第3章测量误差与数据处理课件.ppt

3.3 测量不确定度,由于测量误差的存在，被测量的真值是难以确定的，测量的结果也是带有不确定性的。不确定度是误差理论发展和完善的产物，是建立在概率论和统计学基础上的新概念，目的是为了澄清一些模糊的概念和使用。,什么是不确定度测量结果写成如下形式：yNN 其中y代表待测物理量，N为该物理量的测量值， N是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值N不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，是对待测真值可能存在的范围的估计不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值与真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是未知的不确定度的大小可以按一定的方法计算(或估计)出来。,1测量不确定度：表示由于测量误差的影响而对测量结果的不可信程度或有效性的怀疑程度。它是与测量结果相关联的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。 通常用标准差不确定度（u）表示 2 不确定度评定中常用名词（1）标准不确定度：用标准偏差表示的测量结果不确定度。,3.3.1 测量不确定度的基本概念,u N,3.3.1 测量不确定度的基本概念（2）标准不确定度的A类评定：对观测列进行统计分析以评定不确定度的方法。,3.3.1 测量不确定度的基本概念（3）标准不确定度的B类评定： 用非统计分析评定标准不确定度的方法。即根据经验、资料或假设的概率分布来评定标准差，得到标准不确定度。,一般是根据经验或者有关的信息和资料，分析被测量的可能值的区间（-，），并假设被测量的值的概率分布，由要求的置信水平估计包含因子k，则可求出B类标准不确定度B。,例3-2,（4）合成标准不确定度： 由各不确定度分量合成的标准不确定度，称为合成标准不确定度。当结果由若干其它量得来时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度。 （5）扩展不确定度： 扩展不确定度是由合成的标准不确定度的倍数表示的测量不确定度。它用包含因子k乘以合成标准不确定度得到的一个区间半宽度来表示测量不确定度。确定测量结果区间的量，期望测量结果以合理地赋予的较高置信水平包含在此区间内。（6）包含因子： 为获得扩展不确定度，作为合成不确定度乘数的数字因子（亦有称覆盖因子、扩展因子）（7）包含区间： 基于可获得的信息，能赋予某量的值所处的区间，该区间与一定高的概率相联系。(8) 置信水平（包含概率 ）：与包含区间相联系的概率。,3 不确定度的主要来源1). 被测量的定义不完善2). 复现被测量的定义的方法不理想3). 抽样的代表性不够4). 赋予计量标准的值或标准物质的值不准5). 引用的数据或其它参量不准6). 测量方法和测量程序的近似性和假定性7). 测量仪器的分辩力或鉴别力不够8). 对模拟仪器的读数存在人为偏离9). 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善10).在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化,4 .测量不确定度评定方法1).确定被测量和测量方法 测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。2).建立数学模型 所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。 只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。 建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。 如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。,3). 求被测量的最佳估值 不确定度评定时对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之值的最佳估计。4).确定各输入量的标准不确定度 包括不确定度的A类评定和B类评定。5). 确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献 由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。 6).求合成标准不确定度 利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。