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概率论与数理统计习题及答案选择题单项选择题1 .以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件4为().(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销”；(B) “甲、乙两种产品均畅销“；(C) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”；(D) “甲种产品滞销”。解：设8='甲种产品畅销'，C='乙种产品滞销'，A=BCA=BC=BUC=，甲种产品滞销或乙种产品畅销、选C。2 .设4,8,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是()o(A) (A-B)UB=AU8;(B) (AUB)-B=A:(C) (A)-AB=ABAB;(D) (AUB)-C=(A-C)U(B-C)0解：(A-B)UB=4B=()(BUB)=A对。(A(JB)-B=(AJB)B=AB(JBB=AB=A-BAB不对(AUB)-48=(A8)U(B-A)=4与。对/.选B.同理D也对。3 .若当事件AB同时发生时，事件。必发生，则().(A) P(C)P(A)+P(B)-I;(B) P(C)P(A)+P(B)-I;(C) P(C)=P(A8);(D) P(C)=尸(AU8).解：ABUC=P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(A)+P(B)-I.选B。4 .设P(A)=q,P(B)=b,P(AJB)=ct则P(AB)等于()。(A)a-b;(B)c-b;(C)a-b)；(D)b-ao解：P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=a-P(A)-P(B)+P(AJB)=c-b选B。5 .设A,8是两个事件，若尸(A8)=0,则()。(A)A3互不相容；(B)AB是不可能事件；(C)P(A)=O或尸(8)=0;(D)AB未必是不可能事件。解：P(AB)=OAB=0.选D.6.设事件AB满足AB=0,则下列结论中肯定正确的是()o(A)A98互不相容；(B)A9与相容；(C)P(AB)=P(A)P(B);(D)P(A-B)=P(A)o(8zV)d+(8V)d=(8VV)<-(HzV)d+(8V)<=(8Wn8'V)do=(szviv)d<=o=zvV)d<=(alV)J+(fflV)J=(fflV,y)J-(fflV)J+(fflV)J=(81Vv)d:l蝴(zVS)d(zV)d+(VIff)J(V)J=()J(Q):(ff15V)J+(ffIV)J=(5vV)<0)：(ffV)J+to'v)j=(ffVffV)<z(8)UfflV)J+IV)J=IVV)<(V)()著朝)坐¥舍卜£，将<(fflV)J+(fflV)J=(fflVV)JT0<(V)J(V)<tl>(ff)J>O。策.刹等理墨誉中 (v)< 等。至里老一”睥羊三典(。)(g)dz标="，(8 I V)d < (V)J:掷(O)()孽将0<(8)d(8)(SV)d=(V)d(V)(SV)d>(V)d'书章Ufel耆SH黎,01OV黎:(V)d=(gnw)dUW=8V<=Vnq:棚o(V)J-()J=(v-Sr)J()(Sr)J=(V)J(O)f(v)d= (gv)d (a):(V)J= (flrV)</ (V)°()著的的下小¥手旅，师'Wn8百'物聿条HV祺,6.。策。邨文师殳'(sr)dr-(v)d=(g-w)</期guv呆单g。黠8kV'=W<A0=(V)dr甲I=(S)d+(V)J=(8F)d-(8V)JU(8V)d-(g)d+(V)J=(8nv)d：加'(ff)d-(V)d=(ff-V)(f(Q)H=(flr)j+(V)Jtl=(ffV)<f-(ffV)d(0):题辟叱互8V'(8)(+(V)C=(8W)(呆(8):招聿羽上叱著F碰'O=(V)H冬(V),()著由蜘于'小班号修，,8。案V(S)d(V)d=(9V)d:(8)0-(ff)d(V)d-(8W+(SV)d=(H)卅TGd()J-l)(fir)JU=(gy)d+(ar)c-(v)<【)(8)/+(sr)j-D(sw)<(s)d-(Gd(s)d-(Gd(Gd(H)J1=1=1=:她(8W)dT(HV)JV)<(SV)d(av)d(SV)d专靴互呼OH(Q):至双叱8婚(0):专打条互g'v(a):过辟文互gv(V)()wt=(firly)j+(srlv)c/t>(sr)c>o¾,l.。聃(v)<=(SrV)J-(V)J=-v)<.0冬冬-叱(s)d(w)dwto=(sv)d=sv°黠8=gpE=&'g=P°W±v.鬲呼回工|®®I.选B.解2：由PAU45=P(A5)+P(43)得P(1B(JAB)P(A,B)+P(A2B)P(B)-=P(B)可见P(AlBUA2B)=P(AiB)+P(A2B)选B.12 .假设事件AB满足P(BIA)=1,则()。(A)8是必然事件；(B)P(B)=I;(C)P(A-B)=O;(D)AuB。解：P(BIA)=黑)=InP(A3)=P(A)=P(A)-P(AB)=0=P(A-B)=O选C。13 .设A,8是两个事件，且Au3,P(B)>0,则下列选项必然成立的是()。(A)P(A)<P(A);(B)P(A)P(A);(C)P(A)>P(A);(D)P(A)P(A)0解：P(AlB)=P(AB)丝P(A)C)P(B)P(B)AUB=P(A)P(B)OVP(B)Vl/.选B(或者：AB,P(A)=P(AB)=P(B)PAB)P(AB)14 .设P(B)>0,A，4互不相容，则下列各式中不一定正确的是()o(A) P(AA2|8)=0;(B) P(AB)=P(1|B)+P(A2IB);(C) P(A&|8)=1;(D) P(AUA2B)=1.解：P(AA2)=()uVAj2=P(A4="优=0P(A UA2IB) = P(A1 I B) + P(A2 I B) - P(Ai A2 B)= P(1 I B) +P(A2IB)P(AA2B) = P(A U&IB)=I-P(A UAIB)= 1-P(A B)-P(B)1P(A u4 8) = P(瓦18)=1 -P(AdH)=I-O=IA对。B对。C错.D对。/.选C.15 .设A,3,C是三个相互独立的事件，且OVP(C)V1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()o(A)IU，与C;(B)衣与乙；(C)A-8与(D)而与3。解：Pf(AB)C=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(1-P(A)(I-P(B)P(C)=1-(P(A)+P(B)-P(A)P(8)P(C)=P(XU)P(C)A对.P(ACC)=P(AUC)C=P(AC(JCC)=P(AC)+P(C)-P(AC)=P(C)P(AC)P(C).而与3不独立.选B.16.设A8,C三个事件两两独立，则AB,C相互独立的充分必要条件是().(A)A与3C独立；(B)AB与AUC独立；(C)AB与AC独立；(D)AUB与AUC独立。解：A,8,C两两独立，.若A8,C相互独立则必有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)/.4与BC独立。反之，如A与BC独立则P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)：.选A.17 .设A,8,C为三个事件且AB相互独立，则以下结论中不正确的是().(A)若P(C)=1,则AC与BC也独立；(B)若P(C)=1,则AUC与8也独立；(C)若P(C)=1,则A-C与A也独立；(D)若CuB,则A与。也独立.解：P(AB)=P(A)P(B),P(C)=I概率为1的事件与任何事件独立.AC与BC也独立。A对.P(AC)B=P(AC)B=P(ABUBC)=P(AB)+P(BC)-P(ABC)=P(AC)P(B)/.B对。P(A-C)A=P(ACA)=P(AC)=P(A)P(C)=P(A)P(AC)C对选D(也可举反例).18 .