浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿).doc

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用摘 要特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on.KeysKeys wordswords ：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；目录摘 要.1Abstract.2第 1 章 引言.31.1 研究背景.31.2 研究现状.31.3 本文研究目的及意义.3第 2 章 特征值与特征向量的一般理论.32.1 特征值与特征向量的定义和性质.32.1.1 特征值与特征向量的定义 .32.1.2 特征值与特征向量的性质 .32.2 特征值与特征向量的一般求解方法.32.2.1 一般数字矩阵的简单求解 .32.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量 .3第 3 章 矩阵的特征值与特征向量的应用研究.33.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用.33.1.1 高阶高次幂矩阵的求解 .33.1.2 在线性递推关系的应用 .33.2 特征值与特征向量在物理学中的应用.33.2.1 简单理想状态双振动系统 .33.3 环境污染及经济增长模型中的应用.3总 结.3参考文献.3第 1 章 引言 1.1 研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2 研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在浅谈中“特征值与特征向量”的引入中从线性空间 V 中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在特征值与特征向量在矩阵运算中的作用中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在特征值问题的 MATLAB 实践中从实际案例入手，利用 MATLAB 软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用中探究了已知 n 阶对称矩阵 A 的 k 个互不相等的特征值及 k-1 个特征向量计算出矩阵 A 的计算方法.张红玉在矩阵特征值的理论及应用中讨论了通过 n 阶方阵 A 的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在矩阵的特征值、特征向量和应用一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在讨论矩阵的特征值与行列式的关系中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3 本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过具体的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.第 2 章 特征值与特征向量的一般理论2.1 特征值与特征向量的定义和性质为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。我们知道，在一个有限维的线性空间中，确定一组基之后，线性变化就可以通过矩阵的方法来表示，当然对于一些复杂的形式来说，这种变化过程也十分繁琐。那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁，首先介绍一下特征值与特征向量的定义。2.1.12.1.1 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义 1：设A是n阶矩阵，如果存在数与n维零向量x，使关系式Axx 成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为方阵A的对应于特征值的特征向量（可以是复数，A的元素与x的分量也可以是复数）.可以将关系式 Axx 写成 ()0Ax 这是n个未知数n个方程的齐次线形方程组.其有非零解的充分必要条件是：系数行列式0AE. 方程组()0Ax 是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程.AE是的n次多项式，记作( )f,称为方阵A的特征多项式.显然，A的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.因此，n阶矩阵在复数范围内有n个特征值.2.1.22.1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质性质 1 若i是R的ir重特征值，R对应特征值i有is个线性无关的特征向量，则iisr.性质 2 如果12,x x都是矩阵R的属于特征值0的特征向量,则当1 1220k xk x时, 1 1220k xk x仍是R的属于特征值0的特征向量性质 3 如果12,n 是矩阵R的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,nx xx，则12,nx xx线性无关性质 4 若 ijn nRr的特征值为12,n ，则121122nnnrrr，12nR性质 5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交性质 6 若i 是实对称矩阵R的ir 重特征值，则对应特征值i恰有ir个线性无关的特征向量，或iir REnr性质 7 设为矩阵R的特征值， P x为多项式函数，则 P为矩阵多项式 P R的特征值 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法2.2.12.2.1 一般数字矩阵的简单求解一般数字矩阵的简单求解通过对于矩阵特征值与特征向量的定义，我们对于一个确定的线性变换A的特征值与特征向量的求解方法，可以分成以下几个步骤：1、在线性空间V中取一组基12n，写出线性变换在这组基下的矩阵A；2、求出矩阵A的特征多项式EA在数域P中的所有的根，这些根就是线性变换下所有的特征值；3、把所求得的特征值逐个带入方程组中，对于每一个特征值，求解方程组，都可以得到一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基12n，下的坐标，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。例 2.1 在基123, 下的一组线性变换A的矩阵形式为R 1 222 1 222 1，求A的特征值与特征向量。解 先求出此矩阵的特征多项式 ER 212221215221 可以看出当EA为零时，特征值分别为-1（二重）和 5。并先将-1 代入齐次方程组xxxxxxxxx123123123122021202210 可以得到xxxxxxxxx123123123222022202220 它的基础解系为101，011 由此便可以看出关于特征值-1 的两个线性无关的特征向量为113 223 再根据定义可以得出关于-1 的特征向量为1 122kk，其中的1k和2k取不全为零的任意值，然后再将 5 代入，可得xxxxxxxxx123123123422024202240 基础解系为 111 所以，对于特征值 5 的线性无关向量是3123 可以看出特征值 5 的全部特征向量为3k，k的值同上，为不全为零的数。2.2.22.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量初等变换法求矩阵的特征值与特征向量在开始介绍之前首先应该了解什么叫做矩阵的初等变换。矩阵的初等变换一般就分为初等行变换和初等列变换，先给出初等行变换的定义：（1）调换矩阵的任意两行（如i，j行） ；（2） 将一个非零的数k乘以矩阵中某一行的所有元素；（例如第i行乘以k） ；（3）将某一行元素的k倍加到另一行对应的元素上去；这就是矩阵的初等行变换，以同样的方法可以定义初等列变换。而经过这种初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。定理 2.1 设A是一个n阶的矩阵，它的特征矩阵EA可以经过一系列的初等变换转化为一个下三角矩阵，记做 12*nllLl，则对角线上元素乘积为零的方程 120nlll的解就是A的特征值。定理 2.2 若对于特征矩阵TiAE进行初等变换，将其转换为一个阶梯型的矩阵，同时对于一个相同形式的单位矩阵进行相同的变换，那么就存在一个n阶阵,n nP，使得,0r nr nTn nin nn r nn r nDPPAEEP 其中的irR AE且, r nD是满秩矩阵，那么,n r nP中的n-r个n维行向量就是矩阵A的特征值所对应的特征向量。例 2.2 求矩阵A=110430102的特征值和特征向量。解TAEE=141100130010002001 1300101+41100002001 21300100-11010 =002-001DP 然后使 D中的主对角元素乘积为零，从上式式可得2210,所以特征值为123=2=1，；分别代入当1=2时， 11110010011030000001DP， 12R D，所以当1=2时对应的特征向量为100,0,101TP 。