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空间向量教学讲义空间向量教学讲义 教学内容教学内容 【新授课知识讲解新授课知识讲解】 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注： （1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。 OBOAABab;BAOA OBab;()OPaR 运算律：加法交换律：abba 加法结合律：)()(cbacba 数乘分配律：baba )( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。 当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2） 共线向量定理： 空间任意两个向量a、b（b0） ，a/b存在实数 ， 使ab。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量, a b不共线，p与向量, a b共面的条件是存在实数, x y使pxayb。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzc。 若三向量, ,a b c不共面，我们把 , , a b c叫做空间的一个基底，, ,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设, , ,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOC。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组( , , )x y z，使zkyixiOA，有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作( , , )A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 , , i j k表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： 若123( ,)aa a a，123( ,)bb b b，则112233(,)abab ab ab， 112233(,)abab ab ab，123(,)()aaaaR， 1 12 23 3a baba ba b， 112233/,()abab ab abR， 1 12 23 30ababa ba b。 若111( ,)A x y z，222(,)B xy z，则212121(,)ABxx yy zz。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （4）模长公式：若123( ,)aa a a，123( ,)bb b b， 则222123|aa aaaa，222123|bb bbbb （5）夹角公式：1 12 23 3222222123123cos| |aba ba ba ba babaaabbb。 （6）两点间的距离公式：若111( ,)A x y z，222(,)B xy z， 则2222212121|()()()ABABxxyyzz， 或222,212121()()()A Bdxxyyzz 7. 空间向量的数量积。 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量, a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb， 则A O B叫做向量a与b的夹角， 记作, a b； 且规定0, a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。 （2） 向量的模： 设OAa， 则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模， 记作：|a。 （3）向量的数量积：已知向量, a b，则| | cos,aba b叫做, a b的数量积，记作a b，即a b| | | cos,aba b。 （4）空间向量数量积的性质： |cos,a eaa e。0aba b。2|aa a。 （5）空间向量数量积运算律： ()()()a ba bab。a bb a（交换律） 。 ()a bca ba c （分配律） 。 【典型例题典型例题】 1.在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，设ABa a，ADb b，AA1c c，则a a(b bc c)的值为( ) A1 B0 C1 D2 2.(2012太原高二期末)设空间有四个互异的点A，B，C，D，已知(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC是( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 3.已知i i、j j、k k是两两垂直的单位向量，a a2i ij jk k，b bi ij j3k k，则a ab b等于_ 4.已知|a a|2，|b b| 2，且a a与 2b ba a互相垂直，则a a与b b的夹角大小为_ 5.已知|a a|3 2， |b b|4，m ma ab b，n na ab b，a a，b b 135，m mn n， 则_ 6.已知空间向量a a，b b，c c两两夹角都是 60，其模都是 1，则|a ab b2c c|_ 【典型例题典型例题】 1.已知a a(1，2，1)，a ab b(1，2，1)，则b b等于( ) A(2，4，2) B(2，4，2) C(2，0，2) D(2，1，3) 2.已知i i，j j，k k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且ABi ij jk k，则B点的坐标为( ) A(1，1，1) B(i i，j j，k k) C(1，1，1) D不确定 3.已知空间三个向量a a(1，2，z)，b b(x，2，4)，c c(1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x_，y_，z_ 4.已知ABC的三个顶点为A(3，3，2)、B(4，3，7)、C(0，5，1)，M为BC的中点，则|AM|_ 5.已知向量a a(4，2，4)，b b(6，3，2)，则下列结论正确的是( ) Aa ab b(10，5，6) Ba ab b(2，1，6) Ca ab b10 D|a a|6 6.(2012武汉高二检测)已知向量a a(2，3，5)与向量b b(4，x，y)平行，则x，y的值分别是( ) A6 和10 B6 和 10 C6 和10 D6 和 10 7.向量a a(2，3， 3)，b b(1，0，0)，则 cosa a，b b( ) A0 B.12 C.22 D.32 8.(2012台州高二期末)已知a a(2，1，1)，b b(1，4，2)，c c(，5，1)，若向量a a，b b，c c共面，则_ 9.已知空间四点A、B、C、D的坐标分别是(1，2，1)，(1，3，4)，(0，1，4)，(2，1，2)，若p pAB，q qCD. 求(1)p p2q q；(2)3p pq q；(3)(p pq q)(p pq q) 10.已知a a(cos， 1， sin)，b b(sin， 1， cos)， 则a ab b与a ab b的夹角是( ) A90 B60 C30 D0 11.已知a a(1t，1t，t)，b b(2，t，t)，则|b ba a|的最小值是( ) A.55 B.555 C.3 55 D.115 12.已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PAAB，PAAC，则点P的坐标为_ 13.已知向量a a(1，3，2)，b b(2，1，1)，以及点A(3，1，4)，B(2，2，2) (1)求|2a ab b|； (2)在直线AB上是否存在一点E，使OEb b(O为原点) 【题型介绍题型介绍】 这章学习的内容是在平面向量的基础上进一步去学习的，在高考也是重点内容，固定一道大题，外加不定的选择和填空题，所以学好这章极为重要。 