一种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为P,第二道工序的废品率为P2,则该零件加工的成品率为().(A)I-PI-P2；(B)I-PlP2；1-P1-p2PPz»(D)(l-p1)+(1-p2).解：设4=成品零件，A二第，道工序为成品i=L2.P(A)=I"P(A2)=I-P2P(A)=P(AA2)=P(A)P(A2)=(I-P1)(I-P2)=I-A-p2+p1p2选C。19.设每次试骏成功的概率为MOVP<1),现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为()o(A)C；)p4(l_p)6；(B)p4(l-p)6;(C)C；p4(l-p)5；(D)C；p3(l-p)6.解:说明前9次取得了3次成功J第10次才取得第4次成功的概率为C3(l-p)6p=Cp4(I-P)6选B.20.设随机变量X的概率分布为P(X=&)=历1«,2=1,2.,>0,则()o(A)(C)/1为任意正实数;(B)2 = Z? + 1;(D)8881M：EP(X=K)=Eb/=b£¥=b4A=IJt=Ik1-选C. =1+Z?21 .设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为/(x)和尸(x),则下列各式正确的是().(A)O(x)l;(B)P(X=X)=/(x);(C)P(X=x)=F(X);(D)P(X=x)F(x).解：F(x)=P(Xx)P(X=x).选D.22 .下列函数可作为概率密度的是()。(A) /(x)=ew,xwR；(B) f(x)=-l-tR;(1+X)-J-x>0("O)=石，,，、1,(D) /(X)= X1,x>l.O,x<O;解：A：xe-=2fedx=2fexdx=2：.错.J-OOJOJOCfmdX1,-wor1B：-=arctanX=+=1j-(1+x2)UO22且/()=!0xeR：.选B.(+x2)23.下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是()o(A)F(x) = -r;1 + j(C) F(X) = .如O .(B)F(x)=+arctanx;2x>0x0;(D)F(x)=f'f(t)dt,其中ff(t)dt.J-cJf解：对A：0<产(x)l,但尸(X)不具有单调非减性且F(y)=0.A不是。对B ： arctan x< 22由arctanx是单调非减的L/ 、11/ 九、C产(-8)=+(-) = 02 2产(X)具有右连续性。.*.O F(x) 10尸。)是单调非减的。F(+) = F = 1.2 2选B。24 .设,X?是随机变量，其分布函数分别为乐(幻，F2(X)f为使尸(X)="；(X)-b巴(幻是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取().3(A)a=-,b=2一922(B)«=-,b=-5533(C)a=,h=39(D)a=,b=-.2222解：F(-oo)=aFx(-)-bF2(-)=O,Z7(÷)=一匕=1,只有A满足.,选A25 .设随机变量X的概率密度为/(x),且/(-%)=f(x),尸(X)是X的分布函数，则对任意实数。有().(A) F(-d)=1-f(x)dx;(B) F(-6r)=-J(x)6ir;(C) F(-a)=Fa);(D) F-a)=2F(d)-.解：F(-a)=afxdx=-°f-)du=fuduJ-<cJ+00Jafecaf0ra=f(x)dx-jf(x)clx=-(f(x)dx+f(x)dx)=I-H；/(Xa=H：/(XMx+<c广+xco广OI由J,/(X)公=2JOfx)dx=ofxdx=fxdx=-：.选B。26.设随机变量XN(1,22),其分布函数和概率密度分别为/(X)和/(x),则对任意实数X,下列结论中成立的是().(A) F(x)=1-F(-x);(B) /(x)=f(-x);(C) F(l-x)=l-F(l+x);(D)I2)I2)解：.XN(1,22)./(幻以X=I为对称轴对称。.P(X>1+)=P(X1-x)即F(l-x)=l-P(Xl+x)=l-F(l+x)选C。