当23=1时代入得 22120010001020001001DP120010001020000021 所以23=1得特征向量为200, 2,121TP 。上面的例子给出了做初等行变换的方法，同样的对于列变换也可以用相同的方法解决，下面给出例子；例 2.3 求矩阵A 311751662的特征值与特征向量。解 ccEAE 13311113751157662266100001010010001100 同理，使得主对角线元素乘积为零，即24440，所以可看出特征值为, 12324，将 12代入其中，可得 LQ11100160060001011110 可以得出特征值 12所对应的特征向量为，, ,T111 0，然后再将34代入，结果如下所示 ccLQ 233310010010010060366360001010011011116161 可以得出特征值34所对应的特征向量为, ,T20 11。第 3 章 矩阵的特征值与特征向量的应用研究作为一个重要的概念，特征值与特征向量中的应用也是最为广泛的，首先它贯穿了整个代数学，同时在对于解决某些较为特殊和复杂的其他领域问题时，也会使得问题更加简便，接下来就简略探究其在数学领域中的应用、物理学中的应用以及环境污染以及经济增长模型中的应用。 3.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用3.1.13.1.1 高阶高次幂矩阵的求解高阶高次幂矩阵的求解对于一个高阶甚至于n阶的矩阵进行求解，若采用以往的方法会比较麻烦，所以就引入了较为简单的方法。当一个n阶的矩阵A可对角化时，就是说原矩阵与其对角阵相似，那么在计算它的高次幂矩阵kA时有简便算法。何为可对角化，如下条件即说该矩阵可对角化：前提是A为对称的矩阵，再有矩阵A有n个不相等的特征值，且特征值所对应的特征向量线性无关，对于每一个特征值均有m。满足如上条件即可说A可对角化，1AP P。对1AP P来说，其中12,nPx xx，它由A的n个特征向量构成。并且由A的n个特征值构成的对角矩阵为12,ndiag ，有 111111111kkkAP PP PP PP PPP PP PP PPPP 其中12,kkkkndiag ，所以121,kkkknAPdiagP。例 3.1 已知矩阵A122212221，求kA（k是正整数）解 从题中可以看出，A是一个对称矩阵，所以可以采用上述的简便算法，通过特征值的解法，可以得出矩阵A的特征值为, 12315，设特征向量是123,x x x，所以对角阵为,diag 1 15，Pxxx12310101111 0，且矩阵P的逆为P121111213111，又,P APdiag 11 15，化简后可以看出1AP P，有 kkkkkAPP11001012111011010121311 1005111 （3.1） kkkkkkkkkkkkkkkkkk11111121515151152151531515215 （3.2）3.1.23.1.2 在线性递推关系的应用在线性递推关系的应用线性递推关系与矩阵之间有着密不可分的联系，特征值与特征向量在其中也有着广泛的应用，接下来就讨论对于一般的线性递推关系中的应用。首先设一个K阶的线性数列，且是循环的，满足如下递推关系,nnnkn kxa xa xa xnkk112212 （3.3）其中, ,ia ik1 2为常数且其中任意ka 0。那么方程1122,112211nnnkn knnnnn kn kxa xa xa xxxxxxx （3.4）经矩阵表示为nkknnnnn kn kxaaaaxxxxxx 12111221100001000010 （3.5） 让,nnkknnn knn kn kn kxxaaaaxxxAxx 11211212110000010 （3.6）那么（3.5）式可以写成1n kn kA （3.7）通过递推关系（3.7）式变为2111n kn kn kAA ，1121,Tkkxxxx，所以求nx就变成了求1n k ，即求n kA。假设矩阵A可转化为对角阵，那么就存在可逆矩阵P，使得1P AP ，则1n kn kAPP，于是1211000100001kkaaaaEA （3.8）在上面行列式的第一列上乘以，加到下一列，以此类推，就得到：kkkkkkkaaaaaaaa21211121111100001000010111kkkkaaa当是矩阵A的特征值时，可以得到1REAk，那么齐次线性方程组0EA X的基础解系中只有一个解，所以当矩阵A有k个特征值12,k 时，分别对应着特征向量为12,kP PP，那么以其作为矩阵的列，所构成的矩阵 p 就是可逆矩阵，且1P AP 12000000nA （3.9）例 3.2 设数列 nx满足如下递推的关系：nnnnxxxxn123224，其中,xxx 123123，求nx的通项。