单元刚度矩阵课件.ppt
结 构 力 学structural Mechanics,第 9 章,矩阵位移法（12学时）,第9章 矩阵位移法, 9-1 概述, 9-2 单元刚度矩阵(局部坐标系）, 9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系）, 9-4 连续梁的整体刚度矩阵, 9-5 刚架的整体刚度矩阵, 9-6 等效结点荷载, 9-7 计算步骤和算例, 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析, 9-9 桁架及组合结构的整体分析, 9-10 小结,主要内容,矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。,理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机, 9-1 概述,5,矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，,6,7,9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）,1 一般单元,结构的离散化,局部坐标系下单元刚度,杆端位移向量,杆端力向量,弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；其它：与坐标轴同向为正。,1,2,1,2,E A I,l,1,2,单元刚度方程,首先，由两个杆端轴向位移，可以求出杆端轴向力，其次根据转角位移方程可以求出弯矩、剪力与杆端位移之间的关系,11,将上面六个方程合并，写成矩阵形式：,12,EA l,6EI l2,6EI l2,EA l,12EI l3,12EI l3,4EI l,2EI l,上面的式子可以用矩阵符号记为,这就是局部坐标系中的单元刚度方程。,可求单元杆端力,=,0,0,0,0,0,0,6EI l2,0,6EI l2,0,-EA l,-6EI l2,-6EI l2,EA l,-12EI l3,12EI l3,2EI l,4EI l,0,0,0,0,0,0,-6EI l2,0,6EI l2,0,只与杆件本身性质有关而与外荷载无关,通过这个式子由单元杆端位移,局部座标系的单元刚度矩阵,2 单元刚度矩阵的性质,（1）单元刚度系数的意义,第j个单位杆端位移=1时引起的第i个杆端力,（2）单元刚度矩阵是对称矩阵,反力互等定理,（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵,矩阵行列式等于零，逆阵不存在。,解不唯一,由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移+变形）。,解唯一,14,三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。,以连续梁为例：,1,2,15,为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。,9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）,（1）单元坐标转换矩阵,局部坐标系下的杆端力,整体坐标系下的杆端力,坐标转换矩阵（正交矩阵）,同理：,（2）整体坐标系下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度方程,性质,（1）整体坐标系下单元杆端位移引起的杆端力；（2）对称矩阵；（3）奇异矩阵。,解,（1）局部坐标系下的单刚,例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵k 。设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。,l=5m，bh=0.5m 1m,（2）整体坐标系下的单刚,单元：=0，T = I,单元：=90,22,9-4 连续梁的整体刚度矩阵,按传统的位移法,1,2,3,每个结点位移对约束力F的单独贡献,F1,F2,F3,4i1,2i1,0,2i1,4i1+4i2,2i2,0,2i2,4i2,1,2,3,=,F=K,根据每个结点位移对附加约束上的约束力F的贡献大小进行叠加而计算所得。,传统位移法,一、 单元集成法的力学模型和基本概念,分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成,令 i2 =0，则,k =,4i1,2i1,4i1,2i1,F2,=,1,2,（a）,（b）,单元 1 对结点力F的贡献,略去其它单元的贡献。,k =,4i2,2i2,4i2,2i2,设 i1 =0，则,单元对结点力F的贡献,略去单元的贡献。,24,k,K,K,F=F,+F,=（K,+K,）,1,2,F=K,整体刚度矩阵为：,单元集成法求整体刚度矩阵步骤：,根据单元和单元分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：,25,2i2,2i2,4i2,K=,4i1,2i1,4(i1+i2),2i1,0,2i2,0,2i2,4i2,4i1+4i2,k,K,K,26,二、按照单元定位向量由,k 求,K,(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。,(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。,以连续梁为例,位移统一编码，总码,单元,对应关系,局部码总码,单元定位向量,(1)1,(2)2,=,(1)2,(2)3,=,位移单独编码局部码,由单元的结点位移总码组成的向量,e,e,27,单元,单元,(1),(2),(1),(2),4i1,2i1,2i1,4i1,k =,(1),(2),(1),(2),4i2,2i2,4i2,2i2,单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。,单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。,单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。,28,三、 单元集成法的实施,（定位 累加）,K,（1）将K置零，得K=0；,（2）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K；,（3）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K+K；,按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵K。,29,1,2,3,0= 0,（1）结点位移分量总码,（2）单元定位向量,=,=,=,（3）单元集成过程,1,2,2,1,k =,2,3,3,2,k =,0,3,3,0,K =,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2,4i1,4i2+4i3,4i1+4i2,例.求连续梁的整 体刚度矩阵。,30,四、整体刚度矩阵 K 的性质,（1）整体刚度系数的意义: Kijj=1 (其余=0)时产生的结点力Fi,（2）K是对称矩阵,（3）对几何不变体系，K是可逆矩阵，如连续梁,F=K,=K-1F,（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁,1,2,3,n,n+1,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2+4i3,4i1+4i2,4in,2i3,2in,31,9-5 刚架的整体刚度矩阵,思路要点：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵； (2)按照单元定位向量由 到,与连续梁相比： (1)各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移； (3)要采用整体坐标；(4)要处理非刚结点的特殊情况。