二次曲面的一般理论.doc

第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程 （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号 即有恒等式成立: 二次曲面的系数矩阵: 而由的系数矩阵为 二次曲面（1）的矩阵A的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是，的系数。 §6.1 二次曲面与直线的相关位置 (1)与过点的直线 (2)将(2)代入(1)得 （3）现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况: 1.,这时方程（3）是一个关于的二次方程，它的判别式为：10 ,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;20 ,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;30 ,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点2.10 ,直线与二次曲面有唯一交点;20 ,但直线与二次曲面无交点30 ,且，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.§6.2 二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义 5.2.1: 满足的方向：Z称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面 (1)和过点的直线 (2)当：Z为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。2. 二次曲面的中心当为二次曲面的非渐进方向时,即当以非渐进方向为方向的直线与二次曲面交于两个点,由这两点决定的线段叫二次曲面的弦.定义 6.2.2:若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C是二次曲面的对称中心,那么点C叫做二次曲面的中心.定理6.2.1若点是二次曲面的中心,其充要条件是: （6.2-1）推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有的一次项。二次曲面的中心坐标，由方程组 （6.2-2）决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。根据（6.2-2）的系数矩阵A与增光矩阵B，的秩r与R，有：10 ，这时方程组的系数行列式，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。20 ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。30 ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。40，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。定义 6.2.3: 有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面, 有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为，成为非中心二次曲面的充要条件为例1 椭球面与双曲面的分别为与所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为 与因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）例2 抛物面.其=，所以抛物面为非中心二次曲面，它的，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。 例3 对于曲面 =，所以他是非中心二次曲面，但由于，所以曲面有一条中心直线，所给曲面为线心曲面。(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。)作业：§6.3 二次曲面的切线与切平面定义 6.3.1:直线与二次曲面相交于互相重合的两个点,那么这条直线叫二次曲面的切线. 重合的交点称之为切点.特殊情形:直线全部在二次曲面上,亦称之为二次曲面的切线,直线上每一点均是切点.（二次曲面的直母线线也是切线。）一.通过曲面上点的切线方程 (1)通过曲面（1）的点的直线 （2）1. 直线（2）曲面（1）相交于连个重合点的充要条件： 2. 直线（2）整个属于曲面（1）的充要条件： 综合1、2、两种情况：通过曲面（1）上的点的直线（2）成为曲面在这个点处的切线的充要条件是： （3）10， ，不全为零。由（2）得，代入（3）得 （6.3-1）定义6.3.2 二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的切平面，这一点叫切点。20 ，全为零。（3）恒成立，它被任何的方向所满足，因此通过点的任何一条直线都是二次曲面的切线。定义6.3.3 二次曲面（1）上满足条件的点叫做二次曲面（1）的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点。定理6.3.1如果是二次曲面（1）的正常点,那么曲面在点处存在惟一的切平面，它的方程是（6.3-1） 推论 如果是二次曲面（1）的正常点,那么在处曲面的切平面方程是: （6.3-3）例 求二次曲面在点的切平面方程。解法一 因为，所以点在二次曲面上，又因为，所以，这说明是已知曲面上的正常点，所以根据公式（6.3-1）得曲面在点处的切平面方程为，即解法二 由解法一知是已知曲面上的正常点，所以根据公式（6.3-3）得所求切平面的方程是即 作业: §6.4 二次曲面的径面与奇向本节讨论二次曲面 (1)的平行弦的中点轨迹。定理 6.4.1 二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面证明：设为二次曲面的任意一个非渐进方向，而为平行于方向的任意弦的中点，那么弦的方程可以写成 （2）面弦的两端点是由二次方程的两根和所决定，因为为弦的中点的充要条件是，即，把上式中的改写为便得平行弦中点的轨迹方程为 （6.4-1）即或，即 （6.4-2）因为为非渐进方向，所以有因此，不全为零，所以（6.4-2）或（6.4-1）为一个三元一次方程，它代表一个平面。定义 6.4.1二次曲面的平行弦的中点轨迹，就是（6.4-1）或（6.4-2）所代表的平面，叫做共轭于平行弦的径面。而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的方向叫做这个径面的共轭方向。定理6.4.2 二次曲面的任何径面一定通过它的中心（假如曲面的中心存在的话）推论1 线心二次曲面的任何径面通过他的中心线。推论2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。如果方向为二次曲面（1）的渐进方向，那么平行与它的弦不存在，但如果仍有，不全为零，那么方程（6.4-2）任然表示一个平面，我们把这个平面叫做共轭于渐进方向的径面。如果 （3）那么方程（6.4-2）不表示任何平面。定义6.4.2 满足条件（3）的渐进方向叫做二次曲面（1）的奇异方向，简称奇向。定理6.4.3 二次曲面（1）有奇向的充要条件是推论 中心二次曲面而且只有中心二次曲面没有奇向。定理6.4.4 二次曲面的奇向平行于它的任何径面。证 设二次曲面（1）的奇向为，那么因此所以二次曲面的奇向平行于它的任意径面（6.4-2）例1 求单叶双曲面的径向。 解 因为单叶双曲面为中心曲面，即。所以它没有奇向，任取方向，那么，所以单叶双曲面共轭于方向的径面为，显然它通过曲面的中心。 例2 求椭圆抛物面的径面。 解 因为椭圆抛物面为无心曲面，所以曲面有奇向，因为 ，所以曲面的奇向为，任取非齐方向，又有，因此根据（604-2）椭圆抛物面共轭于非齐方向的径面为，显然它平行于奇向 作业: §6.5 二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根定义6.5.1 主径面:如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径面就叫做二次曲面的主径面。定义6.5.2 主方向:二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向），或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的主方向设二次曲面为 (1)方向如果是（1）的渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是 （2）成立，即必须是（1）的奇向。如果是（1）的非渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是与它的共轭径面 （3）垂直，所以有从而得 （6.5-1） 显然，如果在（6.5-1）中取，那么就得到（2），因此方向成为二次曲面（1）的主方向的充要条件是存在使得（6.5-1）成立，把（6.5-1）改写成 （6.5-2）这是一个关于的其次线性方程组，因此不能全为零，因此 （6.5-3）即 （6.5-4）定义6.5.3 方程（6.5-3）或（6.5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做二次曲面的特征根。从特征方程（6.5-3）或（6.5-4）求得特征根，代入（6.5-1）或（6.5-2），就可以求出相应的主方向，当时，与它相应的主方向为二次曲面的奇向；当时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向代入（6.4-1）或（6.4-2）就得共轭于这个非奇主方向的主径面。例1 求二次曲面的主方向与主径面。解 这个二次曲面的矩阵是，则，二次曲面的特征方程为，所以特征根为将代入（6.5-2）得解该方程组得对应于特征根的主方向为，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：将代入（6.5-2）得解该方程组得对应于特征根的主方向为，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：将代入（6.5-2）得解该方程组得对应于特征根的主方向为，这一主方向为二次曲面的奇向。二次曲面特征根的性质：定理6.5.1 二次曲面的特征根都是实数。定理6.5.2 特征方程的三个根至少有一个不为零，因而二次曲面总有一个非奇主方向。