分数阶控制理论研究-毕业论文.docx

-文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印-摘要进入21世纪以来，随着分数阶微积分理论研究不断取得突破，控制领域中的新的研究热点就是对其进行理论研究，分数阶微积分是整数阶微积分的推广,将微积分阶次从我们熟知的整数域推广到实数域，甚至复数域。其理论基础是分数阶微积分算子及方程，这是一个新的研究方向。大量的实践已经证明，在控制理论中应用分数阶微积分，相比整数阶微积分，具有更好的效果。在扩展控制理论的经典研究方法方面，在解释现有结果方面，分数阶微积分都为之提供了非常强劲的支持。论文阐述了分数阶微积分的基本理论，从其定义、导数定义以及性质进行了分析了详细说明。接下来分析了微积分控制理论在实际中的应用，针对分数阶PlD进行了研究讨论，在前人研究基础上，对于分数阶PlD自整定算法进行了研究分析，最后在matlab里进行仿真讨论。关键词：分数阶，分数系统，分数阶PlDAbstractSincethebeggingofthe21stcentury,thefractionalordercalculustheoryhasachievedlotsofbreakthough.Fractionalcalculusisthecalculuswhoseintegrationordifferentiationorderisnotconventionalintegernumberbutrealorevencomplexone.Itisextensitionofintegercalculus.Farctionalordercontrol,whichisestablishedontheideaOffractionalorderoperatorsandthetheoryoffractionalorderdieffrentialequations,isnowaquitenewresearchdirection.Practicehasprovedthatbetterresultscouldbeobtainedbyintroductionoffractionalcalculusincontroltheory.Fractionalcalculusprovidesapowerfulsupportfortheexpansionoftheclassicresearchmethodsincontroltheoryandabetterexplainationofthecurrentresults.ThisPaperexpoundsthebasictheoryoffractionalordercalculus,fromthedefinitionandnatureofitsdefinition,derivativeisanalyzedindetail.Thenanalyzedthecontroltheoryofcalculusintheactualapplication,inviewofthefractionalorderPIDwiththeresearchanddiscussiononthebasisofpreviousstudies,thefractionalorderPIDself-tuningalgorithmareanalyzed,andfinallyinthematlabsimulationisdiscussed.KeyWords:fractional-order,fractionalsystem,fractionalorderPID第一章绪论1.1 引言分数阶微积分展现了微积分环节逐渐变化的一个过程，它是常规的整数阶微积分的一个推广，从这一点上来讲，整数阶微积分可以理解为我们把分数阶微积分的微分或积分设为整数的时候的一种特殊例子。分数阶微积分从其建立之初到发展至今经过了有300多年，可以说它同整数阶微积分有着一样的长久发展历程。