,7).求扩展不确定度 根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确定度计算扩展不确定度。 8).报告测量结果的不确定度 报告测量不确定度时，必须给出测量结果。最终不确定度的修约是直接进位，而不是舍去。 如下图所示,建立数学模型,求最佳值,B类评定,评定扩展不确定度,列出各不确定度分量的表达式,求出合成不确定度,A类评定,不确定度报告,3.3.4 测量不确度的评定步骤,1.数学表达式 被测量(输出量)y 与各输入量 的函数关系为: 2.求最佳值 (1).求各输入量 的最佳值 1).等精度测量测试条件不变、精度相等的测量。若对某量 进行一系列等精度测量的测得值有: 则其测量结果最佳值为算术平均值,应予修正,2).不等精度测量 在不同的条件下或不同的测量次数下所进行的精度不等的测量。 测量结果最佳值为加权算术平均值 式中: _ 各测量值的权, 与各自方差成反比， c 为系数, 一般取1,(2).求被测量(输出量)y的最佳值1). 函数关系只有一个输入量的直接测量，即 Y=cx x 的最佳值就是y 的最佳值2). 函数关系有几个输入量的间接测量，即被测量y 是通过测量各输入量 而求得 则可： （1）先求出被测量y 的各分量的估计值 , 然后求平均值（2）或先求出各输入量 的最佳值，再求出y的最佳值 3). 对于组合测量，被测量y 需用最小二乘法求出最佳值。,3.不确定度A类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度 (1).求各输入量 的单次测量标准差 随机变量x 在相同条件下进行n次独立测量，其(测量列)标准偏差采用贝塞尔公式计算。式中： 该输入量n次测量的算术平均值 该输入量每个测量值的残差 (2).求各输入量 的算术平均值的标准差 值可作为实验室该测量能力的A类评定值 (测量列)的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差则将随着测量次数的增加而减小。,例 原子吸收法测量某样品的铁含量,测量结果平均值为: 测量列标准差为: 平均值标准差为:,不确定度A类评定几点说明 如果为客户所做的某项测量不是实验室的常规测量，则不确定度的A 类评定应随该项测量实时进行。 但实验室常常是在类似的条件下，用相同的设备相同的方法，在常规基础上做基本类似性质的测量。在这种情况下，通常不需要每次测量都进行A类标准不确定度评定，可以直接引用预先评定的结果。对随机变量x根据n个测量结果的有限样本所估计的标准偏差sest，就是对整体样本的标准差（x）的估计值。 如果随后的测量只作几次测量（典型情况是n3），而且将n次测量的平均值作为结果提供给客户，则应由原先的实验获得的标准差除以次数n的平方根，以求得算术平均值的实验标准差u(x) 。,如果为用户测量只作m次, 则该测量结果A类评定值为：如果为用户测量只作单次, 则该测量结果A类评定值应是原先估计的标准差乘上修正因子, 若k取1，则为：T-分布修正因子如果评定实验室测量能力时, n=10次, 取k=1时, T=1.06; 如果评定实验室测量能力时, n=5次, 取k=1时, T=1.14;,实际测量结果A类评定值必须是测量列标准差除予为用户测量实际的次数m,标准差对应测量次数的修正因子T, 测量列中离群值的剔除 测量过程如果出现突发事件或人为疏忽，测量列中可能出现异常值，它的存在将歪曲测量结果，应予以剔除。判别异常值的方法很多，这里介绍两种。 1.莱因达准则如果测量列中某最大残差 ，则剔除该值重新计算。 2.格拉布斯准则如果测量列中某最大残差 ，则剔除该值重新计算。 取值见下表，n 为测量次数， 为显著性水平，为单次测量标准差。,原子吸收法测量某样品的铁含量,该例中，由15个测量值计算得到单次测量标准差 为0.033%。残差 最大。用莱因达准则判别： ， ，应将第8 测量值剔除，然后对剩下的14个测量值重新计算，直至没有异常值。或用格拉布斯准则判别：取0.05显著性水平， 取值为2.41，则: 显然同样要剔除第8 测量值。 注意: 剔除异常值每次只能剔除一个；测量次数太少时不宜用莱因达准则判别。,各被测量A类标准不确定度评定,如果有几个输入量，也可以先计算输出量合成标准偏差，然后参加标准不确定度合成,4. 不确定度的B类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度可用信息以前的测量数据有关资料与仪器特性的知识和经验制造厂的技术说明书校准或其它证书与技术文件提供的数据引自手册的标准数据及其不确定度规定实验方法的技术文件所给出的重复性限或复现性限.