有理数的运算讲义.doc

有理数的运算一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的符号； 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律) 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)有理数加法的运算技巧： 分数与小数均有时，应先化为统一形式. 带分数可分为整数与分数两部分参与运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤： 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤： 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式. 例如：，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例1】 计算：【例2】 计算：； 计算：【例3】 计算：； 计算：【巩固】 若，则0 若，则0【巩固】 若，则0； 若，且，则0.【例4】 (第14届希望杯)有一串数：，按一定的规律排列，那 么这串数中前个数的和最小【例5】 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为的形式，又可分别表示为的形式，则【例6】 给出一连串连续整数：，这串连续整数共有个；它们的和是【例7】 个不全相等的有理数之和为，则这个有理数中( )A至少有一个是零 B至少有998个正数 C至少有一个是负数 D至多有995个是负数【巩固】 若，则以下四个结论中，正确的是( )A一定是正数 B可能是负数C一定是正数 D一定是正数【例8】 市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）A. 28ºCB. 29ºCC. 30ºCD. 31ºC【例9】 超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点，第一步向左跳个单位到点，第二步由点向右跳个单位到点，第三步有点向左跳个单位到点，第四步由点向右跳个单位到点， ，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是 求电子跳蚤的初始位置点所表示的数二、有理数基本乘法、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律： 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)有理数乘法法则的推广： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数. 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例10】 计算：【例11】 计算： 计算：【巩固】 计算： 计算：.【例12】 积的值的整数部分是【例13】 设个正整数，任意改变他们的顺序后，记作，若，则（ ） A一定是奇数 B一定是偶数 C当是奇数时，是偶数 D当是偶数时，是奇数【例14】 若，是互不相等的整数，且则的值为( )A0 B4 CD无法确定【巩固】 如果4个不同的正整数，满足，那么的值是多少？ 【例15】 如果均为正数，且，那么的值等于【例16】 若，则是（ ）A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数【巩固】 奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.【巩固】 如果，则一定成立的是( )A是的相反数 B是的相反数 C是的倒数 D是的倒数【巩固】 、为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A，、同号 B，、异号 C，、异号 D、同号【巩固】 若三个数互不相等，则在中，正数一定有( )A个B个C个D个：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例17】 计算： 计算：【巩固】 计算：； 计算：.【例18】 用“”或“”填空 如果，那么0 ； 如果，那么 0 . (3) 如果，试确定的符号.【例19】 观察下面的式子： 小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？ 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想【例20】 已知、互为相反数，、互为负倒数，的绝对值等于它相反数的倍. 求 的值.【例21】 计算：三、有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。四、有理数的乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。五、有理数常考经典计算题型一、应用定律【例22】 计算： 二、应用公式【例23】 计算： 计算：三、整体代换【例24】 计算： 四、裂项【例25】 计算：五、分离法【例26】 计算：【例27】 1, 数轴的原点上有一个蜗牛，第次向正方向爬个单位长度，紧接着第次反向爬个单位长度，第次向正方向爬个单位长度，第次反向爬个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第次处在点 求、两点之间的距离（用单位长度表示） 若点与原点相距个单位长度，蜗牛的速度为每分钟个单位长度，需要多少时间才能到达？ 若蜗牛的速度为每分钟个单位长度，经过小时蜗牛离点多远？【例28】 2, 在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图所示的几何图形 请你用这个几何图形求的值 请你用图2，再设计一个能求的值的几何图形【例29】 3, 【例30】 4, 如果均为正数，且，那么的值等于【例31】 5, 如果，且，试确定、的符号.【例32】 6, 计算：【例33】 7, 已知，试求的值