在早期的研究中，研究方向主要偏向于理论上的研究，想要离散化地数字实现分数阶微积分环节是比较困难的，这是早期落后的计算机水平所造成的。在现代社会，在计算机的软硬件以及智能水平迅猛发展的基础上，分数阶微积分理论应用到越来越多的领域上，分数阶控制理论成为了自动控制领域里的一个新的分支。应用分数微积分的领域非常多，在材料学、力学、地震分析、机器人、控制器设计、概率学等领域都有其应用之处13-叫数学家在研究理论的过程中，各自根据他们自己的想法理解，针对怎样来具体定义分数阶微积分算法，他们给出了几个不同定义，常见的有Riemann-Liouville定义，GnInWald-LetniOoV定义，以及CaPUto定义，对于分数阶微积分怎样进行积分变换也进行了相关研究，比如LaPIaCe变换，FOUrier变换等，数学家们针对其在时域中的性质也进行了研究，比如冲激响应、阶跃响应，对于其在在频域中的性质进行了细致的观察，比如如幅频特性、相频特性等。对其近似计算方法的研究，主要有连续有理近似法、离散近似法yoi3j,近似展开方面，主要有MaCLaUrin展开、连分式(CFE)展开除此之外分数阶微分方程怎样进行求解，到目前为止仍然是科学家们研究的主攻方向，目前主要的方法有解析法、数值法，解析法大部分用来理论证明分数阶微积分的一些方面，相比较而言在实际的应用中，数值法更为广泛如明近年来，分数阶微积分取得了大量研究成果，这为其在各个领域中更好发展提供了坚实的理论基础。社会发展的同时工业也在迅猛发展，在工业控制过程中，数学模型应该怎样精确建立变得愈发重要，旧的的控制理论或者别的数学建模方法还是侧重于在怎样建立集中参数系统，比如我们可以使用比例系数，用它来表示一个电阻UL但是在我们无法用几种参数来表示一个电阻的时候，通过使用偏微分方程，它是用来精确描述分布参数系统的，可以应用在控制系统中难以精确描述的一些模型，比如描述一些在远距离传输线模型、电热炉模型等。由于分数接微积分的一些性质，将分数阶微积分算子引入模型描述中，就可以在仿真回路中建立一精确模型H%对比熟知的常规整数阶控制器，利用分数阶微积分的特殊性质，在设计控制器的时候使用分数阶微积分，在很多情况下有很大的优越性。1.2 研究背景与现状对熟知微积分的人而言，函数f的n阶微积分概念Dlf二町（Wdfxn为正整数）己经不是什么陌生的概念。1695年，法国数学家UHopital收到德国数学家LeibniZ的一封信，在这封信里第一次提出“整数阶导数的概念，可不可以通过类似的方式推广到非整数阶导数呢”,对于他所提出来的这个陌生问题LHoPital感到非常地新奇。在对LeibniZ的回信里面，他反问了一个简单的问题，“如果我们把求导的次数设置为为二分之一，将会出现什么样的情况呢？同年9月30日，LeibniZ又给L，HOPitaI回了一封信，在这封信里面，LeibniZ写到“如果这样的话会导致错误结论，尽管如此总会有那么一天，会得到一些有用的结果1695年9月30日，是非常具有纪念意义的一天，被大家认同为分数阶微积分的诞生之日。在这之后，像L.Euler,P.S.Laplace,J.BJ.Fourier,N.H.Abel，J.Liouville,B.Riemann,A.K.Grunwald,A.VLetnikov,H.Weyl,P.levy及M.Riesz等非常多的著名数学巨匠，在他们的基础上，经过多年的努力研究去完善和发展分数阶微积分理论“3-。但是三百多年来，因为得不到物理、力学等相关联的背景学科的大力支持，分数阶微积分只是纯理论，被数学家单单在数学领域里面进行研究。并且因为分数阶算子是在整数阶微积分的基础上建立起来的，这与经典物理学理论还有牛顿力学等是互相矛盾的，它的发展一直非常缓慢。1968年，美国耶鲁大学同时也是图灵奖得主的MandelbrOt教授，提出了分形学说，他首次将Riemann-Liouville分数阶微积分用来分析并研究分形媒介中的布朗运动。