数论之余数三大定理.doc

第十四章 数论之余数三大定理概念一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)例题1. 用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和。2. 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数。3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。4. 有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_，_，_。7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_。8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。10. 有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.11. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.12. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 13. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？14. 两位自然数与除以7都余1，并且，求。15. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。请问学校共有多少个班？16. 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_。17. 与的和除以7的余数是_。18. （真题）在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。这样的数组共有_组。19. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_。20. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=_21. 分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 22. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典。一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。这种成语大词典的定价是_元。23. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克。24. 求的余数。25. 求除以17的余数。26. 求的最后两位数。27. 除以13所得余数是_.28. 求除以7的余数。29. 除以7的余数是多少？30. 被除所得的余数是多少？31. 已知，问：除以13所得的余数是多少？32. 除以41的余数是多少？33. 除以10所得的余数为多少？34. 求所有的质数P，使得与也是质数。因数89909192939495969798因数35. 在图表的第二行中，恰好填上这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3。36. 3个三位数乘积的算式 (其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？37. （真题）一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？38. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？39. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍。求等于多少？40. （真题）一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、，求这个自然数和的值. 41. 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？42. 有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？43. 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数。现知这三余数的和是15。试求该数除以18的余数。44. 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 45. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? 46. 将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 _。47. 设是质数，证明：，被除所得的余数各不相同。48. 试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和。49. 若为自然数，证明。50. 设n为正整数，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值。51. （真题）有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。52. 从1，2，3，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？53. 从1，2，3，4，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除。N最大为多少？54. 将自然数1，2，3，4依次写下去，若最终写到2000，成为，那么这个自然数除以99余几？55. 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：008，试求这个多位数除以9的余数。56. 已知n是正整数，规定，令，则整数m除以2008的余数为多少？57. 的末三位数是多少？58. 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。59. 设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么？60. （真题）两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_。答案及解析1. 答：因为是的倍还多,得到，得，所以，。2. 答：(法1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙乙；则乙，甲乙。(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数。3. 答：本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.4. 答：被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。5. 答：本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.6. 答：设所得的商为，除数为。，由，可求得，。所以，这三个数分别是，。7. 答：设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，所以这个自然数为。8. 答：由，知，一组是10或11人。同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人。9. 答：因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为。10. 答：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。，的约数有，所以这个数可能为。11. 答：(法1) ，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。，所以这个数是。12. 答：我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次。 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=59，所以共有5×18+9=99个这样的数。13. 答：设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则。根据题意可知，所以，即，得。所以是9的倍数，是8的倍数。此时，由知。由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54。当时，而，所以，故此时最大为；当时，由于，所以此时最小为。所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154。14. 答：能被7整除，即能被7整除。所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，15. 答：所求班级数是除以余数相同的数。那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17。16. 答：因为, ，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除。，所以所求的最大整数是98。17. 答：找规律。用7除2，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为，所以除以7余4。又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同。而2003除以7余1，所以除以7余1。故与的和除以7的余数是。18. 答：1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5。因为，所以这样的数组共有下面4个：， ， ，。19. 答：，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，所以除数不是58。，所以除数是。20. 答： n能整除。因为，所以n是258大于8的约数。显然，n不能大于63。符合条件的只有43。21. 答：本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。22. 答：六名小学生共带钱133元。133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1。易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是 (元) 。23. 答：两个顾客买的货物重量是的倍数。，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克。24. 答：因为，根据同余定理(三)， 的余数等于的余数，而，所以的余数为5。25. 答： 先求出乘积再求余数，计算量较大。可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。除以17的余数分别为2，7和11，。26. 答：即考虑除以100的余数。由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4 和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为63。27. 答：我们发现整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。28. 答：法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而，（729除以7的余数为1），所以。故除以7的余数为5. 法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：于是余数以6为周期变化。所以。29. 答：由于，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；30. 答：31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是。31. 答：2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：除以13余，8除以13余，即8是13的倍数。而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.32. 答：找规律：，所以77777是41的倍数，而，所以以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7。