27.设XN",42),YN(,寸),设P(X一4)=p,P(Y+5)=p2f则()。(A)对任意实数有Pi=。2；(B)P1<P2;(C)p1>p2;(D)只对的个别值才有°二.2解：Pl=P(X-4)=(=(-l)=1-(l)P?=P(Y4+5)=-P(y<4+5)=(I).*.Pl=p2选A(Or利用对称性)28 .设XN(",2),则随着的增大，概率P(IX,<b)的值().(A)单调增大；(B)单调减少；(C)保持不变；(D)增减不定.M:P(X-)<=P(-<X<+)=(l)-(-l)=2(1)-1不随Cr变选C。29 .设随机变量X的分布函数为FXa),则Y=5X-3的分布函数4(y)为()。(A)Fx(5y-3);(B)5Fx(y)-3;(C)4(空；(D)/(y)+3.解：F(y)=P(Yy)=P(5X-3y)=P(X<(y+3)T守选c30.(A)(C)设X的概率密度为了(X)=二则y=2x的概率密度为(l+x)1 八1-Z-；(B)Z-;r(l+4y2)4(4+y)-22亚4+4)；(I+)，?)°解：F(y)=P(Yy)=PQXy)二P(Xm=FXe).f(y)=fl=l!-5-=选C.2仪2)2乃(1+亡)乃(4+231.设随机变量X与y相互独立,其概率分布分别为X-11Y-11P_P_1_2222则下列式子正确的是()0(A)X=Y(B)P(X=K)=O:(C)P(X=F)=I；(D)P(X=Y)=L2解:A显然不对.P(X=Y)=P(X=1,Y=-I)+P(X=I1Y=1)=p(x=-i)P(y=-i)+P(x=i)P(r=i)=l.i4=i22222/.选C。32.设XN(0,l),YN(1,1),且X与丫相互独立，则()o(A)P(X+Y0)=;(B)P(X÷y1)=-;22(c)P(x-r)=-；(D)P(x-ri)=-o22解：XN(0,1)yN(Ll)且独立X+YN(1,2)p(x+r1)=p(x+y>1)=()=-选B。33 .设随机变量A711-40 1-2f-1x,j_4且满足尸(XX2=°)=1，则尸(Xi=Xz)=()。(A)0;(B)1/4；(01/2；(D)1o解：V.-101Pj11-10-0441C110-0-44210-0244Pi2.1J_424P(XlX2=O)=InP(XlX20)=0：,P(Xl=X2)=P(Xl=X2=-1)+P(X1=X2=0)+P(Xl=X2=1)=o+o+o=o.选A.34 .设随机变量X取非负整数值，P(X=n)=a,(n)t且EX=I,则。的值为().(A)(C)解：3+5办3-5丁；(B)丁；(D)1/5.2选B。xI,% < 1,=EX=Yna11=anan,=X,'S“二。(力X”-以“r=lw=ln=ln=035 .设连续型随机变量X的分布函数为1_±F(X)=6,0，则X的数学期望为()。(A)2;(B)O;(C)4/3；4尸X1(D)8/3o解：f()=<0x<EX=4.ACHdXIT=4。7=4x(W选C.36 .已知X85,p),EX=2.4,OX=I.44,则二项分布的参数为().(A)=4,p=0.6:(B)n=6,p=0.4：(D)n=24,/?=0.1o.rtEX=np=2.4解：>=>6r=1.44÷2.4=0.6=>p=0.4n=6DXnpq=A：.选B。37.已知离散型随机变量X的可能值为Xl=T,=0,F=1，且EX=O.1,。X=O.89,则对应于司,/,H的概率Pl，22，3为()。(A)Pl=0.4,p2=0.1,p3=0.5;(B)Pl=0.1,p20.1,p3=0.5;(C)Pl=0.5,p2=0.1,p3=0.4;(D)Pl=0.4,p2=0.5,p3=0.5.解：EX=0.1=-p1÷p3DX=EX2-(EX)2=>EX2=0.89+(0.1)2=0.9=p1+p3PI=O.4=>P2=0.1选A.P3=0.538.设XN(2,1),yN(T,1),且X,Y独立，记Z=3X-2Y-6,则Z。(A)NQ,1);(B)N(l,1);(C)N(2,13);(D)NQ,5)。解：XN(2,l)yN(1,1)且独立EZ=E(3X2Y6)=2。