第2章 逻辑代数基础教材课件.ppt
第2章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2.2 复合逻辑运算,2.2 逻辑代数中的常用运算,2.2.1 基本逻辑运算,2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.5 逻辑函数的公式化简法,2.4 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的卡诺图化简法,2.1 概述,逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。,逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和“0”表示。,2.2 逻辑代数中的常用运算,2.2.1 基本逻辑运算,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写英文字母A，B，C，来表示。逻辑变量只有两种取值，常用0和1来表示。这里的0和1不表示数量，也没有大小的意义，而只代表两种对立的状态。 逻辑代数的基本运算有与(AND)、或(OR)、非(NOT)三种,与运算,只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。,与逻辑举例,逻辑表达式,与逻辑：L = A = AB,与运算,、或运算,只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。,或逻辑举例,逻辑表达式,或逻辑：L = A +,、或运算,3.非运算,事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。,非逻辑符号,逻辑表达式,3.非运算,2.2.2 复合逻辑运算,1 与非运算,2 或非运算,3 与或非运算,与或非逻辑表达式,4异或逻辑,若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。,5同或运算,若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。,同或逻辑表达式,2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.3.1 逻辑代数中的基本定律,吸收律,列出等式、右边的函数值的真值表,例 证明,证：,2.3.2 逻辑代数中的常用公式,2.3.3 逻辑代数中的三个基本规则,1、代入规则 ： 在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。,例：B (A + C) = BA+BC，,用A + D代替A，得,B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC,代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围,对于任何逻辑函数式，若将其中的与（ ）换成或（+），或（+）换成与（）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作,例: 逻辑函数 的对偶式为,2. 对偶规则：,当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律,对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（ ）换成或（+），或（+）换成与（）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。,3. 反演规则：,解：按照反演规则，得,运用反演规则两个原则：,(1)仍需遵守“先括号内运算、然后与运算、最后或运算”的运算优先次序,(2)不属于单个变量上的非号应保留不变,2.4 逻辑函数及其表示方法,2.4.1 逻辑函数的建立,一般地说，若输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：,L=f（A，B，C）,逻辑函数的特点：,（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。,2.4.2 逻辑函数的表示方法,1. 真值表,逻辑真值表是将输入逻辑变量的各种可能的取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。各变量的取值组合一般应该按照二进制数递增的次序排列,2、逻辑表达式,逻辑表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式。,例：已知某逻辑函数的真值表，试写出对应的逻辑函数表达式。,由真值表转换成逻辑表达式：,在真值表中依次找出函数值等于1的变量组合，变量值为1的写成原变量，变量值为0的写成反变量，把组合中各个变量相乘。这样，对应于函数值为1的每一个变量组合就可以写成一个乘积项。然后，把所有的乘积项相加，就得到相应的函数表达式(与或表达式) 。,由逻辑表达式转换成真值表：,画出真值表的表格，将变量及变量的所有取值组合按照二进制递增的次序列入表格左边，然后按照表达式，依次对变量的各种取值组合进行运算，求出相应的函数值，填入表格右边对应的位置，即得真值表 。,用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻辑关系所得到的图形称为逻辑图。,3. 逻辑图,将逻辑函数式中所有的与、或、非运算符号用相应的逻辑符号代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来，就得到图电路所对应的逻辑图,4. 波形图,如果将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图。,2.4.3 逻辑函数的两种标准形式,1. 最小项和最大项,在个变量的逻辑函数中，若为包含个因子的乘积项，而且这个变量均以原变量或反变量的形式在中仅出现一次，则称为该组变量的最小项。,1）最小项,最小项的编号,三个变量的所有最小项的真值表,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。,最小项的性质,在输人变量的任何取值下必有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1。,全体最小项之和为1。,任意两个最小项的乘积为0。,具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。,2）最大项,在n个变量逻辑函数中，若M为个变量之和，而且这个变量均以原变量或反变量的形式在M中只出现一次，则称M为该组变量的最大项。,对于n个变量，有2n个最大项,最大项的编号,最大项的性质, 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项为0。, 全体最大项之积为0。, 任意两个最大项之和为1。, 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,最小项和最大项的关系,例如，,2. 逻辑函数的最小项之和形式,为“与或”逻辑表达式； 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。,3. 逻辑函数的最大项之积形式,为“或与”逻辑表达式； 在“或与”式中的每个或项都是最大项。,2.5 逻辑函数的公式化简法,2.5.1 逻辑函数的最简表达式,在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。,“或-与”表达式,“与非-与非”表达式,“与-或-非”表达式,“或非或非” 表达式,“与-或” 表达式,最简与或式的标准：,（1）与项最少，即表达式中“+”号最少,（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“”号最少,与项最少，可以使电路实现时所需的逻辑门的个数最少；每个与项中的变量数最少，可以使电路实现时所需逻辑门的扇入系数即输入端个数最少。这样就可以保证电路最简。,2.5.2 逻辑函数的公式法化简,运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。,并项法:,吸收法：,A + AB = A,消去法：,配项法：,例2.5.1 化简逻辑函数,例2.5.2 化简逻辑函数,)例2.5.5 已知逻辑函数表达式为,，要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：,解：,2.6 逻辑函数的卡诺图化简法,2.6.1 卡诺图的构成,在逻辑函数的真值表中，输入变量的每一种组合都和一个最小项对应，这种真值表称为最小项真值表。将逻辑函数真值表中的最小项排列成矩阵，并且矩阵的横向和纵向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列（即相邻的数码只有一位码不同），这样构成的图形称为卡诺图。,1,0,1,0,0,1,00,01,11,10,三变量卡诺图,四变量卡诺图,两变量卡诺图,2.6.2 逻辑函数的卡诺图表示,当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。,1、利用真值表填卡诺图,例2.6.1 某逻辑函数的真值表如表2.6.1所示，给出该逻辑函数的卡诺图,2、根据逻辑表达式填卡诺图,例2.6. 2 用卡诺图表示逻辑函数,例2.6. 2 用卡诺图表示逻辑函数,例2.6.3 用卡诺图表示逻辑函数,2.6.3 逻辑函数的卡诺图化简法,1、卡诺图化简逻辑函数的原理,2、卡诺图合并最小项的原则,用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。常见的2个4个8个最小项相邻合并的画圈方法如图所示,画包围圈时应遵循的原则：,（1）圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但是每个圈内只能含有相邻项2n个（n=0,1,2,3）。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。,（2）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。,（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项,（4）取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1的方格，否则该包围圈是多余的。,3、用卡诺图化简逻辑函数的步骤,(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。,(1) 将逻辑函数写成最小项表达式,(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。,(3) 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。,例2.6.5 用卡诺图化简逻辑函数：,L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）,解：(1) 由表达式画出卡诺图如图 (a)所示。,(2) 画包围圈合并最小项，如图 (b)所示,得简化的与或表达式：,例2.6.6 用卡诺图化简逻辑函数：,解：(1) 由表达式画出卡诺图如图 (a)所示。,(2) 画包围圈合并最小项，得简化的与或表达式:,4、卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈0法,圈0,圈1,5.具有无关项的逻辑函数的化简,1）什么叫无关项：,在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。,在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。,例2.6.9在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。,解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值表如表所示。,带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：L=m（ ）+d（ ）L=m（2）+d（0,3,5,6,7）,2）具有无关项的逻辑函数的化简：,例2.6.9的卡诺图 (a) 不考虑无关项 (b) 考虑无关项,