33. 答：求结果除以10的余数即求其个位数字。从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的。首先计算的个位数字，为的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，另外5个数为、，它们和的个位数字是的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3。34. 答：如果，则，都是质数，所以5符合题意。如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，除以5的余数即等于、或者除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况。如果除以5的余数为1，那么除以5的余数等于除以5的余数，为0，即此时被5整除，而大于5，所以此时不是质数；如果除以5的余数为4，同理可知不是质数，所以P不等于5，与至少有一个不是质数，所以只有满足条件。35. 答：因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积。因此原题中的可以改换为，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了。我们得到下面的结果：因数89909192939495969798因数37195621048进而得到本题的答案是：因数89909192939495969798因数9195899793949098929636. 答：由于， 于是，从而(用代入上式检验)(1)，对进行讨论：如果，那么(2)，又的个位数字是6，所以的个位数字为4，可能为、，其中只有符合(2)，经检验只有 符合题意。如果，那么(3)，又的个位数字为2或7，则可能为、，其中只有符合(3)，经检验，不合题意。如果，那么(4)，则可能为、，其中没有符合(4)的。如果，那么，因此这时不可能符合题意。综上所述，是本题唯一的解。37. 答：根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为）。既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0。那么这个自然数是的约数，又是的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19。38. 答：这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17。39. 答：根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来： 由于，要消去余数, , ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减。这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4。于是我们可以得到下面的式子： 这样余数就处理成相同的。最后两两相减消去余数，意味着能被整除。，。51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于17。40. 答：将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：，、，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是，故同余.将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，而，所以这个自然数是的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是时，除、所得的余数分别为、，时成立,所以这个自然数是，.41. 答：斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.42. 答：由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数。所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数。由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数。43. 答：除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8。所以该数加1后能被3，6，9整除，而，设该数为，则，即（为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17。44. 答：从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是型的数，又是质数。只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁。45. 答：设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号 为2，3，4，B孔的编号就是圆圈上的孔数。我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1。按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1。同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数。如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除。注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而已经大于100。7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是。46. 答：本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和。共有9个数字，共有90个两位数，共有数字： (个), 共900个三位数，共有数字： (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位。从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来。因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是： (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为。47. 答：假设有两个数、，()，它们的平方，被除余数相同。那么，由同余定理得，即，由于是质数，所以或，由于，均小于且大于0，可知，与互质，也与互质，即，都不能被整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证。48. 答：通过逐次计算，可以求出被11除的余数，依次为：为3，为9，为5，为4，为1，因而被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地，可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即时能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：。49. 答：，由于与的奇偶性相同，所以。，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余数为1、2、3或者4，被5除的余数为、被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管为多少，被5除的余数为1，而，即14个相乘，所以除以5均余1，则能被5整除，有。所以。由于2与5互质，所以。50. 答：2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以被7除余数为2，被11除余数为3。由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余数为8。可见是3和10的公倍数，最小为，所以n的最小值为28。51. 答：设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为，。依题意可知：，根据整除的性质对这三个算式进行变换：从上面可以发现应为15、17、19的公倍数。由于，所以 (因为是奇数)，可得。当时，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432。52. 答：被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个。基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108。53. 答：取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10。在中，除以15的余数为0的有，共有个；除以15的余数为5的有，共有134个；除以15的余数为10的有，共有134个。所以N最大为134。54. 答：由于，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数。实际上求得这个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余数为3。下面介绍另一种解法。由于，所以除以99的余数等于除以99的余数。同样，等数除以99的余数等于除以99的余数。可知，一个自然数，如果在它后面加上偶数个0，那么这个数除以99的余数等于除以99的余数。根据这一点，可以把分成若干个后面带有偶数个0的数之和。由于的位数是奇数，那么对于组成的一位数1，2，3，9，可以分成，；对于其中的两位数10，11，12，98，99，可以分成，；对于其中的三位数100，101，102，103，998，999，两两一组，可以分成，；对于其中的四位数1000，1001，1999，2000，可以分成，2000。那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为，那么除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和。由于这些数除以99的余数分别为1，23，45，67，89；10，11，12，98，99；，；1000，1001，1999，2000，而其中，是公差为2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：，而除以99的余数等于除以99的余数，为3。所以除以99的余数为3。55. 答：以这个八位数为例，它被9除的余数等于被9除的余数，但是由于1999与被9除的余数相同，2000与被9除的余数相同，所以就与被9除的余数相同。由此可得，从1开始的自然数008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同。根据等差数列求和公式，这个和为：，它被9除的余数为1。另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成，007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同。因此，此数被9除的余数为1。56. 答： 2008能够整除，所以的余数是2007。57. 答：首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于的平方再乘以的末三位。而，其末三位为；然后来看前者。它是一个奇数的平方，设其为 (k为奇数)，由于，而奇数的平方除以8余1，所以是8的倍数，则是200的倍数，设，则，所以它与105的乘积，所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625。58. 答：本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么1031除以9的余数也必须为8，只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是36059.答：由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以与、 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则除以9的余数与除以9的余数相同，而除以9的余数为1，所以除以9的余数为除以9的余数，即为5。另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即。60. 答：因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为，所以，被除数为。