3.4基本不等式优秀教案.docx
3.4基本不等式一第一课时一、教学目标(1)知识与技能：1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；3,初步了解基本不等式的简单运用(2)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点,变式练习的设计可加深学生对定理的理解。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质.(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力一二、教学重点、难点教学重点：1,两个不等式的证明a2.基本不等式的简单运用教学难点：L基本不等式的几何解释e+'，D2.基木不等式的简单运用/三、教学过程b44G/北京在2002年召开了第24届国际数学家大会，其会标是根据我国古代数学家/赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，你能在这个图中找出一些相等和不等关系吗？提问1：我们把“风车”造型抽象成图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的直角边长分别为、b,那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？(ya2-b2,a1+b2).提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？(Z力).提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式：/+功。什么时候这两部分面积相等呢？(当直角三角形变成等腰直角三角形，即=b时，正方形EFGH变成一个点，这时有/+匕2=功)1、一般地，对于任意实数a、b,我们有当且仅当=b时，等号成立。提问4：你能给出它的证明吗？证明：(a-b)?0(当且仅当a=b时，等号成立).a2-2ab+b2O.a?+/21"当且仅当=力时，等号成立)注意强调(1)当且仅当=Z?时，a2+b2=lab特别地，如果4>0房>0,用后和6代替。、h,可得。+2J拓，也可写成疯"2m>08>0),引导学生利用不等式的性2质推导提问5：观察图形，你能得到基本不等式"2J石(。>0力>0)的几何解释2吗？2.我们称"9为a,b算术平均数，而为。,人的几何平均数.2"2疝伍>0力>0)所以基本不等式2也叫均值不等式注意：(1)基本不等式重要变形：a+b2疯(>0,>>0)ab(a>0,b>0)(2)基木不等式使用原则：一正，二定，三相等例1：a,b是正数，a+b=4,求ab的最大值，这时a与b分别等于多少？变形练1：a,b是正数，2a+b=4,求ab的最大值，这时a与b分别等于多少？变形练2：a,b是正数，ab=4,求2a+3b的最小值，这时a与b分别等于多少？变形练3：已知a>O,b>O,ab=a+b+3,求ab的取值范围。变形练4：已知a>O,b>O,ab=a+b+3,求a+b的取值范围。四：课堂小结：L两个不等式的联系和区别crb22abyab(a>0,b>0)2.基本不等式使用原则：一正，二定，三相等五：作业：练习册第79页5、6、8、9附1：基本不等式课时安排：总共4课时第一课时：1.重要不等式与均值不等式及其证明2,均值不等式简单运用第二课时：均值不等式在对勾函数型代数式（x+1/x）及其变形代数式中的运用第三课时：1.均值不等式在b/a+a/b型及其变形的代数式中的运用2.其他综合运用（连续使用均值不等式，巧用“1”等等）第四课时：均值不等式在实际问题中的运用附2：（近几年有关均值不等式的高考题与部分模拟题）1 .（2013年.普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设正实数XMZ满足V-3孙+4V-z=（）,孙1+L-1-则当Z取得最大值时，yZ的最大值为（）A.0B.1C.4d.32 .（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）设a+8=2,>0,则当a=时，_+£!取得最小值.2b3.12014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4加3,高为1机的无盖长方形容器，己知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）4.12014辽宁高考理第16题】对于c>0,当非零实数a,b满足442力+4-c=0,且使2+b最大时，345.F-的最小值为.bc1.12014 高考上海理科第题】若实数x,y满足Xy=I,则/+2y2的最小值为.6.12015高考四川，理9】如果函数Ja）=L（"2）f+（-8）+l（m0,zl0）在区间1,2上单调递22Q1减，则相的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）21.12015 高考陕西，理9】设/（x）=lnx,0<<8,若p=fg）,q=f-），r=g（f（）+S），则下列关系式中正确的是（）A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q+y=J8 .12016高考上海理科第10题】设a>0,b>0,如果关于x的方程组J无解,则a+b的取值范围是一x+by=9 .【黑龙江省大庆第一中学2014届高三下学期第二次阶段考试理6】正项等比数列%中，存在两项使得Jaman=4a,且恁=。5+2即则1+，的最小值是（）A.2B.2C.LD.2361410.【黑龙江哈尔滨第六中学2015届高三下第三次模拟考试理6】若两个正一实数x,y满足一+=1,且不等式Xyx+2<-3机有解，则实数机的取值范围是()4A.(-1,4)B.(-,-l)U(4,+)C.(-4,1)D.(-,0)U(3,+)11 .【黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟理9】设4>O>O,A(l,-2),3QT),C(-,0),若4,B,C三点共线，则,+1的最小值是()abA3+22B,42C.6D.-2(11A12 .【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷(二)理13】已知正实数x,y,z满足2xx+=yz,yz)则的最小值为.13 .(吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟理10)如图所示，已知点G是AABC的重心，过点G作直线与A3,AC两边分别交于M,N两点，且寂=X瓶,丽=y,则x+y的最小值为()CClC4r3A.2B.-C.D.一33414.辽宁省大连市2015年高三第一次模拟考试数学理12】若对Vx,y。+),不等式4axex+y-2+ex-y-2+2恒成立，则实数。的最大值是()2向量而二(L1),CD = (7,7+3),(A)-(B)1(C)2(D)415 .【哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷理16已知> h > 0则/ + * 的最小值是f(x)=ABCD,函数/(x)的最大值为.16 .【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟理1517 .12016湖北华师一附中3月联考14若2乂+4鼻4厕x+2y的最大值是111718.12016安徽安庆二模6已知aXXbX),。+/?=+%,则1+4的最小值为()(A)4(B)22(C)28(D)16