【课堂训练课堂训练】 1.设直线l1的方向向量为a a(2，1，2)，直线l2的方向向量为b b(2，2，m)，若l1l2，则m( ) A1 B2 C3 D3 2.已知线段AB的两端点的坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与哪个坐标平面平行( ) AxOy BxOz CyOz DxOy与yOz 3.设O为坐标原点，OA(1， 1， 2)，OB(3， 2， 8)， 则线段AB的中点P的坐标为_ 4.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OMxOA13OB13OC，则x的值为_ 5.设两条直线所成角为(为锐角)，则直线方向向量的夹角与( ) A相等 B互补 C互余 D相等或互补 6.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)、B(2，5，1)、C(3，7，)，若ABAC，则等于( ) A28 B28 C14 D14 7.l1的方向向量为v v1(1，2，3)，l2的方向向量v v2(，4，6)，若l1l2，则等于( ) A1 B2 C3 D4 8.已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v v1和v v2，若 cosv v1，v v212，则l1与l2所成角为_ 9.若ABCDCE(，R R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_ 10.已知A(2，1，0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，1，2)，求点B的坐标 11.已知直线l1的方向向量a a(2，4，x)，直线l2的方向向量b b(2，y，2)，若|a a|6，且a ab b，则xy的值是( ) A3 或 1 B3 或1 C3 D1 12.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1， 侧棱长为 2， 则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是( ) A90 B60 C45 D30 13.已知直线l的方向向量v v(2，1，3)，且过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则y_，z_ 14.已知正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1平面ACD1. 【巩固巩固训练训练】 1.若 n(2， 3， 1)是平面 的一个法向量， 则下列向量中能作平面 法向量的是( ) A(0，3，1) B(2，0，1) C(2，3，1) D(2，3，1) 2.若平面 与 的法向量分别是 a(1，0，2)，b(1，0，2)，则平面 与平面 的关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法判断 3.平面 ，的法向量分别为 m(1，2，2)，n(2，4，k)，若 ，则 k 等于_ 4.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的单位法向量坐标为_ 【巩固巩固训练训练】 1.若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 u(4，0，8)，则( ) Al Bl Cl Dl 与 斜交 2.已知平面 上的两个向量 a(2， 3， 1)， b(5， 6， 4)， 则平面 的一个法向量为( ) A(1，1，1) B(2，1，1) C(2，1，1) D(1，1，1) 3. 如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，平面 A1ACC1的一个法向量可以是( ) A.BC B.A1B1 C.BB1 D.BD 4.已知 l， 且 l 的方向向量为(2， m， 1)， 平面 的法向量为1，12，2 ， 则 m_ 5.在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，DC 的中点，则AE与平面 A1D1F 的关系为_ 6. 如图，ABCD 是直角梯形，ABC90，SA平面 ABCD，SAABBC1，AD12，求平面 SCD 的一个法向量 7.已知平面 过点 A(1，1，2)，法向量为 n(2，1，2)，则下列点在 内的是( ) A(2，3，3) B(3，3，4) C(1，1，0) D(2，0，1) 8.(2012 杭州高二检测)直角三角形 ABC 的直角边 AB 在平面 内，其中B 为直角，顶点 C 在 外，且 C 在 内的射影为 C1(C1不在 AB 上)，则ABC1是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上都有可能 9. 如图所示，已知矩形 ABCD，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_ 10.在四棱锥 P- ABCD 中，已知 PA平面 ABCD，PBA60，底面 ABCD 是直角梯形，ABCBAD90，ABBC12AD. 求证：平面 PCD平面 PAC. 【课堂回顾课堂回顾】 1了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理. 2理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算. 【课后作业课后作业】 1.平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 2 倍，则斜线与平面所成角的大小为( ) A30 B60 C45 D120 2.若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于( ) A120 B60 C30 D以上均错 3.若平面 的一个法向量为 n(3，3，0)，直线 l 的一个方向向量为 b(1，1，1)，则l 与 所成角的余弦值为_ 4.在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，BD1与平面 A1B1C1D1所成角的正切值为_ 5.直线 l 与平面 所成角为6，直线 m 在平面 内且与直线 l 异面，则直线 l 与 m 所成角取值范围为( ) A6，2 B0，6 C3，2 D6，56 6.正方体 ABCD- A1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23 D.63 7.AB平面 于 B，BC 为 AC 在 内的射影，CD 在 内，若ACD60，BCD45，则 AC 和平面 所成的角为( ) A90 B60 C45 D30 8.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a(0，2，1)，b( 2， 5， 5)，那么这条斜线与平面的夹角为_ 9.已知空间四边形 ABCD 各边和对角线的长都相等，那么 AC 与平面 BCD 所成角的正弦值为_ 10.正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 11.正方体 ABCD- A1B1C1D1中， O 为侧面 BCC1B1的中心， 则 AO 与平面 ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.12 C.66 D.32 12. 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且 PAADAB2BC，M、N 分别为 PC、PB 的中点，则 BD 与平面 ADMN 所成的角 为( ) A30 B60 C120 D150 13.等腰 RtABC 的斜边 AB 在平面 内，若 AC 与 成 30角，则斜边上的中线 CM与平面 所成角的大小为_