推论 二次曲面至少有一个主径面作业: §6.6 二次曲面方程的化简与分类本节利用空间直角坐标变换,讨论二次曲面的化简与分类。一.空间直角坐标变换设在空间给出了两个由标架与决定的右手直角坐标系，为了叙述方便，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个坐标系叫做新坐标系。它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标，以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定。在这里我们先讨论两种特殊的坐标变换，然后研究一般坐标变换（1） 移轴设标架与的原点与不同，在极坐标系下的坐标为，但是， ，这时新坐标系可以看成由平移到使与重合而得来，我们把这种情况下的坐标变换叫做移轴。设P为空间任意一点，它在与下的坐标分别是与，那么， （1） （2）此外又有 （3） （4）将（1）（2）（3）三式代入（4）得所以得 （6.6-1）这就是空间直角坐标系的移轴公式。从（6.6-1）解出就得到用旧坐标表示新坐标的坐标变换公式，即移轴的逆变换公式（2） 转轴设两个右手标架与的原点相同，但坐标向量不同，这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转，使得分别与重合得到的，我们把这种情况下的坐标变换叫做转轴。具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的交角来决定，列表如下：X轴(i)Y轴（j）Z轴(k) (5) 从表（5）我们知道 （6）设空间任意一点P，它的旧坐标为，在新坐标系内的坐标为，那么有空间直角坐标变换的转轴公式： （6.6-3）转轴的逆变换公式为： （6.6-4）转轴的正交条件 （6.6-5）与 （6.6-6）又因为，可得（6.6-3）与（6.6-4）的系数行列式 （6.6-7）（3）一般变换公式设在空间给出了由标架决定的旧坐标系与由标架决定的新坐标系，且在旧坐标系的坐标为，两坐标系的坐标轴之间的交角由表格（5）决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变换到新坐标系可以分两步来完成，可以先移轴，使原点与坐标系的原点重合，变成辅助坐标系。然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系。则空间直角坐标变换的一般公式为： （6.6-8） 上式的逆变换公式是： （6.6-9） 注：它们的系数分别满足正交条件（6.6-5）（6.6-6），它们的系数行列式都等于1.二.二次曲面的化简与分类定理6.6.1 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列五个简化方程中的一个：定理6.6.2 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列十七种标准方程的一种形式： 作业：§6.7 应用不变量化简二次曲面的方程一. 不变量与半不变量 (1)定义: 由(1)式的左端的系数组成的一个非常数函数f,如果经过直角坐标变换（6.6-8），变为时，有，那么这个函数f就叫做二次曲面（1）在直角坐标变换（6.6-8）下的不变量。如果这个函数f只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲面（1）在直角坐标变换下的半不变量。定理6.7.1 二次曲面（1）在空间直角坐标变换下，有四个不变量与两个半不变量，即 推论 在直角坐标变换下，二次曲面的特征方程不变，从而特征根也不变。定理6.7.2 是第V类二次曲面在直角坐标变换下的不变量，而是第III， 第与第二次曲面在直角坐标变换下的不变量。二. 二次曲面五种类型的判别定理6.7.3 如果给出了二次曲面（1），那么用不变量来判别曲面（1）为何种类型的充要条件是：第I类曲面：；第II类曲面：第III类曲面：第IV类曲面：第V类曲面：三. 应用不变量化简二次曲面的方程我们应用二次曲面（1）的四个不变量与两个半不变量来化简二次曲面（1）的方程。10 .这时曲面（1）是第I类曲面，它的简化方程为所以二次曲面（1）的特征方程是，所以根据根与系数的关系立刻可知二次曲面的三个特征根为。又因为 .所以，因此第I类曲面的简化方程可以写成 （6.7-1）这里为二次曲面（1）的三个特征根。20 .这时曲面（1）是第II类曲面，它的简化方程为第II类曲面的简化方程也可以写成（6.7-2），这里为二次曲面（1）的两个不为零的特征根。30 这时曲面（1）是第III类曲面，它的简化方程为第III类曲面的简化方程也可以写成（6.7-3），这里为二次曲面（1）的两个不为零的特征根。40 这时曲面（1）是第IV类曲面，它的简化方程为第IV类曲面的简化方程也可以写成（6.7-4）。50 这时曲面（1）是第V类曲面，它的简化方程为第IV类曲面的简化方程也可以写成（6.7-4）。 定理6.7.5 如果给出了二次曲面（1），那么用它的不变量来判断一直曲面的条件是：1椭球面：2虚椭球面：3点（或虚母线二次锥面）：4单叶双曲面：5双叶双曲面：6二次锥面：7椭圆抛物面：8双曲抛物面：9椭圆柱面：10虚椭圆柱面：11交于一条实直线的一对共轭虚平面：12双曲柱面：13一对相交平面：14抛物柱面：15一对平行平面：16一对平行的共轭虚平面： 17一对重合平面：作业：