解 由题可得数列是三阶循环的，nnnnnnnnxxxxxxxx123112222，将方程组写成矩阵的形式nnnnnnxxxxxx11223212100010，让A212100010 （3.10）经过递推得nnnnnnnnnnxxxxxA xAxAxxxxx1232312322341 （3.11）又由于,xxx 123123，且EA 0，可得 322121022001 （3.12）特征值为：, 123112，再由矩阵的特征方程求解，所得到的特征向量为：,PPP 123114112111 （3.13）令：PPPP123114112111 （3.14）则,PPP 11336100113201 06202002 （3.15） nnnnnnnnnnnnnnnnnPP 33332223111313223123 316212100101 03123 31621260023123 316212代入（3.10）中有： nnnnnnxxxx 33332113123 3162126 nnnn 3311131129 1112126263 （3.16） 3.2 特征值与特征向量在物理学中的应用在开始说明特征值与特征向量在物理中的应用前，首先应该给出二者的物理意义。特征值表示矩阵的整体扩大或缩小了多少，在物理学中则表示做刚体运动，相当于整体外表发生变化，但是内部的结构没变，但是对于不同的情况有不同的解释，例如动力学中的频率，稳定分析中的载荷，以及主应力。特征向量表示在某一个方向上，发生旋转，平移，拉伸等变化后的组合，它主要应用于类似的旋转空间及振动模型当中。这一部分主要探究了特征值特征向量在振动模型中的应用及特性。3.2.13.2.1 简单理想状态双振动系统简单理想状态双振动系统首先给出一个简单的双质量振动系统，如下图 3.1 中由 3 个弹簧及两个物体构成的系统（系统被限制在仅能水平方向上移动，不可上下平移） 。图 3.1 简单双振动系统可以借鉴最简单的自由落体系统图 3.2 自由落体运动系统由此可以得到如下的运动方程11212222122100mxkkxk xmxkkxk x（）（） （3.17）即122121212122kkkxxxmmkkkxxxmm （3.18）将上面得到的运动方程重新改写为矩阵的形式，如下1221122212kkkxxmmxxkkkmm （3.19）令1221212,TTkkkxxxxxxmm ，可得xx （3.20）现在一个简单的物理振动问题就转变成了一个矩阵问题，一种解的形式（类似于微分方程）如下：12 j tj tvxveev （3.21）则22j txvex ，可得2xx （3.22）从上式可以看出这是一个求特征值的问题2 , Axx ，经过前面部分对特征值特征向量求解问题的讨论，可以得到：2220AI （3.23）即222422220（）（）22222442（） （3.24）为了使上式变得简单，现在考虑具体的情况k1=k2=m=1，所以代入这些条件就可以得出221212123,1kkkm，然后求得特征值后，可以由2110AIv（） ，即1.11.21 101 1vv （3.25）得出其对应的特征向量为111v。同理，由2220AIv（） ，即2.12.211011vv （3.26）得出其对应的特征向量为211v 。上面给出了该系统的特殊解，通过上述的过程我们可以得出双质量运动系统的一般形式为 11221 12 13 242jtjtjtjtx tc v ec v ec v ec v e （3.27）注意每一个频率（特征值）被使用了两次，这是因为解决方案是对于频率的平方，其中有两个解（正解和负解） 。我们将使用初始条件来求解未知的系数，就像我们求解微分方程一样。在一个正确的解决方案里，数量c1和c2是一组共轭复数，同理c3和c4也是一样。这样该方程可以重新写为 1 113 112 224 22cossincossinx tvtvtvtvt（3.28）我们可以使用初始条件(0)t 来求解未知数 1 12213 12420,0 xvvxvv （3.29）现在让我们来考虑一下对于初始条件，当速度为零的情况下，这是一种适用于任意位置的初始条件（这是我们最常使用的情况） 12000000 xxxx ， （3.30）使用上述为零的初始条件，可以写成 13 12420 xvv ，即 13241100110 x （3.31）变换为方程组13241324+0+0 （3.32）在实际生活中知道，频率不为零，所以唯一的解为34=0 （3.33）因此，如果初始速度为零，唯一需要的余弦的解其一般形式可以简化为 1 11222coscosx tvtvt （3.34）由初始条件求待定系数可得 1 112221 1220cos0cos0 xvvvvAA （3.35）这就产生了一个2 2的方程组，可以用许多方式来求解此方程组12111 1vvv （3.36）转换为矩阵的形式初始条件就变成 11 12220 =xvvv （3.37）即 1120v x （3.38）举例说明考虑如下情况，当k1=k2=m=1 时，如前所述，对于普遍的初始条件 100 x （3.40）假设的解为： 1 11222coscosx tvtvt （3.41）我们就可以知道 1 112221 12210cos0cos00 xvvvv AA （3.42）我们可以把它写成两个方程中的两个未知数1 12212111=+011vv （3.43）12121=+0=即，所以121=2。因此该运动方程由下式给出 112211coscos22x tvtvt （3.44）或者 1122121111coscoscoscos2222x tttxttt ， （3.45）延伸到一个n n系统上述过程很容易扩展到更大的系统中1、从运动方程系统中得到一个n n二阶的矩阵微分方程xA x2、找到特征值（振动频率）和特征向量； 特征值为123.n， ，特征向量为123.nvvvv， 频率为1iiin ，3、假设该方案的一种解决办法； 1 11222coscoscosnnnx tvtvtvt 4、从初始条件求解未知系数（i） 12-112=(0)nnvvvvv x， 3.3 环境污染及经济增长模型中的应用环境污染与经济发展，对于这两个问题的讨论是世界上恒久不变的主题。同样对这类问题的研究，也可以应用本文的主题特征值与特征向量来进行解决。首先为研究问题的可行性，需建立一个基本的数学模型，如下：设该地区的环境污染程度为0 x，经济发展水平为0y，数年以后二者的发展程度为，那么00,xy与就有如下的关系式：11, yx11, yx100100322xxyyxy （3.46）并且令010101,xxyy 3122A （3.47）那么就可以将上式改写为矩阵的形式：10aAa上式就体现出了该地区多年后的经济增长与环境污染之间的关系，例如给定初值00011xy 100311414422141A （5.3）通过（3.47）式，然后采用数学方法就可以预测多年以后的发展水平，一般设t年以后环境污染程度为tx，经济增长为ty。那么就可以将模型写为11113(1,2, )22ttttttxxytkyxy （3.48）令 tttxy，写成矩阵的形式1(1,2, )ttAtk则有102210332010tttAAAAAAA （3.49）上式就是通过一个类推，反映出了t年后的经济发展和环境污染的程度。下面就是通过应用矩阵特征值与特征向量进一步讨论，首先给出矩阵 A 的特征方程：31|(4)(1)22EA （3.50）可以看出A的特征值分别为：124,1。对两个特征值分别求特征向量，可得当的特征向量为111 ，当411=1时的特征向量为212，可以明显的看出，两个特征向量线性无关，现讨论如下情况：1、0111 ，如果a是矩阵 A 的关于的一个特征向量，那么a也是矩阵kA的关于k的特征向量。通过上面的性质就可以得出，0111141tttttAA ，即141tttxy 或 4tttxy。上式表明：在当前的经济增长和环境污染的速度下，在 t 年以后，随着经济发展的程度越高，环境污染的情况也就越严重。2、0212，020y ，所以不讨论此种情况3、017 首先，因为上式不是特征值，但是由于可以通过表示出来即021，21023根据上面叙述的特征值与特征向量的性质可以得出012121122(32)32113 42323 42 1123 44tttttttttttAAAA （3.51）即,3 423 44ttttxy，3 42,ttx 3 44tty 。由此便可以预测未来t年中的发展变化情况，通过上述就可以说明，特征值与特征向量在此模型的分析中，取得了很大的作用。总 结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，特征值与特征向量有着许多具体的应用。本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结：首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，例如定义法和初等变化法，并且对于每一种方法都详尽的叙述了解决过程，并举例说明。然后除此之外，本文重点介绍了特征值与特征向量在各个领域中的应用，在数学领域中，给出了对于高次幂矩阵的求解中的应用，从中可以知道对于高阶的矩阵如果发现其可对角化，那么就存在简便算法；在物理领域中，从简单的 2 阶振动模型入手，给出了如何将振动方程转化为矩阵特征值特征向量问题；在生活中，经济增长环境污染，通过具体的例子阐述二者在生活中的具体应用。最终可以得出，特征值与特征向量除了在数学中有着巨大的作用，在其他领域如经济、物理等方面同样被广泛应用，值得我们去深入的研究和讨论。参考文献1 汤正华. 关于矩阵的特征值与特征向量的探讨J.山东行政学院山东省经济管理干部学院学报,2008(06):91-1082 李延敏. 关于矩阵特征值与特征向量同步求解问题J. 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