由于混沌在本质上是一种分形，混沌是通过计算非线性方程而得到的，它在本质上可以理解为一种分形，但在描述混沌吸引子的时候，其分形维数并不依赖非线性方程，Mandelbrot通过研究分形维数的物理意义来寻找混沌吸引子普适常数的物理内容“叫Mandelbrot的研究发现，整数阶微积分有力地描述能够有效地描述EUClid空间，于此相对应，分数阶微积分能够有效地描述分数维空间。在这次试验中，分数阶微积分得到成功验证，其他学科领域的学者开始关注分数阶微积分的理论及其应用。第一部关于分数阶微积分的专著一一FractionalCalculus:TheoryandApplications,DifferentiationandIntegrationtoArbitraryOrder是在1974年应用化学家KBQIdham和数学家JSpanier合作出版的，在这本专著里面，首次详细阐释了分数阶微积分基本理论及其应用，分数阶微积分的研究从此跨入新时代。为了促进分数阶微积分的发展和应用，1974年，第一届“分数阶微积分及其应用(FraetiOnaICaICUlUSandltSAPPliCations)”国际会议在美国NeWHaVen大学举行并在1975年出版了相应的论文集，这一盛举极大地促进了分数阶微积分的发展和应用“统但在之后的二十年中分数接微积分发展却是相当平缓。从二十世纪末开始，在科技迅速发展的同时许多问题的研究变得越来越复杂，人们的认知能力越来越强，与此同时分数阶微积分也得以快速发展，越来越多的领域开始应用分数阶微积分，例如松弛、随机扩散和波动的传播、金融、生物材料、控制和机器人、大分子链的变形、混沌和湍流、分子谱、粘弹性动力学、量子力学、电化学、电磁场、生物医学甚至交通、等等。在分数阶微积分促进其他领域进步的同时，自身也得到了发展，当今非线性科学的一主要标志就是在混沌和结构耗散中的分数微积分应用。分数阶微积分的专业期刊主要有以下三个：1992年创刊的JOUmalofFractionalCaICUIus、1998年创刊的FractionalCalculus&AppliedAnalysis及2010年创刊的FractionalDynamicSystems11710当然，在网络上也有大量研究分数阶微积分的网站，如www.mechatronics.ece.usu.edu/foc,www.fracalmo.org,www.tuke.sk/podlubny等网站。在当前科学领域，分数阶微积分理论及其应用的研究已经成为热点研究课题。随着分数阶微积分在各个领域的应用研究越来越多，控制领域的专家学者们也开始广泛关注。Tustin在其发表的一篇关于多目标控制的文章中，首次引入分数阶控制。在此之后，上世纪六十年代，分数阶控制的其他一些研究成果有S.Manabe总结完成。1993年，从分数阶鲁棒性角度出发，法国学者AQustaloup设计了第一代分数阶CRONE控制器，并且得到成功应用。1999年，斯洛伐克学者LPodkibny出版了分数阶微分方程的著作，该著作系统地介绍了分数阶微积分的计算方法，怎样来求解分数阶微分方程，这为分数阶微积分提供了物理解释，并将一些工程常用工具性知识LaPIa如Ce变换、FoUrier变换等引入到分数阶控制系统中来，这奠定了为分数阶控制理论的基础网。自2004年开始，国际自动控制联合会(InternationalFederationofAutomaticControUFAC)每两年举办一次“分数阶微积分及其应用”国际会议，专门研讨分数阶微积分的最新理论成果及其在控制研究领域的最新应用成果。在控制系统中使用分数阶控制器可以有效地改善闭环系统性能和鲁棒性。在分数阶控制理论研究方面，国外起步早，相对成熟，国内对这方面的研究起步较晚。近些年，国内不少学者专家投入分数阶控制理论的研究，并取得了一些成果。第二章分数阶微积分基本理论2.1 分数阶微积分的定义研究分数阶，在时域中，对于分数阶微积分有以下标记：dadtaR(a)>O田=TRg)=OdYaR()vO5(2.1)在分数阶微积分迅速发展的同时，其数学定义也是多样化发展，一般情况下是针对应用领域的不同而言。