根据经验和有关信息或资料, 先分析该B类不确定度分量的置信区间半宽a,以及包含因子k, 则该分量 为:B类不确定度少不了测量仪器引进的因素,可参考下表计算。,5.合成标准不确定度评定 若测量不确定度具有若干个分量时，则总不确定度应由所有各标准不确定度分量（A类评定和B类评定结果）来合成，称为合成标准不确定度。合成标准不确定度即合成标准(偏)差，由合成方差的平方根给出。根据数学模型可列出各输入量的不确定度分量表达式 ( 1).直接测量的评定对于 的直接测量, 则:如果 ， c为常数，则： C称灵敏系数，说明x 对y 的不确定度贡献率是 倍。,(2).间接测量的评定 1).输入量不相关（彼此独立）的标准不确定度合成 被测量y 是由测量各输入量 求得，设各输入量 相互独立， 则： 式中 为不确定度传播系数或灵敏系数, 用 c表示。含义是输入量xi 的单位变化引起的输出量y的变化量。 不同，各输入量 对输出量y 的不确定度贡献也不同。先求出各个输入量的不确定度分量 ，然后，计算传播系数（灵敏系数），最后计算由此引起的被测输出量y 的标准不确定度分量,) 规则1: 当 加减函数关系，用绝对不确定度 表示比较方便，有：例如: y=(p-q+r)，其中p=6.02， q=6.45， r=9.04; 标准不确定度分别为: u(p)=0.13, u(q)=0.05， u(r)=0.22. 则有 y=6.02-6.45+9.04=7.61)规则2: 当 乘幂函数关系，则可对函数取对数后求偏导，显然用相对不确定度 表示十分方便，有：,例 园形截面积试棒抗拉强度的计算公式为，式中F 是拉力，由万能试验机读数，d 是用园形截面积试棒的直径，不考虑温度效应和应变率效应，求抗拉强度测量结果 的合成标准不确定度。 分析可知，输入量F 和d 互不相关，相关函数r (F，d)0，应用规则2 ，相对合成标准不确定度表示为：,例 y =(op/qr)，其中o =2.46，p =4.32，q =6.38，r =2.99, 标准不确定度分别为: u(o)=0.02， u(p)=0.13， u(q)=0.11， u(r)=0.07.则有:y=(2.464.32)/( 6.382.99)=0.56,)规则3: 在进行不确定度分量合成时，为方便起见，可将原始的数学模型分解，将其变为只包括上述原则之一所覆盖的形式。 如：表达式（x1x2）/(x3 +x4)应分解成两个部分：（x1x2）和(x3 + x4 )。每个部分的临时不确定度用规则1计算，然后将这些临时不确定度用规则2合成为合成标准不确定度。 例： 被测量 ，且各输入量相互独立无关，若已知：x1= 20 ， x2= 80 ， x3 = 40 ， x4= 4 ；u(x1)=0.0 2 ，u(x2)= 0.10， u(x3)= 0.04 u(x4)= 0.003 。 求合成标准不确定度uc(y) 解：先求出 的标准不确定度，因输入量互不相关，采用方和根方法计算：然后再采用方和根方法求被测量 的合成标准不确定度uc(y)：,(2).组合测量的评定 最小二乘法简介 如果两个物理量X、Y存在线性关系，y=a+bx，对X、Y独立测得n对数据（n大于欲求的参数a、b的数目）。由于测量存在误差，如果将这些数据代方程，显然结果是矛盾的。为求得最佳值，根据最小二乘法原理，应是使所有测得值的误差的平方和最小的值。 y=a+bx的误差方程为： 将上列各式两边平方，然后相加，得残差的平方和：,欲使： ，则需使上式对a、b求偏导全为零，即：亦即：和解得：,于是:将a、b值代入误差方程，可求得残差和残差的平方和，y的实验标准差s(y)为：a、b标标准差s(a) 、s(b)为：参数a、b是由同一组测量结果计算得到，两者存在一定的相关性。对等式 （1）两边求方差得：相关系数 r 为：,6. 扩展不确定度的计算方法 测量不确定度的定义注1指出，测量不确定度是“标准偏差或其倍数。或说明了置信水准的区间的半宽度”。也就是说，测量不确定度需要用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即置信区间；另一个是置信概率（或称置信水准），表明测量结果落在该区间有多大把握。 到目前我们仅给出了标准不确定度分量和合成标准不确定度的评定方法，标准不确定度分量的置信概率都比较低。例如服从正态分布的合成标准不确定度的置信概率p68左右，服从矩形分布的合成标准不确定度的置信概率p58左右。为了提高测量的可靠性，需要将置信区间进行扩大，以提供一个较高的置信概率。因此，可将合成标准不确定度uc(y)乘以包含因子（覆盖因子、范围因子）k，以给出扩展不确定度（范围不确定度）U(y)：它并没有提供不确定度的任何新的信息，只是以前不确定度评定所提供的信息的一种不同表示形式。扩展不确定度也可以用相对不确定度表示，通常用表示：,包含因子（覆盖因子、扩展因子）k的选择1).