《数学》(八年级上册)知识点总结.doc

数学（八年级上册）知识点总结实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.等；（4）某些三角函数值，如sin60o等二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意:的双重非负性：03、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、二次根式计算1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。2、性质：（1）（2）（3） （）（4） （）3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：。(字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東。4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：被开方数中各因式的指数都为1；被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化；彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。化二次根式为最简二次根式的步骤：把被开方数分解质因数，化为积的形式；把根号内能开方的的因数移到根号外；化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。例：、。（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同）厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔。6、二次根式的加法、减法：化简，化成最简二次根式；合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并）茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞。7、二次根式的乘法、除法：先完成根号内乘除，再化简二次根式；小数化分数，带分数化假分数；字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾。8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算叫做分母有理化。一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。一般式：一元二次方程的解法：开平方法：一般来说，形如、的一元二次方程可以用开平方法。（三种情况：有两个不相等的实数根，等于0,没有实数根）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉。因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法。配方法：移常数项；化二次项系数为1；配方，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；用开平方法求解；结论。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅。公式法：先把方程化为一般形式；写出方程各项的系数a、b、c的值（要注意它们的符号）；计算；当时，将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根；当<0时，方程没有实数根，就不必解了。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞。 （开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍的方法，适用任意方程，其中：公式法计算较繁琐。）铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴。一元二次议程根的判别式定义：叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示，即=。一元二次方程的根的情况与的关系：=方程有两个不相等的实数根。=方程有两个相等的实数根。=方程没有实数根。由方程的情况求字母系数的值或取值范围如果说方程有实数根，那么；注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件。一元二次议程的应用二次三项式的概念：形如（a、b、c都不为0）的多项式称为二次三项式。二次三项式的因式分解：首先考虑能否提取公因式；能否运用十字相乘法；最后考虑用公式法。列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题设元列方程解方程检验写答案根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件：方程两边意义相同；方程两边单位一致；方程两边数值相等；方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无。列一元二次方程解题的类型：几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）；增长（降低）率问题：如设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后为a(1+x),第二次增长后为a(1+x)2；贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉。利润（销售）问题：常用等量关系有：利润=售价-进价（成本）、总利润=每件的利润×总件数、利润率=、售价=标价×打折数等；坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣。注意：解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻。 （1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。 （3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦。 （4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。函数图像函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈。用描点法画函数的图象的一般步骤 ：1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯。2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数，是一次函数的特例。2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k>0b>0 y 0 x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0 y 0 x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K<0b>0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0 y 0 x 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。5、一次函数的性质一般地，一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭。待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。(1) 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0。(2) 求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标。识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙。(3) 一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b0(a，b是常数，a0) 。从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0。凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗。(4)解不等式ax+b0(a，b是常数，a0)。 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐。7、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗。 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据。从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值反比例函数定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成反比例函数解析式的特征：等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜。比例系数自变量的取值为一切非零实数。函数的取值是一切非零实数。反比例函数的图像图像的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞。几何证明一、几何证明中常用的证明方法： 1、证明两直线平行利用平行线的性质和判定，利用平行线的判断定理及其推论来证明，这是证明两直线平行最基本的方法，关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟。 2、证明两线段相等利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定（1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等，有时可能缺少直接条件，要证明两次全等；谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾。(2)有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等,那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有:平行线、垂线、中线、连结线段等。嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹。（3）如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等、等角对等边；（4）证明两条线段都等于第三条线段，即以第三条线段为媒介。 3、证明两角相等利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 4、证明两直线互相垂直利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。 *5、证一线段等于另一线段的2倍或一半利用加倍法或拆分法常常要作辅助线。 添辅助线：由于证明的需要，可以在原来的图上添画一些线，即添加辅助线来完成一些几何证明，辅助线通常画成虚线。 三角形证明题中常见在辅助线做法：利用三角形的主要线段构造全等三角形 。熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰缄。二、全等三角形 1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路：三、勾股定理1、勾股定理的定义直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。几何主要定义：(1)角角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。(2)相交线与平行线同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等；对顶角的性质：对顶角相等垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择。平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。(3)三角形三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；全等三角形的判定：边角边公理（SAS）角边角公理（ASA）角角边定理（AAS）边边边公理（SSS）斜边、直角边公理（HL）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为余角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。公式：长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a2三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 平行四边形的面积=底×高 S=ah 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（ab）×h÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=d =2r 圆的面积=圆周率×半径×半径S=r2菱形面积=对角线乘积的一半S=（a×b）÷2 弧长计算公式：L=n兀R180 扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR2