理论力学第十二章 动能定理课件.ppt

动能定理,maC = F1 - F2 - Fr,从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力,F1 F2 Fr,汽车向前行驶,是否摩擦力使汽车的动能增加？,动力学,从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法,动力学,什么力使运动员的动能增加？,运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？,动力学,什么力使自行车的动能增加？,什么力使自行车的速度增加？,121 力的功 122 质点和质点系的动能 123 动能定理 124 功率 功率方程 125 势力场 势能 机械能守恒定理 126 动力学普遍定理及综合应用,第十二章 动能定理,动力学,动力学,12-1 力的功,力沿路程累积效应的度量，使物体的机械能增加。,一、常力沿直线路径作功,功是代数量,单位：J (焦耳), 1J1 Nm,力的功,元功,二、变力在曲线运动中的功,记,力 在 路程上的功为,三、合力的功,动力学,（直角坐标表达式）,力 在 路程上的功为,1、重力的功,质点系,由,重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。,得,四、几种常见力的功,质点,2、弹性力的功,弹簧刚度系数k(N/m),弹性力,弹性力的功为,因,式中,得,即,弹性力的功只与弹簧初始和末了的位置的变形量有关，与路径无关,3. 定轴转动刚物体上作用力的功,则,若 常量,由,从角 转动到角 过程中力 的功为,力系全部力的元功之和为,4. 平面运动刚体上力系的功,当质心由 ,转角由 时,力系的功为,即:平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.,5、 理想约束力作功,动力学,(1)对于光滑固定面,约束力做功之和等于零。,(2)不可伸长的绳索,W=0,约束力作功之和等于零,约束力不作功,(5)光滑铰链(中间铰链),(6)刚性二力杆,(4)固定端约束,(3)光滑铰链支座,动力学,一对约束力做功之和为零,动力学,摩擦力作负功,纯滚不滑时，滑动摩擦力不作功。,(7) 摩擦力做功,滑动摩擦时,当轮子在固定面上时，纯滚不滑,W=-Fs S,纯滚不滑时，接触点也是理想约束。,动力学,6、内力做功,a、当两点之间的相对位置发生变化时，内力做功,汽车发动机的气缸内膨胀的气体对活塞和气缸的作用力都是内力，但内力功的和不等于零。,内力的功使气车的动能增加。,二者都是运动员跑步前进的驱动力。,动力学,脚底与地面之间的摩擦力不作功,小腿的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功，,b、刚体所有内力作功的和,等于零,使运动员的动能增加。,动力学,1、物体的质量为M，与斜面间的动摩擦系数为f，弹簧刚度为K。当弹簧处于原长时，物体沿倾角为的斜面向下移动了距离S，求在此位移中各力所作的功。,动力学,2、高4米、宽3米的木箱的质量为M，绕其棱边E翻倒，问在此过程中重力何时做正功？何时做负功？重力做得总功如何？,动力学,3、弹簧原长为R，O端固定，另一端由B处拉到A处，求弹力作功。,12-2 质点和质点系的动能,动力学,瞬时量，与速度方向无关的正标量,物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。,一、质点的动能,二、质点系的动能,质点系内各质点动能的算术和,(1) 平动刚体的动能,动力学,三、刚体的动能,动力学,(2) 定轴转动刚体的动能,(3) 平面运动刚体的动能,JPJC + md 2,平面运动刚体的动能=,动力学,+绕质心转动的动能。,随质心平动的动能,例1：连杆结构如图所示，OA=AB=BD=l。质量均为M。若OA绕O轴以匀角速度转动,求系统的动能.,动力学,T = TOA +TDB+TAB,vC = vA = l ,动力学,例2 牢记均质圆盘在地面上或斜面上作纯滚动时的动能:,动力学,动力学,例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。,P,I为AB杆的瞬心,动力学,例4： 行星轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为M，且以角速度运动。