当被测量的Y可能值y及其合成标准不确定度 的概率分布近似为正态分布，且 的有效自由度 较大（ 50）时，在合成标准不确定度 确定后，直接给出相应的包含因子k即可，并按式: 计算扩展不确定度U。 通常取k=23。k=2时，对应的置信概率p=95.45%；k=3时，对应的置信概率p =99.73%。 对于普通的检测和校准实验室，如果没有特殊的要求，通常取包含因子k=2。 2）如果合成不确定度中包含一项占支配地位的分量，这时合成不确定度的概率分布就依占支配地位的分量的概率分布。例为矩形分布，则包含因子应取为k1.65，即U1.65 才对应95的置信水平。,3）如果合成不确定中A类评定的分量占的比重较大，而且作A类评定时重复测量次数n较少，则包含因子k必须用查t分布表获得。 合成标准不确定度 的有效自由度 为；- -分量 为灵敏系数 对于A类评定时，分量自由度一般等于测量次数与被测量个数之差：n-t： 对于B类评定，分量自由度实际上是臆测所估计标准差的可靠性。认为所估计标准差越可靠，则自由度就大；反之亦然。,用相对标准不确定度合成时，有效自由度 为； 显然，这时灵敏系数 为指数4）在实验室的认可申请书中的“申请认可的校准能力范围中”应提供最佳测量能力，即用日常开展校准业务的测量系统校准一个接近理想。,待测样品、仪器的缺陷对测量不确定度的影响最小,合成标准不确定度,有自由度？,取包含因子k一般要求：k=2置信概率取95%,一般按p=0.95，由 查t分布得包含因子 =,扩展不确定度,合成标准不确定度有效自由度： 其中:对于A类评定分量：对于B类评定分量：(u(x)的相对不可靠性）,有,无,5.有效数字及运算规则,数据左起第一位非零数起,到第一位欠准数止的全部数字。,有效数字=准确数字+欠准数位,一、有效数字的一般概念,有效数字来源于测量时所用的仪器。我们的任务是使测量值尽可能准确地反映出它的真实值。有两个特征：,35 36 (cm),3,3位置介于35.7-35.8之间, 可以估计为35.75. 35.7635.77，不妨取35.76cm。,估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。,有效数字的特点,（1）位数与单位变换或小数点位置无关。,35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km,（2）0 的地位,0.0003576 3.005 3.000 都是四位,（3）特大或特小数用科学计数法,二、有效数字的读取,进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有效数字的方法大致归纳如下：,1、一般读数应读到最小分度以下再估一位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。,2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。,3、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。,5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如在“灵敏电流计研究”中，测临界电阻时，调节电阻箱“ ”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为0.1电阻值只记录到“ ”。,4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。,6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。,三.有效数字的运算规则,准 准 准欠 欠 欠,1加减：与位数最 高者对齐。,2乘除：一般可与位 数最少者相同。,3幂运算、对数（指数）、三角函数(反 三角）不改变有效数字位数。,加、减法,约简,可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。,乘、除法,在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。,多一位的情况,全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。比位数最少者少一位的情况。,有效数字位数与底数的相同,乘方、立方、开方,初等函数运算,四位有效数字，经正弦运算后得几位？,不参与有效数字运算,常数,1. 不确定度的有效数字,一般情况下不确定度的有效数字取一位，精密测量情况下，可取二位。,2. 测量结果的有效数字,测量结果最佳值的有效数字的末位与不确定度首位取齐。,3. 