但是，在控制领域里面，应用最广泛的是以下三种数学定义：Grunwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义、Caputo定义。在了解分数阶微积分之前需要先熟悉以下几种特殊函数，它们主要常用在分数阶微积分方程中。2.1.1 Gamma函数Gamma函数其基本定义如下:(z)=V e',f 'dtJo其中R(Z)> °。Gamma函数，它的一个基本特性是:(z+ 1) = z(z)从上式可以看出在z=n处，Gamma函数为单极点，如下式所示,OQ空I=O(-Da1kk + z>+ e-tf-'dt(2.(2)(2.(3)(2.(4)2.1.2 Mittag-Leffler函数在微分方程研究领域，Mittag-LeffIer函数有至关重要的作用，应用非常广泛。"是带有一个参数的Mittag-Leffler函数的特殊情况，带有单个参数的Mittag-Leffler函数其定义如下式所示：(2.5)在分数阶微分方程研究领域，Mittag-Leffler函数也极其重要。带有两个参数的广义概念上的Mittag-Leffler函数为：(2.6)其中0zC°广义Mittag-LeffIer函数，其定义如下式所示:巴(Z)a*1I 5(y + ZM(7) tt()(ak + )(k + )(2.7)其中, £, y C, Re(a) > 02.2.3Grunwald-Letnikov 定义对于任意的函数/的。阶导数定义如下rtDzV(0= Iim X(-1 . ft-jh)(2.8)0(+ l).( + j-Y)其中，U是两个极值O八 o当a>°时，表示/的阶导数；当<0时，表示/的。次微分。在工程技术实际 应用中，分数阶后向差分经常会出现一极值，这种情况是十分有害的。如果满足留=(X*= (), 1,., / -1),那么 Dlpf,0D：f有性质= Q) = aDqfit(2.9)2.2.4 Riemann-Liouville定义Nf(t)=v½即广?£n-a)dtja(t-)(20)其中-l",=()为Gamma函数。Riemann-Liouville的定义是从多重积分这一概念出发的，在数学概念上对其有严格的要求，就是必须做到函数是连续的，不连续函数是不允许的2叫但是，在实际应用中，针对的是具体的系统，从工程应用及实际角度出发，完全能够做到实际系统函数的连续性。除此之外，Riemann-Liouville定义另外一个严苛要求是广可积，对于实际工程应用这是一个比较容易满足的条件，因此在工程应用中Riemann-LioUViHe的定义得到了广泛使用。然而，需要注意的一点是，应用Riemann-Liouville定义的前提是解决其初始值问题。在数学理论上，这个问题能够很好地解决，但是实际应用上没有多大的物理意义。故而，在其更广泛发展的道路上是有不小障碍L2.2.5 Caputo定义1960年代，意大利的一位数学家M.Caputo发现了分数阶微积分在数学应用和物理应用上的相互，针对这一问题他重新定义了分数阶微积分如下式所示22)：2"Q)=,"(f?/dt(2.11)其中-式(zu)可以看出相较于之前两种分数接微积分定义，C叩ut。定义的约束条件强一些，C叩Uto定义需要保证函数的前n阶导数可积。Riemann-LioUVine定义的初值在实际应用上没有物理意义,而CaPUtO定义是有的。另外，Caputo定义要求常数的导数为必须为0,针对常数的导数范围是有界的，针对常数的导数Riemann-Liouville定义则是无界的。在函数频域分析方面以及工程应用方面，这些要求都是具有重大影响，尤其当其在控制领域进行应用的时候。2.2 分数阶导数定义的三种变形2.2.1 Riemarm-LioUVilIe分数阶导数针对正数Q,令n-lvn,那么，定义在a,b区间上的函数f(t)的阶Riemarm-LioUVine分数阶积分的定义为:(2.12)2.2.2 Grunwald-Liouville分数阶导数(2.13)与Grunwald-Liouville定义方式类似地，Riemann-Liouville分数阶导数如下式所示:aVfa)=Iim限a里于3=Iimh-aEh>0h>0.