线性系统理论精简版 ——4.系统的可控可观性剖析课件.ppt
,在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出的控制。对于一个单输入单输出系统来说，系统的输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在能控、不能控和能观测、不能观测的问题。现代控制理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就遇到系统的能控性和能观测性问题了。可控性、可观性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。,4.1 可控性和可观测性,如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。,4.1.1 系统的可控性概念,说明1： 系统在时刻 t 的运动状态是由n个状态变量综合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间和不可控状态空间。 因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系统的具体输入u无关。,说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。,说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为 ，如果在的有限时间区间 内，存在控制 使 ，则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。,说明4：如果在时间区间 内存在控制 ，使系统从状态空间坐标原点 推向预先指定的状态 ，则称为状态能达性。可以证明系统能控性与能达性是等价的。,提示：说明3+说明4=任意位置到任意位置,4.1.2 系统状态的可控性判据,判据一：若线性定常系统状态方程 能控，则能控性矩阵满秩。即 反之也成立。判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。 能控性矩阵的秩称为系统的能控性指数，表示系统的能控状态变量的个数。,时变系统y可以用格拉姆矩阵判断，充要条件。复杂。,其它充要判据等价从略,例4-1 考虑由下式确定的系统：,由于：,即U为奇异，所以该系统是状态不能控的。,例4-2 考虑由下式确定的系统：,由于：,即U为非奇异，所以该系统是状态能控的。,判据二：如果A的特征向量互不相同，则经过线性变换将A阵转换为对角阵后，系统可控的充要条件是转换后的状态方程：其输入矩阵 没有一行的所有元素均为零。,每一个方程都有u参与,可见，系统各状态变量之间没有耦合关系，系统相当于n个独立的子系统并联。 输入u(t)对状态变量 是否有控制作用取决于输入矩阵B中第i行的元素是否不全为0，即是否,如果矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。,若输入矩阵中B30,则输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此时，即使中其他行的元素全为0，即B1=0和B2=0，输入u (t)对状态变量x1和x2也可以通过状态变量x3产生间接的控制作用。因此，只要B30 ，输入u (t)对各状态变量都有控制作用。,例4-3 下列系统是状态能控的：,下列系统是不能控的：,4.1.3 系统的输出可控性判据,输出矩阵C qn ， q个输出。,提示：弱于状态可控,例4-5 判断系统状态可控性和输出可控性：,解：,提示：部分状态不可控，但输出可能不涉及那些状态。所以输出仍然可能可控,-,4.1.4 系统的可观性概念,如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限时间的输出测量完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。,提示：号脉,在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑零输入系统。这是因为，状态能否被观测，与有没有输入无关。事实上，非零状态的能量释放（紧张度释放），也同样可以激励所有状态。为简化分析，通常只考虑零输入情形。,4.1.5 系统的可观性判据,判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。