R为定齿轮 O 的半径，动齿轮A 的半径为 r，质量为 m。求系统的动能。,T = TOA +TA,vA= (R+r) = r A,动力学,运动分析,练习1、均质圆轮的质量为M，半径为R；杆的质量为M，杆长L。计算各物体的动能。,动力学,2、滑块的质量为m1，在水平滑道内以V速度匀速滑动。杆的质量为m2，杆长为L，杆绕铰点A匀速转动，转动角速度为，求当杆与铅垂线的夹角为时系统动能。,动力学,3、曲柄OA长为R，重为P，以匀角速度转动。三个均质圆轮各重W，求系统的总动能。,动力学,4、履带行走机构中，履带的总重量为P；二轮共重Q，半径为R，视为均质圆盘。二轮的间距为R，车的前进速度为V，求系统的动能。,动力学,5、均质杆的质量为M，杆长为L，匀角速度转动，求动能。,动力学,6、均质圆轮的质量为M，半径为R，求动量、动量矩、动能。,动力学,1、质点的动能定理,质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。,动力学,12-3动 能 定 理,Ma=F,微分形式,在质点运动的某个过程中，,动力学,积分形式,质点动能的改变量,=作用于质点的力作的功。,2、质点系的动能定理,设第i个质点的质量为mi，速度为vi,动力学,质点系动能定理的微分形式,质点系动能的微分,=作用在质点系上所有力所作的元功之和。,质点系在某一运动过程中,动力学,质点系动能定理的积分形式,在理想约束的条件下：,起点和终点的动能的改变量,=作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。,动力学,问题,将摩擦力、弹性内力等非理想约束的约束反力划入主动力计算力的功。,已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。,求:O走过S路程时圆盘的角速度、角加速度及盘心的加速度。,圆盘速度瞬心为C ,解:,将式(a)两端对t求导,并利用,得,已知:m, h, k, 其它质量不计.,求:,解:,已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ; ,M 为常力偶。,求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度,轮C与轮O共同作为一个质点系,解:,式(a)是函数关系式，两端对t求导,得,例4 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。,动力学,动力学,运动分析,动力学,受力分析,动力学,例5 重物A和B通过动滑轮D和定滑轮而运动。设重物A和B的质量均为m，滑轮D和C的质量均为M，且为均质圆盘。重物B与水平面间的动摩擦系数为f ，绳索不能伸长，其质量忽略不计。如果重物A开始时向下的速度为v0，试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。,动力学,系统动能,受力分析,动力学,例6 ：均质杆质量m10 kg，长度l60 cm，两端与不计重量的滑块铰接，滑块可在光滑槽内滑动，弹簧的弹性系数为k360 N/m。在图示位置时系统静止，弹簧的伸长为20 cm。然后无初速释放，求当杆到达铅垂位置时的角速度。,动力学,动力学,运动分析,动力学,已知: , 均质;杆m均质, =l , M=常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止.,求: 转过角的,研究整个系统,解:,式(a)对任何均成立,是函数关系,求导得,注意:轮、接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.,例1 一长为l，质量密度为的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。,动力学,动力学,例7 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,动力学,动力学,设向下位移S时滑块B的速度为v,动力学,受力分析,例8：均质圆柱体重为P,半径为r，其中心O绞接一重为Q的均质直杆OA，放在倾角为的斜面上，轮子只滚不滑，OA杆的A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离S时圆柱体中心点的速度与加速度。