DZ=9DX+4Dy=9+4=13o又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，ZN(2,13)选C.39 .设XN(2,9),yN(2,l),E(XY)=61则D(X-Y)之值为()。(A)14；(B)6：(012;(D)4。解：D(X-Y)=DX+DK-2cov(X,y),cov(X,Y)=EXY-EXEY=6-4=2D(X-K)=9+l-2×2=6o.选B.40 .设随机变量X的方差存在，则()o(A)(EX)2=EX2;(B)(EX)2EX2;(C)(EX)2>EX2;(D)(EX)2EX2.解：DX=EX2-(EX)20:.EX2(EX)20：.选D.41.设X,X2,X3相互独立，且均服从参数为几的泊松分布，令y=g(X+X2+乂3)，则片的数学期望为().(A)-;(B)A2;(C)÷i2;(D)12÷0333解：XX2X3独立PG)(X1+X2+3)-p(32)E(Xl+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3吗(X+X2÷X3)=D(X1÷x2+x3)=A=EY2-(EY)2=EY2-A2：EY2=A2+-J选C。342 .设x,y的方差存在，且EXy=EX石匕则().(A)D(XY)=DXDY;(B)D(X+K)=DX+DK：(OX与y独立；(D)X与y不独立。M:D(X+y)=DX+Dy+2cov(X,y)=DX+Oy+2(EXy-EXEY)=DX+DY.选B。43 .若随机变量x,y满足。(x+y)=D(xy),且OXoy>o,则必有().(A)x,y独立；(B)x,y不相关；(C)DY=O;(D)D(XY)=Oo解：。(乂+丫)=。(乂一丫)=>。0丫(乂,丫)=0=>尸=0=>乂,丫不相关。选B。44.设x,y的方差存在，且不等于0,则D(x+y)=ox+JDy是x,y()。(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)独立的必要条件,但不是充分条件；(C)不相关的必要条件,但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件.解：由O(X+Y)=OX+OyoCoV(X,Y)=0u>p=0oX与y不相关(x+y)=OX+。丫是不相关的充要条件。a、C不对.由独立=>O(X+Y)=OX+。丫，反之不成立.选B。45.设X,y的相关系数PXy=I,则()(a)X与y相互独立；(B)X与y必不相关；(C)存在常数,b使P(y=X+b)=l;(D)存在常数白/使P(y=2+份=1。解：|PXyI=Io存在。乃使尸(Y=X+力)=1选C.46.如果存在常数凡伏。#0),使P(Y=X+b)=l,且0<OXv+oo,那么X,y的相关系数为().(A)1;(B)-1;(C)IpI=I;(D)p<l.以概率1解：cov(X,K)=cov(X,aX+b)=acov(XiX)=aDX以概率I2八丫cov(X,V)以概率IaDXaDY,-ciDXPYY，/-OT5FaDX.p=l,以概率1成立。.,选C。47.设二维离散型随机变量(X,y)的分布律为XO12O0.10.050.25IO0.10.220.20.1O则()(a)x,y不独立；(B)x,y独立；(c)x,y不相关；(D)x,y独立且相关。解：P(X=O,r=)=o.P(X=O)P(K=O)=(0.1+0.05+0.25)(0.1+0.2)=0.4×0.3=0.12P(X=0,Y=0)P(X=O)P(Y=O)X与y不独立。选a.48.设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和£>0,必有()0(A) P(X-C)=EX-Ci(B) P(X-C)>EX-C1(C) P(X-Cg)EX-Cj(D) P(X-C)DX12.解：P(IX-Cl£)=JaMX,一小心厂心臼X_CIJFE：,选C。49.设随机变量X的方差为25,则根据切比雪夫不等式,有P(IX-EXI<10)()。(A)0.25:(B)0.75;(C)0.75;(D)0.25.nv253解：P(X-EX<10)l-=1-=-=0.75，1004选C.50 .