八7=其中表示的是二项式系数，其具体计算式为：a、cx,(cc1).(6Zj+1)(2.14)J)F2.2.3 Caputo分数阶导数与Grunwald-Liouville定义方式类似地，Caputo分数阶导数的定义为：aD；f(t)=-/小(n-a)(t-)a-n+l(215)三个定义式之间的关系如下：如果函数f(t)在闭区间a,b上(nl)阶连续可微且/()«)在闭区间a,b上可积，对于n-l<an,Riemann-Liouville型分数阶微分和Grunwald-Liouville型分数阶微分是一致的。Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数也有一个关系。对于正实数,n-l<n,当定义在区间a,b上的函数f(t)有直到(n-l)阶连续导数，并且f)«)在a,b是可积的P*那么：aD：/=aD；/÷£空)了“RiernannCaputoJ=OI+j-a)可以看到，如果函数f()能够满足下面要求：尸()=0,(=0,12,D这时C叩UtO分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数则是等价的。2.3 常见分数阶微积分常微分：oDzx(t)=(r,x),>O_Dx(t)+a岛(t)+D0x(t)=O偏微分：na,2u(x,t)aDtu(x,t)=aOX无穷时滞的分数泛函微分：=Q,x)为=xQ+6),e(-8,0(2.16)(2.17)(2.18)(2.19)aD；a(t-a)p(2.20)对嘉函数求分数阶导数时，使用Riemann-Iiouvillo分数阶微积分定义,aDt-a)p(2.21)这里要求嘉函数是可积的，即嘉函数的阶数p>-l0对于广义函数中的函数(t),它的Riemann-Iiouville分数阶导数是=-a-(-a)对嘉函数求分数阶积分时-r-n-l夕)=a' v f (-6Z-n)"a)一。"】D11)(t-a)= < (-a-n)0,0.t>a,(2.22)对于Heavisde 函数 H(t),-a0""(t)=a t )(-a) (r-)Df”(t-a) =(l-a),t>a.O,Of(t)=aDt>a.O,Ora(2.23)2.4 分数阶微分的性质2.4.1 分数阶微分的常用运算一般对于产和°”，它们有下列的常用性质:IIf=I+f,DDf=D3m-代W(r)=(r)-w(0+)-,抬k!DIf(t)=f(tm-<mIxr=ni+Z)x+>-1.(2.24)(l+/+/)2.4.2 分数阶微分的复合运算分数阶算子在一定条件下可以进行相互的复合，一个定义在a,b区间上的函数f(t),针对分数阶积分来说，分数阶积分之间的阶数是可以直接相加的，令月°"QDLf) = f(t)(2.25)先进行求导数接下来进行求积分的时候，要求:/D)=/一aDjf7=1%aJ(2.26)如果分数阶积分运算与分数阶导数运算，它们的阶数不同时，令B>0,需要先进行求积(2.27)分再进行求导数时，要求：在进行求导数再进行求积分的时候，要求：(2.28)加皿)5，阿叫击瑞接下来，当进行整数阶导数与分数阶导数的复合运算时，)=W)M竽-亚*哈(2.29)dtW(l+j-a-k)若进行的是分数阶导数它们之间的复合运算，令n-l<<n,>0,那么有"(WQ)=aDf-aDjf(t)月t=at-aj(J-7+ l)(2.30)2.4.3 分数阶导数的积分变换在微分方程领域，积分变换常常用来解决一些整数阶微分方程的问题。然而，各种积分变换对于分数阶导数来说亦十分重要，通常用来进行求解分数阶微积分方程。先看分数阶导数的Laplace变换。通常某一函数其Laplace变换定义为：WS)=卬;s = (M(2.31)针对某一函数Riemann-Iiouville分数阶导数，其Laplace变换定义为:,一!Lf(ts=saF(s)-aDrjf(t)j=°=(2.32)其中n-l<<noFourier变换也是一个经常见到的一种积分变换。