,动力学,动力学,O,A,S,设下滑距离S时轮心的速度为v,OA=0,T1=0,动力学,O,A,S,T2-T1=W,受力分析,T1=0,例9 已知： m ，R, f ， 。求纯滚动时盘心的加速度。,动力学,设圆盘中心向下产生位移 s时速度达到vc。,T2-T1=W,动力学,受力分析,例11 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力P时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，无相对滑动。,动力学,动力学,P,运动分析,动力学,系统动能,动力学,受力分析,例12 两根完全相同的均质细杆AB和BC用铰链连接，每根杆重P10 N，长l1 m，一弹簧常数k120 N/m的弹簧连接在两杆的中心。假设两杆与光滑地面的夹角q 60时弹簧不伸长，一力F10 N作用在AB的A点，该系统由静止释放，试求q 0时AB杆的角速度。,动力学,动力学,运动学分析,A,动力学,受力分析,K,T 2 -T 1 =W,动力学,例 13：已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。求轴的角加速度。,动力学,动力学,动力学,小结,1、动能定理最适于已知主动力、求运动；,2、求速度宜用动能定理的积分形式；,3、动能定理方程中不出现理想约束反力，使解题过程大为简便。,4、动能定理只适用于单自由度系统。,求速度、加速度或运动微分方程。,求加速度或建立运动微分方程时应求导。,练习1、鼓轮重为P，可在铅垂平面内绕轴O转动，对转轴的回转半径为。小车的总重量为Q，沿倾角为的斜面向上运动。当鼓轮上作用有不变的力矩M时将小车提升。求小车由静止开始沿斜面上升距离S时的速度。,动力学,2、行星齿轮机构位于水平面内，曲柄OA可视为均质杆，质量为m、长为L，受到不变的扭矩M的作用而绕轴O转动。由曲柄带动轮1在轮2上纯滚。轮1的质量为m1，半径为r1，视为均质圆盘。求曲柄由静止转过n圈时的角速度与角加速度。,动力学,3、重为P1的物体垂直下落，带动滑轮A及具有固定转轴的鼓轮B和齿轮C，并使重为P2位于水平面上的齿条DE运动。鼓轮的半径为r1,齿轮的半径为r2。鼓轮和齿轮对轴O的转动惯量为J，齿条的长DEL。初瞬时，齿轮和齿条在D点相切。求齿轮和齿条在E点相切时，物体的速度和加速度。,动力学,4、小车A的质量为m，沿倾角为的斜面上升；定滑轮C的质量为m，半径为r；动滑轮B的质量为m，半径为r；物体D的质量为m。系统由静止开始运动，求小车A的加速度与AC段绳的张力。,动力学,5、均质圆柱体A的质量为m，半径为r，沿倾角为的斜面纯滚。物块B的质量为m，与斜面间的动摩擦系数为f。AB杆的质量不计，求物块B的加速度与杆的受力。,动力学,6、圆轮A的质量为m1，半径为r。物块B的质量为m2，沿倾角为的斜面向上运动。物块与斜面间的动摩擦系数为f。在圆轮上作用一常力偶M使物块沿斜面上升。初瞬时系统静止。求物块上升的速度与加速度。,动力学,7、均质滚子A的质量为M，半径为R；定滑轮B的质量为m1，半径为r，视为均质圆盘。物体C的质量为m2。初瞬时系统静止。求物体C下降的加速度。,动力学,8、初瞬时系统静止，弹簧处于原长。求：当A物体沿倾角为的斜面向下滑动距离S时A物体的速度与加速度。,动力学,9、均质圆柱体C的质量为m1、半径为r1，沿倾角为的斜面向上纯滚。滑轮B的质量为m2、半径为r2，绕轴B转动。A物体的质量为m3。求A物体下降的加速度,动力学,10、均质圆柱体的质量为m，半径为r，在中间的截面绕以细绳，无初速度释放。求质心下降h时质心的速度、绳的张力。,动力学,11、均质圆盘的质量为m1，半径为r。均质杆的质量为m2，长为L。杆与盘在圆盘的中心A处焊接，在杆与铅垂线成30度角时无初速度释放，求运动到最低点时圆盘中心的速度。,动力学,12、曲柄连杆机构中，曲柄OA重为P1，连杆AB重为P2，滑块B重为Q。OAR，ABL，轴O到滑块滑道的距离为。曲柄受常力偶M的作用。开始时曲柄与B的滑道平行，角速度为0。求曲柄在常力偶的作用下转完第一圈时，滑块B的速度。,动力学,M,13、均质细长杆的长度为L、质量为m1，B端靠在光滑的墙面上，A端与一均质圆柱体铰接。