舍入规则： 四舍六入五凑偶,四、舍入法则,当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用1/2修约规则。（1） 需舍去部分的总数值大于0.5时，所留末位需加1，即进。（2） 需舍去部分的总数值小于0.5时，末位不变，即舍。（3） 需舍去部分的总数值等于0.5时，所留部分末位应凑成偶数。即末位为偶数(0、2、4、6、8)，数字舍去；末位为奇数(1、3、5、7、9)，数字入进变为偶数。,修约成4位有效数字3.14159 3.1426.378501 6.3792.71729 2.7174.51050 4.5105.6235 5.6243.21650 3.216,四舍、六入、五凑偶,一、列表法,表1.不同温度下的金属电阻值,物理量的名称(符号)和单位,有效数字正确,6 实验数据处理基本方法,注意:1根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。,2将实验点的位置用符号X或 等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线的名称。,二 作图及图解法,3线性关系数据求直线的斜率时,应在直线上选相距较远的两新点A.B标明位置及坐标A(X1 Y1), B(X2 Y2) 由此求得斜率。,作图法特点: 简单明了。,缺点:有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。,非线性关系数据可进行曲线改直后再处理,因变量,自变量,标度,起点,终点,(4)描点,(5)连线,(6)注解说明,(7)求斜率,当X等间隔变化，且X的误差可以不计的条件下，,将其分成两组，进行逐差可求得：,对于 X ：X1 Xn X2n Y ：Y1 Yn Y2n,三、逐差法,是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。,满足线性关系 y=a+bx,若,最简单的情况:,四、最小二乘法,由于每次测量均有误差，使,在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程 y=a+bx 的方法叫最小二乘法。,假定最佳方程为：y=a0+b0 x，其中a0和b0是最佳系数。残差方程组为：,根据上式计算出最佳系数a0和b0，得到最佳方程为：y=a0+b0 x,最小二乘法应用举例,为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R = a + b t。 表一 电阻随温度变化的关系,3. 写出待求关系式：,数 据 处 理 方 法,五 线性回归（方程法） 根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人为因素影响，也更为明确和快捷,这个过程称为回归分析,函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，利用测量的n对(xi，yi)值，确定系数的最佳估计值。,第二类问题是y和x之间的函数关系未知，需要从n对(xi，yi)测量数据中寻找出它们之间的函数关系式。,只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线性方程的回归问题(或称直线拟合问题),数 据 处 理 方 法,一元线性回归,若已知函数的形式(最佳经验)为 y=a+bx 实验测得数据（xi，yi ）, i=1,2,n,由 n 对（xi，yi ）求a，b,使 (yi)2 最小-最小二乘法 (P7),其中 y = y y = y( a + bx),对应于每一个x值，观测值 y和最佳经验公式的 y 值之间存在一个偏差y,数 据 处 理 方 法,相关系数来判断回归分析的合理性,| - 1， 线性回归是合理的; | - 0， 不宜用线性回归.,其中：,数 据 处 理 方 法,例： 用X射线检查合金铸件，透视电压U与铸件的厚度x的 数据如表，求Ux的经验公式，并作相关性检验。,观察可见，表中x与U呈现比较显著的线性关系,设U=a+bx,解：,(1)计算平均值,(3)相关性检验,(2)回归系数,可见，U与x的线性相关性是很高的。,数 据 处 理 方 法,作业1：,1用测量范围为-50150KPa的压力传感器测量140KPa压力时，传感器测得示值为142KPa，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。,P62页，将例3-1中的数据改成如下，求测量结果,作业2,第2章 作业,作业3：求三角周期信号的傅里叶级数,作业4：测得不同温度下的电阻如表1。试用作图法和最小二乘法两种方法确定电阻随温度变化的关系式。,表1.不同温度下的金属电阻值,