设X,X2,为独立随机变量序列，且X,服从参数为丸的泊松分布，i=l,2,，则()oSXi-成(A)IimHexU(x)；n(B)当充分大时，SXj近似服从标准正态分布；i=l(C)当充分大时，之Xi近似服从N(Ja,n);/=I(D)当充分大时，PX,.x)(x)or=l解：由独立同分布中心极限定理=gx,近似服从N(zn)1=1ZJOO/.选C51 .设X,X2,为独立随机变量序列，且均服从参数为4的指数分布，则().txi-(A) IimP-x=(x);-0/几或X,-(B) IimN,L一xU(x);1YxiLBJt0IimPx>= (x);I=I41/方或Xj(D)IimP(ilnfi-nx= (x).解：=；DXT俸qALxi-匠由中心极限定理Iim2(-L/j=Iimp-l-f=x=(x).：选B。52.设*1,乂2，乂3，乂4是总体"(，/)的样本，已知，?未知，则不是统计量的是()。(A)X1+5X4;(B)之Xi-；/=1(C) X1-;(D)之X；o=l统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数。/.选C。53 .设总体X3(l,p),X,X2,，X为来自X的样本，则又=3)=()。(A)p;(B)-p；(C)C>a(1-pa;(D)G(Jp)ApAA.解：XX2X”相互独立且均服从8(1,P)故NXjBgp)/=I即nXBgp)则P(X=-)=P(n又=Z)=C>(l-P)In：.选C。54 .设X,X2,X”是总体N(0,1)的样本，V和S分别为样本的均值和样本标准差，则().(A)XIS-/(n-l);(B)X-N(0,1);(C)(-1)S2-Z2(M-I);(D)&又t(n1)。_1«_11_1解：X=£XjEX=O,DX=-n=-.XN(0,)B错nnn(n-l)S220Z(w-1)4n t(n-i). S：.选 C。55 .设 X1,X2,Xm 是,5 1)I2S2=(n-)S2-2(n-)：.A错。总体N(,2)的样本，又是样本均值，记S：=QyX打，s；n-W(Xi-M2, Sj =1(X. -)2 ,则服从自由度为 n-1 r=ln I=I的，分布的随机变量是(a，=s：WV)o(C)解：SJ5，(f-X)2-2z2-n-M(B)T= ;S1 /- 1(D)T= Sj/nN(OJ)bt(n-1)-4(X,. -X)2b Mn-yjnS/n-is2yn-t(n 1)选B。56.设X,X2,，乂6是来自(,/)的样本，S?为其样本方差，则。S?的值为()o(A)"(B)-4;(C)35解：X,X?,XN卬,2),n = 624/C、 2 2 ;(D) -.555S27* 一 Z(5) CT由/分布性质:=2×5 = 10即DS2=-4255(C)(D)解：选Co57.设总体X的数学期望为4,X,X2,，X”是来自X的样本，则下列结论中正确的是().(A) X1是的无偏估计量；(B) X1是的极大似然估计量；X1是的一致(相合)估计量；X1不是的估计量。EXi=EX=:.X是的无偏估计量。选A。58 .设X,X2,，X是总体X的样本，EX",DX=",支是样本均值，S?是样本方差，则(/2(A) X-N ,;I n )/、(-1)S22(C) -9Z2(H-I): 解：已知总体X不是正态总体(B)S?与无独立;(D) S?是/的无偏估计量。(A) (B) (C)都不对。：选D.59 .设M,X2,X是总体NS,/)的样本，则()可以作为/的无偏估计量。(A)-X,2:(B)-l-X12:(C)Lfx,；(D)-x,.解：EXi=O,DXi=EXf-(EXi)2=EXf=211E(-Yxf)=-n2=2nIn：.选A.60.设总体X服从区间区网上均匀分布(6>0),演，,4为样本，则。的极大似然估计为()(B)min( x1 ,xj(D) min x1 ,kw )(A)max1,x:(C)maxx1,x1解：F(X)= X -, 0 29Xi 0 f = l,2,其它0其它0,似然正数La,/；。)=j,9)=砺'此处似然函数作为。函数不连续不能解似然方程求解6极大似然估计L()在6=Xg处取得极大值=Xn=maxX1,XJ)选C.