圆柱体的质量为m2、半径为R，放在粗糙的地面上，由图示开始作纯滚。初瞬时AB与水平线的夹角为45度。求运动开始时刻A点的加速度。,动力学,14、物体B的质量为=0.1Kg用一绳系住，C物体的质量为=0.1Kg放在B物体上。A物体的质量为2=0.8Kg，放在有摩擦的水平面上。B、C二物体一起下降S150厘米后通过环D使C物体挡住。以后B物体又下降了S230厘米才停止。系统开始时静止。求A物体与水平面间的摩擦系数。,动力学,12-4功率 功率方程 机械效率,一、功率：,力的功率：,力矩的功率：,功率的单位：,动力学,力在单位时间内所作的功。,功率是代数量，并有瞬时性。,瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。,2、功率方程,功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.,或,机床,机器稳定运行时，,3、机械效率,机械效率,有效功率,多级传动系统,是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。,已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。,求:系统的运动微分方程。,解:,令 为弹簧静伸长，即mg=k ,以平衡位置为原点,12-5势力场、势能、机械能守恒定律,一、势力场,动力学,力作功与运动路径无关。,一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用,质点在势力场中受到的场力,3、有势力(保守力）,1、力场：,2、势力场：,有势力所作的功 用V 表示。,动力学,二、势能,M0作为基准位置，势能为零。,零势能点,势能具有相对性。,动力学,三、几种常见的势能,（1）重力场中的势能,（2）弹性力场的势能,（3）万有引力场中的势能,取零势能点在无穷远,质点系,重力场,（4）质点系受到多个有势力作用,质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置.,质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能.,有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。,在M1位置的势能：,在M2位置的势能：,质点由M1运动到M2有势力的功：,四、有势力的功,动力学,设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则,动力学,系统的动能与势能的代数和。,五、机械能守恒定律,机械能：,在有势力作用下。,保守系统：,质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系统称保守系统.,动力学,“君不见黄河之水天上来，奔流到海不复还”,骑自行车下坡时，有何感觉？,钟表为何嘀嗒不停？,问题,怎样才能使秋千越荡越高？,人在一个周期中应站起、蹲下几次？,人该在哪些位置站起，哪些位置蹲下？,动力学,动力学,谈谈：在此过程中的能量转换,动力学,运动员的重力势能转化为动能。,助跑阶段,身体中的内力做功转化为人和杆的动能；,人体的动能和内力的功转化为人的重力势能和动能,起跳时,使人体升高至横杆上。,越过横杆后,尽量增加踏地的时间,以获得铅锤方向的较大的动量增量；,已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=3.35 N/m .,求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力.,卡住前,卡住后,解:,得,即,由 有,例 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表）。,动力学,受力分析,质心C铅垂下降,机械能守恒,动力学,运动学分析,3、均质细长杆长为L，可在铅垂面内绕轴O转动。问在杆位于铅垂时应在杆的自由端施加多大的速度杆才可到达水平位置。,动力学,4、杆AC、BC的长度相等均为L，质量相同均为m。图示时刻系统位于铅垂平面内，A、B处光滑接触，C处为光滑销钉。初瞬时C离开地面的高度为，由此位置无初速度释放。求C点着地时的速度,动力学,5、铁链长为L，放在光滑的桌面上。下边垂下长为的一段。求铁链全部离开桌面时的速度。,动力学,6、均质杆长为L，质量为m，在光滑的水平面上由铅垂位置无初速度释放。求当重心离地高为h时重心的速度。,动力学,7、均质圆柱体的质量为m，半径为r，在中间的截面绕以细绳，无初速度释放。求质心下降h时质心的速度、绳的张力。,动力学,8、求W1物体下落H时的速度。 m、r、W1、W2已知,动力学,9、均质圆盘的质量为m1，半径为r。均质杆的质量为m2，长为L。杆与盘在圆盘的中心A处焊接，在杆与铅垂线成30度角时无初速度释放，求运动到最低点时圆盘中心的速度。,动力学,10、均质圆柱体A的质量为m，半径为r，沿斜面纯滚。物块B的质量为m，沿斜面间无摩擦向下运动。AB杆的质量不计，求物块B的下滑距离S时物块B的速度。,动力学,11、物体M距离地面高为h时系统处于平衡。现给M一个向下的初速度V0使M恰好到达地面。求V0？（已知：物体M，定滑轮A、动滑轮B的重量均为P，弹簧刚度为K）,动力学,12-6动力学普遍定理及综合应用,动力学,1、质点系动量的计算,2、动量定理, 4、质心运动定理,一、动量定理,擅长 求支座反力,3、动量守恒,5、质心运动守恒,速度守恒,位置守恒,a、质点的动量矩b、质点系的动量矩,动力学,二、动量矩定理,1、动量矩计算,2、刚体动量矩计算,平动定轴转动平面运动,3、质点的动量矩定理及守恒,(2)、质点的动量矩守恒,动力学,(1)、质点的动量矩定理,常矢量。,常量。,4、质点系的动量矩定理及守恒,动力学,(2)、质点系的动量矩守恒, 若，,(3)、质点系相对质心的动量矩定理,(1)、质点系的动量矩定理,常矢量,常量, 5、刚体定轴转动微分方程, 6、刚体平面运动微分方程,动力学,明确构件的运动形式，擅长取单个构件为研究对象,2、质点系的动能,1、力的功, 4、质点系动能定理,动力学,刚体平动,刚体定轴转动,刚体平面运动,三、动能定理,5、机械能守恒,擅长取整体为研究对象 ，求运动量,3、刚体的动能,特别强调,动力学的两大支柱,受力分析,运动学分析,计算动能动量矩动量,计算力的功力矩合力,动力学,例1 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。,受力分析,动力学,定轴转动微分方程,运动分析,=0,动力学,由质心运动定理：,分析质心加速度,例2 重G2=150N的均质圆盘与重G1=60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度,动力学,动力学,（1）分析圆盘的运动,圆盘平动,相对于质心的动量矩定理,动力学,（2）求速度,设到达最低位置B点时的速度为v,T1=0,动力学,已知:均质园轮 m, r, R ,纯滚动.,求:轮心的运动微分方程.,解:,重力的功率,（ 很小）,本题也可用动能定理求解.,动能定理,方程两边对时间求导,已知:两均质轮m ,R ; 物块m ,纯滚动,于弹簧原长处无 初速释放.,求：重物下降h时 ,v，a及滚轮与地面的摩擦力.,解:,将式（a）对t 求导,得,其中,已知: l, m，地面光滑.,求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力.,解：,例：表面光滑的三角块上放重量PA物体，一端通过滑轮悬挂重物PB，当PA下滑时三角块被台阶挡住。求物体作用于地面突出部分的水平压力,动力学,例4：均质直杆AB重P、长2l，一端用长l的绳索OA拉住，另一端B放置在地面上，可以沿光滑地面滑动。开始时系统处于静止状态，绳索OA位于水平位置，而O、B点在同一铅垂线上。求当绳索OA运动到铅垂位置时，B点的速度和绳索的拉力以及地面的反力。,动力学,(1) 运动速度计算.,当绳索OA运动到铅垂位置时,=0,系统动能,T1=0,OB = 1.732l,AB = 0.732l,动力学,外力做功,B,A,动力学,(2) 加速度计算,动力学,O,A,B,C,分析质心加速度,(3) 计算约束反力,B,A,B,C,应用平面运动微分方程,T = 0.846P,N = 0.654P,动力学,受力分析,5：均质杆长l 、重Q，直立在光滑的墙边，由此位置开始运动，求到达任意位置时的角速度、角加速度及A、B两处的反力。不计摩擦。,动力学,B,A,动力学,1、运动分析,动力学,B,A,动力学,加速度分析,动力学,动力学,由质心运动定理,B,A,受力分析,动力学,A物体的质量为m，沿倾角为的斜面运动，与斜面间的动摩擦系数为f。