB ，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：60或120 最长：1y ，最短：1x ） 1313、圆、圆与圆的位置关系与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断） ：已知两圆的圆心分别为12OO，半径分别为12,r r，则（1）当1212|O Orr时，两圆外离； （2）当1212|O Orr时，两圆外切； （3）当121212|O Orrrr时，两圆相交； （4）当1212|O O|rr时，两圆内切； （5）当12120|O O|rr时，两圆内含。如如双曲线22221xyab的左焦点为 F1，顶点为 A1、A2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切） 1414、圆的切线与弦长、圆的切线与弦长： (1)切线：过圆过圆222xyR上一点上一点00(,)P xy圆的切线方程圆的切线方程是：200 xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200()()()()xa xaya yaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径） ；从圆外一点引圆的切线一定有两条圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦” ）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长切线长：过圆220 xyDxEyF（222()()xaybR） 外 一 点00(,)P xy所 引 圆 的 切 线 的 长 为220000 xyDxEyF（22200()()xaybR） ；如如设 A 为圆1) 1(22yx上动点， PA 是圆的切线， 且|PA|=1， 则 P 点的轨迹方程为_ （答：22(1)2xy） ； （2）弦长问题弦长问题：圆的弦长的计算： （垂径定理）常用弦心距d，半弦长12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；过两圆1:( ,)0Cfx y、2: ( , )0Cg x y 交 点 的 圆 ( 公共 弦 ) 系为( ,)( ,)0f x yg x y， 当1 时 ， 方 程( ,)( ,)0f x yg x y为两圆公共弦所在直线方程.。 15.15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 16.16. 圆的切线和圆系方程 1过圆上一点的切线方程：圆222ryx，圆上一点为(00, yx)，则过此点的切线方程为0 xx+ 0yy= 2r (课本命题) 圆222ryx，圆外一点为(00, yx)，则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为200ryyxx。 2圆系方程：设圆 C1011122FyExDyx和 圆 C2 022222FyExDyx 若 两 圆 相 交 ， 则 过 交 点 的 圆 系 方 程 为11122FyExDyx+（22222FyExDyx）=0(为参数，圆系中不包括圆C2，=-1 为两圆的公共弦所在直线方程) 设圆 C022FEyDxyx与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为FEyDxyx22+(Ax+By+C)=0(为参数) 例题例题 1 1经过点经过点P P(2 (2，m m) )和和Q Q(2 (2m m，5 5) )的直线的斜率等于的直线的斜率等于1 12 2，则则m m的值是的值是( ( B B ) ) A A4 4 B B3 3 C C1 1 或或 3 3 D D1 1 或或 4 4 变：的取值范围的斜率的直线求经过点 ) 1 ,cos(),sin, 2( klBA 2. 已知直线 l 过 P(1，2)，且与以 A(2，3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围 点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ，125，) 3.已知坐标平面内三点 A(1，1)，B(1，1)，C(2， 31)，若 D 为ABC 的边 AB 上一动点，求直线CD 斜率 k 的变化范围 答案：，125，) 1.求a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10 与直线l2：(a1)x(2a3)y20 互相垂直？答案：a=-1 2.求过点P(1，1)，且与直线l2：2x3y10 垂直的直线方程答案：3x2y50. 例 2.求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 例 3.已知ABC的顶点A(1，1)，线段BC的中点为D(3，23) (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是 9，求BC所在直线的方程 例 4.方程(m22m3)x(2m2m1)y2m6 满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值(1)方程能够表示一条直线； （答案：m1） (2)方程表示一条斜率为1 的直线 （答案：m2） 例 5.直线l的方程为(a2)y(3a1)x1(aR) (1)求证：直线l必过定点； （答案：(15，35)） (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （答案：5x5y40） (3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围 （答案：分斜率存在与不存在） 例 1：求点 A(-2,3)到直线 l:3x+4y+3=0 的距离 d= 。 例 2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0 的距离为 2，则 a= 。 (a0) 例 3:求直线 y=2x+3 关于直线l: y=x+1 对称的直线方程。 类型一：圆的方程类型一：圆的方程 例例 1 1 求过两点)4,1 (A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系 变式 1：求过两点)4,1 (A、)2,3(B且被直线0y平分的圆的标准方程. 变式 2：求过两点)4,1 (A、)2,3(B且圆上所有的点均关于直线0y对称的圆的标准方程. 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例例 4 4 已知圆422 yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线 解：解：点42，P不在圆O上，切线PT的直线方程可设为42 xky 根据rd 21422kk.解得43k，所以4243xy，即01043 yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x 类型三：弦长、弧问题类型三：弦长、弧问题 例例 7 7、求直线063: yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长. 例例 8 8、直线0323 yx截圆422 yx得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB. 例例 9 9、求两圆0222yxyx和522 yx的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系类型四：直线与圆的位置关系 例例 1010、已知直线0323 yx和圆422 yx，判断此直线与已知圆的位置关系. 类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系 例 13、判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系， 例 14：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有 条。 类型六：圆中的最值问题类型六：圆中的最值问题 例例 1515：圆0104422yxyx上的点到直线014 yx的最大距离与最小距离的差是 例例 1616 (1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值 (2)已知圆1)2(222yxO ：，),(yxP为圆上任一点求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、 最小值 例例 1717： 已知)0 , 2(A，)0 , 2(B， 点P在圆4)4() 3(22yx上运动，则22PBPA 的最小值是 . 解： 设),(yxP， 则828)(2)2()2(222222222OPyxyxyxPBPA.设圆心为)4 , 3(C，则325m inrOCOP，22PBPA 的最小值为268322.