某一函数g(t)其Fourier变换定义为：G()=Feg(t)=tg(t)dt(233)由上式可以看到，在对函数g施行FoUrier变换的时候，必须保证在整个实轴上函数g是有定义的，因此我们应用无穷区间上的分数阶导数来定义完全是合理的。由此得出分数阶导数其定义为下式：一=I0°z(n-a)i-(t-)a-n+i(234)其中n-l<0在这种情况下分数阶导数它的FOUrier变换定义为：Fe-coVgQ)M=(TMaG(G)(会)在电传导，神经的分数模型等中，对系统的分析有很好的效果。第三章分数阶控制理论概述大量数据表明，分数阶微积分在控制领域的作用极其重要，越来越多的工业实际控制系统应用分数阶微积分控制。IgOrPodkIbny在其发表的关于分数阶PlD控制系统的文章中表明，相较于整数阶PID,如果被控对象是分数阶的话，用分数阶PlD会得到卓越效果。YangQuanChen,BiasVinagre等学者也纷纷指出并实验验证了分数阶控制器具有传统整数阶控制器无法比拟的优点。简而言之，分数阶控制器具有以下三个显著特点侬】：(1)针对被控对象是对于分数阶，使用分数阶控制器来进行控制性能更优越；(2)在被控对象波动变化时，分数阶控制器相比较传统的整数阶控制器具有更强的鲁棒性；(3当系统建模相对比较复杂时，使用分数阶微积分相较于整数阶微积分通常能够更加精准地描述系统的特性，同时系统的传递函数更简单。3.1 分数阶PlD控制器概述1989年，日本一个电气协会做了一项调查统计，全球90%的控制系统都在应用PID控制器。此外，加拿大做了一项调查，统计表明97%的造纸厂控制设备应用的是Pl控制器。这些统计数据清晰地表明了PlD控制器的重要实用性。但是随着社会科技的发展，在工程工业上对控制器性能提出了更高的要求，一般情况下对于控制系统，希望得到更快的控制速度，更高的控制精度，更强的系统鲁棒性等。广义分数阶PlD控制器的出现，对于PlD控制器的研究发展起到了至关重要的作用，开了新的研究方向。相较于传统PlD控制器，广义PlD控制器有诸多优点，最突出的是它的阶次更加方便灵活，它的积分和微分部分的阶次均为实数。通常我们把传统的整数阶PlD控制器看作是分数阶控制器的一种特殊形式。分数阶PlD其传递函数定义如下式所示：C(s)=KpKls-a+KDs(a,A>0)(3)u(t)=KpeQ)+KZr%(f)+K"C6上式(3.1)为控制器在频域中的传递函数，式(3.2)为控制器在时域中的传递函数。由上式可以发现，在二"=1情况下，分数阶控制器即为传统的整数阶PID控制器。由此能够得到上述结论：传统的PID控制器可以看做分数阶尸LA控制器的特例。在如今的工业控制领域当中，使用最多的就是整数阶PlD控制器。整数阶PlD控制器其结构相对简单明了，鲁棒性强获得了多数研究人员的认同。在控制系统研究领域，传统的整数阶PlD控制器其P、I、D三个参数对于调节系统起着各自不同的作用。对于分数阶控制器而言，多了两个可调参数这大大地增加了控制器调整时的灵活自由度，故而分数阶控制器能够对系统的相位进行相较于传统整数阶控制器来说更加的灵活、更加的连续的精确调整。分数阶控制器在参数整定这一方面，虽然由于多个参数的整定将会不可避免地需要提升算法的复杂难度，可是从长远角度来看，分数阶控制器能够提高系统的灵活性、提高系统的鲁棒性进而提高系统的整体控制性能。1PD PTD =1 P PT Q >O A = I Ad1PD PTD =1 PT4 i0AO A = I A图3.1整数阶PlD与分数阶PlD取值特点3.2 分数阶PID控制器的整定方法概述从学者DOrCak首次提出分数阶PD'控制器至今，越来越多的研究学者提出更多的分数阶PlD控制器。在这些分数阶PlD控制器当中，应用广泛的有A.Oustaloup提出的的CRoNE控制器，LPodlubny提出的PLD'控制器，还有Y.Q.Chen等人提出的基于尸斤算法结构的分数阶PlD控制器。每一种结构类型的控制器的诞生，常常都会引来相应控制器整定算法的讨论研究热潮。在各种各样结构控制器的研究中，分数阶PL控制器由于其阶次的极大灵活性，它的参数整定发展成了在分数阶控制研究领域的的一个热门领域，以下介绍两种有显著代表意义的分数阶PID控制器的设计方法。A.Oustaloup提出的CRONE控制器研究基础是频域分析方法，A.OustaIoup在研究控制系统其相位裕度的鲁棒性基础上，提出了如下所述的不断改进的三种分数阶控制器算法:（I）针对穿越频率时候周围增益进行扰动时其开环传递函数的情况下的整定算法；（2）针对不同增益扰动的模型不同情况的整定算法；（3）针对控制系统被控对象其调整参数的不确定性的整定算法。从CRONE的三种控制器算法中我们可以明显可以看出来，针对控制系统中的高低频干扰，分数阶PlD能够对其有效抑制，换言之，对传统整数阶PID而言，分数阶控制器其优良的鲁棒性是前者远远做不到的。I.PodlUbny研究提出的广义分数阶PID控制器的结构，由于计算过程相较CRoNE控制器较为复杂，其主要是进行控制算法优化的一种方法，想要在工业领域广泛使用有一定的障碍。第四章分数阶PlD自整定算法整数阶PlD控制器，经过几十年的发展，在控制器整定领域里面已经形成一套完整的理论研究及应用体系，而且仍有大量学者针对整数阶PID控制器进行深入研究，研究出了不少心的整定控制器结构的方法理论。近年来，越来越多的学者关注分数阶控制器的结构的研究，而且研究出了许多卓著成果，提出了一些相对有效的整定方法。在实际的工业系统中，控制系统的被控对象通常比较复杂，其数学模型一般无从得知，对于被控对象所能得到的有效信息非常匮乏。针对这种情况，国内学者研究出了具有等阻尼特性的FOPkF0PI>FOPD.FOPD四种控制器的自整定算法。本章对其进行学习研究。4.1 控制器自整定算法在研究控制系统时，怎样达到系统稳定，怎样具有好的鲁棒性，这是我们研究控制器自整定算法的目的和意义所在。通常采用的是计算的方法，来得到分数阶控制器，该控制器有三个参数，因此在控制器设计当中需要得到控制器参数值，这可以通过三个参数整定方程来得到。为了更方便地研究系统的整定方法，我们需要先假设经过几次实验可以得到控制系统在期望的正切频率点处的增益以及相位。针对FOPI、FOPI、FOPD>FOPD控制器，各自的传递函数分别如下式所示：CG)=K(1+5%)(41)G(S)=KP式+,26尸(42)GG)=KP3(1+K.)(43)GG)=KP4(1+4/内尸(44)假设系统开环穿越频率是线，在频率"处的相位是系统开环增益传递函数为：(4.5)G(S)=C(S)P(S)其中P(S)是未知的被控对象。4.2 整定方程设计分数阶控制器的基本要点是，当处于向量图中控制系统其灵敏度圆(SenSitiVityCirCle)同控制系统的Nyquist曲线在点和处相切的这一情况下，映射到Bode图上的具象为系统其相位曲线在牝处保持平直。分数阶控制器的该性质确保了在增益不断变化时，系统能够具有更好的鲁棒性。从这一特性出发，我们能够设计出控制系统的三个整定方程，其表达形式分别如下所示：(1)根据需耍满足控制系统其相位特性曲线需在在WC处是平直的这一要求，能够得到如下所示方程：-Hs)=0(4.6)dsS=M该方程也可以表达为：，誓Leq47)(2)在牝处可以把控制系统的开环系统其相位表达为：4G(jc)=©(4.8)(3)在牝处控制系统的开环增益表达为：G(M)=c,(M)M)=CoS(耙)(4.9)4.3FOPI控制器自整定算法研究根据FOPI控制器其传递函数，能够得到它的频率响应表达如下：Cl(j)=Kpl(Kii(j),)(4.10)=KPl(1+Ki,cos(2-)-jKnsin(-).由式(4.10)可以获得控制器其相位与增益表达如下，c,(j)=KM(I+KMF(芍)2+(WTsin()2,(4.11)(4.(14)(4.(15)(4.