轮O与鼓轮的总质量为m，对轴O的回转半径为，鼓轮的半径为r，轮O 的半径为R。动滑轮C的质量为m/3，半径为r。物体B的质量为m/2。在轮O上作用有常力偶M使物体B上升。求A物体沿斜面运动的加速度、1、2、3段绳的张力、轴承O处反力。,动力学,例6、已知：圆环对铅锤轴的转动惯量J，圆环半径为R。质量为m的小球在圆环内运动。初始时刻 求小球运动到图示 位置时圆环的角速度和角加速度,A,B,系统对AB轴的动量矩守恒,动力学,受力分析,动力学,动力学,1、三棱柱体A沿三棱柱体B的光滑斜面向下滑动，A、B的质量各为、M。三棱柱B的斜面倾角为，与水平面间无摩擦。开始时刻系统静止。求三棱柱B的速度。,动力学,2、三棱柱B的质量为M，与水平面间无摩擦。均质圆柱体A的质量为，半径为R，在三棱柱B的斜面上纯滚，三棱柱B的斜面倾角为。求三棱柱体的加速度。,动力学,3、均质杆AB重为W，长为L。直立在光滑的水平面上。由此无初速度倒下。求杆与水平面成任意角时杆的角速度、角加速度、地面的支持力。,动力学,4、轮A的质量为m1，半径为R；轮B的质量为m2，半径为R。A、B视为均质圆盘。物体C的质量为m3，沿倾角为的斜面运动，与斜面间的动摩擦系数为f。在轮A上作用有主动力偶M使物体C沿斜面上升。求物体沿斜面走过距离S时的加速度、轴承B处反力。,动力学,5、在光滑的半球形容器内壁A点（A点到中心垂线OO1的距离为0）给质点以初速度V0，此初速度位于A点的水平切线上。当质点在容器内滑过B点时（B点低于A点，且到中心垂线的距离为）它的速度与过B点的水平切线成角，求角。,动力学,6、A物体质量m3，滑轮B质量m2，半径为r。圆柱体C质量m1，半径为R。B、C视为均质圆盘。弹簧刚度为K。以不可伸长的绳子相连（绳缠绕在圆柱体C的中部），且绳与B、C间的摩擦不计，各处不打滑，圆柱体在水平面内纯滚。初瞬时弹簧伸长，整个系统由静止状态开始运动。求物体A的加速度以及AB、BC段绳的张力。,动力学,7、A、B各重为P、Q放在光滑的水平面上，弹簧刚度为K，原长L0。现将弹簧拉伸到L，然后无初速度释放，问弹簧回到原长时A、B物体的速度。,动力学,8、无重的杆一端固接一个重为P的小球B，另一端铰接在棱柱A的中心处，棱柱重为Q。系统放在光滑的水平面上。杆长ABL。不计摩擦及小球的半径，求杆摆到铅垂位置时小球B和棱柱A的速度。设开始时刻系统位于水平，且保持静止。,动力学,9、重为Q的小球放在铅垂的环形管内，管固定在支座上，支座放在光滑的水平面上。管与支座的总重量为P，管的半径为R。开始时系统静止，球在管的水平直径的端点A处。试以小球在任意位置处的半径与OA的夹角表示支座在水平方向上的运动速度。,动力学,10、均质直杆的OA的长度为L，可在水平面xoy内绕轴o转动，并驱动一个杆前小球，球与杆的质量相同，均为。开始时刻球离转轴O点很近，同时杆以角速度0转动。所有接触均为光滑。求小球离开杆的A端时的绝对速度以及绝对速度与杆的夹角。,动力学,11、均质圆柱体C的质量为m1、半径为r1，沿倾角为的斜面向上纯滚。滑轮B的质量为m2、半径为r2，绕轴B转动。A物体的质量为m3。求A物体下降的加速度、BC段绳的张力、C与水平面间的摩擦力、轴承B处反力。,动力学,12、均质杆AB的质量为m，二端用平行绳悬挂，绳BD突然剪断。求此时另一绳的张力。,动力学,13、质量为m0半径为R的槽放在光滑的水平面上处于静止状态。有一质量为m的小球(m0=3m)由A处无初速度沿光滑槽滑下，求小球到达槽的最低点B点时小球相对于槽的速度，及槽对球的正压力,动力学普遍定理应用总结,动力学,动量定理,动量矩定理,动能定理,擅长求支座反力,对固定点、对固定轴的动量矩定理；,定轴转动微分方程,刚体平面运动微分方程,擅长取运动明确的单个构件为研究对象,动能定理、机械能守恒定理,擅长取整体为研究对象，求运动量,对质心轴的动量矩定理、动量矩守恒。,质心运动定理、质心运动守恒,动量定理、动量守恒定理；,动力学,4、物体的质量为m，可绕轴O转动。重心C到转轴O的距离为OCa，物体对质心轴C的回转半径为。初瞬时OC偏离铅垂线0角，无初速度释放。求轴承O处反力。,动力学,15、均质直杆长为2L，直立在粗糙的桌面上，下端B位于桌面的边缘，初始时刻杆静止不动，与铅垂线的夹角为=0。受小扰动后绕B点翻倒，求杆离开桌面时的角度以及此时杆的角速度。,