其输出向量为由于：将y(t)写为A的有限项的形式，即：,提示：凯莱-哈密顿,或：,显然，如果系统是能观测的，那么在0tt1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定出x(0)。,这就要求nqn维能观测性矩阵的秩为n ，此为判据一。,例4-6 试判断由式,所描述的系统是否为能控和能观测的。,解： 由于能控性矩阵,故该系统是状态能控的。对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于,故该系统是输出能控的。,提示：状态可控一定输出可控,对于能观测性矩阵的秩：,故此系统是能观测的。,判据二：,对角标准型结构为：,类比可控性,可见，若输出矩阵C的第一列的元素不全为0，即C10, 则即使第二列和第三列的元素全为0，即C2=0和C3=0，输出y (t)也包含所有的状态变量，系统是能观测的。,约旦块结构如右图：,例4-7,下列系统是能观测的：,显然，下列系统是不能观测的：,4. 2 可控性和可观性的对偶关系,系统能控性是研究输入u（t)与状态x(t)之间的关系，而能观测性是研究输出y（t)与状态x(t)之间的关系。通过上面的讨论可以看到，能控性与能观测性，无论在概念上还是判据的形式上，都很相似。它给人们一个启示，即能控性与能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是卡尔曼提出的对偶性。,考虑由下述状态空间表达式描述的系统 S1：,现在我们来构造一个系统s2,w,w,s2称为s1的对偶系统；互为对偶。,提示：r 个输入 m 个输出,提示：m 个输入 r 个输出,对偶系统有两个基本特征：* 对偶的两个系统传递函数阵互为转置* 对偶的两个系统特征值相同* 系统s1的能控性等价于系统s2的能观测性；而系统s1的能观测性与系统s2的能控性等价。这就是对偶原理。* 单输入/单输出的能控标准型等价于其对偶系统的能观 标准型,提示：利用对偶原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断。,在动态方程建模、系统可控性和可观测性的判别、系统线性变换等问题上，应用对偶原理，往往可以使问题得到简化。,4. 3 系统结构规范分解,状态空间按照可控可观性可以分解为四个子空间。这个分解过程称为系统的规范分解。通过规范分解能明晰系统的内部结构特性和传递特性，简化系统的分析与设计。,4.3.1 按能控性分解,设n维线性定常系统(A,B,C)是状态不完全能控的，能控性矩阵U的秩为n1，即rankU=n1n，则必存在非奇异线性变换 ，能将系统变换为：,其中，n1维子系统 是能控的，,n-n1维子系统 是不能控的。,提示：不能控的状态方程不体现u的作用。,提示：能控的状态对不能控的状态无贡献；不能控的状态对能控的状态有贡献。,非奇异线性变换矩阵Tc为：式中，列向量T1，T2，Tn1是能控性矩阵U中任意n1个线性无关的列，另外n-n1个列向量Tn1+1，Tn是确保矩阵Tc非奇异的任意n维列向量。,提示：能控性矩阵中只有n1个列线性无关。T是个伪秩U,系统按能控性分解后的结构图如下图所示。从图中可以直观地看出，输入u(t)只对状态分量 有控制作用，对状态分量 没有控制作用。,提示：A12过来的不可控状态影响可以通过u控制消除的。,4.3.2 按能观性分解,设n维线性定常系统(A,B,C)是状态不完全能观测的，能观测性矩阵V的秩为n1，即rankV=n1n，则必存在非奇异线性变换 ，能将系统变换为：,其中，n1维子系统 是能观测的，,n-n1维子系统 是不能观测的。,提示：不能观的状态对y没贡献。,非奇异线性变换矩阵To为：式中，行向量T1，T2，Tn1 是能观测性矩阵V 的任意 n1个线性无关的行，另外n-n1个行向量Tn1+1，Tn 是确保矩阵 To-1 非奇异的任意n维行向量。,系统按能观测性分解后的结构图如下图所示。从图中可以直观地看出，系统的输出信号y(t)中只包含状态分量 ，不包含状态分量 。,4.3.3 按能控性和能观测性分解,设线性定常系统(A,B,C)状态既不完全能控也不完全能观测，则必存在非奇异线性变换，能将系统变换为：,提示：也可先按可观分解，那样B、C矩阵略微调整即可。,系统被分解为四个子系统，即能控且能观测的子系统： 能控不能观测的子系统：不能控能观测的子系统：不能控且不能观测的子系统：,提示：第一项是能控能观对能控不能观的贡献。,系统按能控性和能观测性分解后的结构图如下图所示。从图中可以直观地看出，在系统的输入u(t)与输出y(t)之间只有一条信息传递通道，这条通道只经过能控且能观测的子系统，与系统中不能控的或不能观测的子系统无关。,根据传递函数阵具有不变性，可以求得系统(A,B,C)的传递函数阵为：,可见，系统(A,B,C)的传递函数阵等于能控且能观测子系统的传递函数阵。,这一结论表明，描述系统输入输出特性的传递函数阵只能反映系统中既能控也能观测的部分，是系统的一种不完全描述。 在系统中添加或删除不能控的或不能观测的子系统或状态变量都不会影响系统的传递函数阵。因此，一个传递函数阵可以对应无穷多个状态空间表达式，可以描述无穷多个内部结构不同的系统。,例4-9 已知线性定常系统的状态空间表达式为试将系统按能控性和能观测性进行分解。,解：（1）系统的能控性矩阵为能观测性矩阵为由于rankU=2n，rankV=2n，所以系统是既不完全能控也不完全能观测的。,（2）将系统按能控性分解。 构造变换矩阵Tc为系统按能控性分解为,其中，能控子系统为其能观测性矩阵的秩为因此，能控子系统是不能观测的。 不能控子系统为该子系统是能观测的，不需要按能观测性分解。,提示：能控性状态的能观性指标为1。原系统的能观性指标为2.,（3）将能控子系统按能观测性分解。 构造变换矩阵To1为 能控子系统分解为,提示：x(-) 不可控实际上只有可观部分才传递到可控状态方程。也可以回可控可观分解里面直接确认，1 和-2均不为0，可知是不可控可观。,（4）综合上述分解结果，系统按能控性和能观测性分解为,例4-10 已知线性定常系统的状态空间表达式为试将系统按能控性和能观测性进行分解。,解：根据约当标准型能控性和能观测性判据可以判断各状态变量的能控性和能观测性，其中 x1能控也能观测；x4能控不能观测； x2不能控能观测；x3不能控也不能观测。 将状态变量按照 ， ， ， 的顺序重新排列并整理系数矩阵，可得,系统的结构分解的意义： 有助于更深入地了解系统的结构特性； 有助于更深刻地揭示系统的状态空间表达式与输 入输出描述之间的本质差别，为最小实现问题提 供理论依据。 同时，系统的结构分解也是系统综合时的一种有 用方法。,4. 4 传递函数阵的实现,4.4.1 实现4.4.2 最小实现4.4.3 求最小实现,4.4.1 实现,由传递函数阵（或传递函数）建立系统的状态空间表达式的问题，称为实现问题。1.定义 对于一个给定的传递函数阵G (s)，若某个状态空间表达式(A,B,C,D)满足则称这个(A,B,C,D)是传递函数阵G (s)的一个实现。,2. 传递函数阵的物理可实现性条件 传递函数阵G (s) 的所有元 g ij (s) (i=1,2,m; j=1,2,r)都是s的真有理分式；且分子、分母多项式的系数都是实数。,3. 实现的性质（1）传递函数阵的实现的维数不唯一。 根据系统结构分解理论，传递函数阵只描述系统中能控且能观测的部分。在传递函数阵G (s)的一个实现中添加或删除不能控或不能观测的状态变量，所得到的状态空间表达式仍是传递函数阵G (s)的实现。,（2）传递函数阵的维数相同的实现不唯一。 根据传递函数阵具有不变性，对传递函数阵G(s)的一个实现进行非奇异线性变换，所得到的状态空间表达式仍是传递函数阵 G (s)的实现。,例如4-11,下列状态空间表达式都是传递函数的实现。（1） （2）（3）,1. 定义： 传递函数阵的实现的维数不唯一，其中维数最低的实现称为最小实现。2. 性质： 传递函数阵的最小实现不唯一，但维数唯一，不同的最小实现代数等价（线性变化）。3. 判定方法： 传递函数阵G (s)的一个实现(A,B,C)是最小实现的充要条件是，(A,B,C)是既能控也能观测的。,4.4.2 最小实现,求最小实现的方法：先求出传递函数阵G (s )的一个实现(A,B,C)，通常是先写出能控标准型实现或能观测标准型实现，然后判断是否最小实现。若不是，则进行下一步。(2) 对实现(A,B,C)进行结构分解，所得到的能控且能观测的子系统就是G (s )的一个最小实现。,4.4.3 求最小实现,设单输入-单输出线性定常系统的传递函数为：则其能控标准型实现为： 能观测标准型实现为：,提示：对偶。,设多输入-多输出线性定常系统的传递函数阵为mr维矩阵，即,式中，分母多项式是传递函数阵的特征多项式； 分子多项式的系数矩阵为Bi（i=1,2,n-1）。,则其能控标准型实现为 能观测标准型实现为,提示：r=m时对偶。,例4-12 求下列给定传递函数的能控标准形实现、能观测标准型实现和约当标准型实现。,（1）能控标准型实现为（2）能观测标准型实现为,（3）将给定传递函数按部分分式展开，可得对角标准型实现为可以判断上述三个实现都是给定传递函数G (s)的最小实现。,例4-13 求下列给定传递函数阵的实现。,解：将G (s)写成分式的形式，即可得,可得能控标准型实现的各系数矩阵为,作业 4.1 （1） 、（2）、 （3） 4.2 （1） 4.3 4.6 4.12 4.21 4.22,谢书：3-1 3-3 3-5 3-15 3-17 3-19,