(16)(4.(17)(4.(18)(4.(19)(4.(20)(4.(21)Kisin(-)ArgC(j)=-arctan(4.12)1+Kjlcos(-)在此我们假设被控对象其传递函数为P(S),则其频率响应能够表达为：P(7)=P(j)d"'(4.13)其中P03)为被控对象的增益，NPc/3)为被控对象的相位。控制系统的开环系统频响可以表达为：G1(>)=C1(Jty)PO)及CiO)=ciO)G1(»=C1(»÷ZP(»则ddd由Clj,能够获得控制系统对角频率其导数可以表达为：g：)=TKjA,a)cos(%g-JsinU)而且，能后获得被控对象与角频率它俩之间的关系为：InP(J=IniP(J砌+jP(j)dnP(j)_1dP(j)_dnP(j),dP(jc)=1JdP(Jg)ddcldP(j")=尸(/Ma网+.dP(jddd由上所述我们可以推导出开环系统传递函数与角频率二者之间关系为:(4.22)(4.(23)(4.(24)(4.(25)(4.(26)(4.(27)(4.(28)(4.(29)(4.(30)(4.(31)"G宵=KpP(j)-Kiicos()+(1+K,cos(2)+KM入sin(磴丝言©+j(；IKMT)Sin(%)一-Z2dnP(jy).dZ,P(j)KHGsin()+(1+K"Gcos()2d2d由(4.7)所示的参数整定方程，可以得到NyqUiSt曲线在4处的斜率表达如下式:dG(js)NFr(妆)L叫=ZP(X)+ZC1(X)=/P(jg)+arctan(A/B)则Kjgfsin(y)ZC1(JG)C)=arctan(AIB)=-arctan1 ÷Kcoczcos(-)其中A=4K,g(-i)sin(U/2)-Kjg(T-QSin(/U/2用)+isp(c)+K,3i-QCoS(ZU/2)SPQ),B=一Kjgf)(2cos(b2)-sin(br2)Sp3c)+«'+0，t)K八CosQ乃/2)LQ)从式(4.23)及(4.6),我们可以得到spc)KiCKix+%(%)=0其中C=sin(2/2)+2cos(4乃12)SPM)-(2>n(/2)+2CoS(义;T/2)SP(GC)+瓜/，=2pM)其中=2sin2(-2)+2sin(/2)s.(4)4sin?(/2)sj(4)dlnP(网SaM)=ALdz、dP(j)ScF对于一个稳定的最小相位系统来说，s，(.)的近似形式为5tJZP(>J+ln-lnP(y)(4.33)其中，IKJ=P(O),表示为被控对象的统计增益。由(4.9)所示的参数整定方程得到：G1(X)=C,(M)P(X)=cos()(4.34)=P(M)KPlJl+2K,g%os(/2)+(KMA>那么小=/8S(耙)(4.35)P(X)1+2C,1cos(2/2)+(Kie)2由(4.8)所示参数整定方程可以得到：4G(j<)=C(jdP(j<)=m-(4.36)NG(M)=落乃一NP(血)(4.37)那么，,Kixjsin(2/2).-arctan：=lll-P(jc)l+Czcos(2)c(4.38)F_TanS)(4.39)“(sin(/2)+cos(/2)tan()其中。=耙-4-40&)(4.40)若能够获得与(4)。那么由(4.29)(4.35)及(4.39),则能够通过计算获取KK川及几的值。4.4FOPIJ控制器自整定算法研究(4.41)KrgCAj)=-arctan(-)C(网=KW1+箓产控制系统其开环频率响表达为：G2(j)=C2(j)P(j)控制系统其开环增益能够表达如下：G"4)I=IGoa)IIP(J4)1控制系统其开环相位幅度表达如下：(4.42)(4.43)(4.44)那么ZG2O)=C2(j)+P(j)(4.45)电幽=P(jco)奠33j屋网ddd(4.46)由G03)，我们能够获得下式:仁(汝)二j4K.K.(+K,2产Id2j由上式可以得到控制系统其被控对象同其角频率二者之间关系表达为:dP(js)=俨(汝)IjdP(j%ddd(4.47)(4.4