,一、结点位移分量的统一编码总码, =1 2 3 4 T,规定：对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。,=uA vA A C T,整体结构的结点位移向量为：,相应地结点力向量为：,= XA YA MA MC T,F = F1 F2 F3 F4 T,32,二、单元定位向量,单元,单元,局部码总码,局部码总码,（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 4,（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 0,三、单元集成过程,33,K=,11,12,13,21,22,23,31,32,33,61,62,63,66,16,26,36,11,12,13,21,22,23,31,32,33,34,四、铰结点的处理,K,求单元常数,T,单元刚度矩阵,程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）,刚结点：变形连续，截面1和截面2具有相同的结点位移。,铰结点：部分变形连续，截面1和截面2具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。,35,结点位移分量总码,结点C1, 4 5 6 ,结点C2, 4 5 7 ,单元定位向量,36,K=,37,k3,k2,k1,9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析,C1,C2,单元定位向量,38, 9-6 等效结点荷载,1 位移法基本方程,结构整体刚度矩阵为,位移法方程为,2 等效结点荷载的概念,表示结点位移和结点力F之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。,39,K +FP =0 (2),F +FP =0 (3),将(1)式代入(2)式：,基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。,基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。, (1),等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力,40,结点约束力FP,结点约束力FP,等效结点荷载P,原荷载,显然 P=FP解决了计算等效结点荷载的问题,K = F,FP,+,=,（2）单元等效结点荷载（整体坐标系下）,（3）整体结构的等效结点荷载,换码重排座,3 按单元集成法求整体结构的等效结点荷载,（1）单元的等效结点荷载（局部坐标系）,单元固端约束力,杆两端固定，求固端约束力,42,单元1:,单元2:,12,10,-10,+4,+0,-5,43,K,求单元常数,T,P,原始数据、局部码、总码,解方程K=P求出结点位移 ,开始,结束,9-7 计算步骤和算例,程序设计框图,44,例. 求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2h2=0.5m 1.26m，立柱b1 h1=0.5m 1m。,（1）原始数据、局部码、总码（设E=1）,0,0,柱,梁,局部码坐标系下的坐标可以自己随意设定，计算结果一样,45,46,（2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵,单元1和3,=10-3,=10-3,单元2,（3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵,47,单元1和3的座标转换矩阵 （=900）,单元2 （=0）,48,(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵K,49,（5）求等效结点荷载P,单元固端约束力,单元1 （=90）,按单元定位向量,50,（6）解基本方程,求得结点位移:,（7）求各单元杆端力,51,=10-3,同样可得出：,整体坐标系下的杆端力,局部坐标系下的杆端力,52,（8）绘制内力图,A,B,C,D,8.49,2.09,3.04,4.38,M图(kNm),4.76,1.24,0.43,1.24,Q图(kN),N图(kN),0.43,0.43,1.24,53,50kN,40kN,若节点上有荷载则荷载直接累加到等效荷载里面,80kN.m,54,本章的重要公式,0,6,3,五.(零位移)边界条件处理,方法:,先处理法,后处理法,后处理法:,置0置1法,乘大数法,(1)置0置1法,0,0,0,1,0,M,1/2,1,2,1,七.例题 矩阵位移法解图示梁,作M图.,解:,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,七.例题 矩位移法解图示梁,作M图.,4.边界条件处理,5.解方程,6.求杆端力,矩位移法解图示梁,作M图.,6.求杆端力,7.作M图,1.29,27.43,19.43,9.71,边界条件的先处理法,解:,1.离散化,2.求总刚,3,+8,4,4,8,+3,4.解方程,先处理法,后处理法,其它过程同后处理法,3.求总荷,无结点线位移的刚 架计算,1(0),2(1),3(2),4(0),解:,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,4.解方程,5.求杆端力,66,9-9 桁架及组合结构的整体分析,一、桁架,1,2,67,A,B,C,D,例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆EA为常数。,（1）单元和结点编码，准备基本数据。,（2）建立结点位移向量和结点力向量：,=1 2 3 4 5 6 7 8T,P=F1 F2 F3 F4 0 P 0 0T,（3）建立整体座标系单刚,68,（3）建立整体座标系单刚,69,4.形成原始总矩阵位移法方程,5.引进支座位移边界条件,1 = 2= 3 = 4=0,划去1 4行(列),对称,6.解矩阵位移法方程,对称,例9-7 试求图示组合结构的内力。已知横梁的EA=2EI。 吊杆的E1A1=EI/20。,1 确定坐标系、单元和结点位移编码,解：,2 形成刚度矩阵,(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵,(2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。,(3) “换码重排座”，形成整体刚度矩阵,整体刚度矩阵,3 形成等效结点荷载,4 解整体刚度方程，求结点位移,5 求各单元的杆端内力,(1) 确定整体坐标系下的杆端位移,(2) 确定局部坐标系下的杆端位移,5 求各单元的杆端内力,83,归纳需要注意的问题,1、众多的公式需记住，学会组装总刚， 等效荷载转换等问题；2、单刚、等效力等的转换时，如果仅为弯矩，不需要转换，如果是坐标方向的力需要进行转换；3、固端约束力需要根据局部坐标方向给出，固端弯矩顺时针给出，单刚要根据局部坐标系的方位来组装总刚，对号入座；4、一般手算时根据先处理法计算，后处理法要注意最后计算中置0，置1；5、为便于转换，桁架杆单元单刚为4*4矩阵；,矩阵位移法习题讨论,一.离散化,1.不计轴变时先处理法的结点位移编码,2. 计轴变时先处理法的 结点位移编码,二. 单元分析,1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?,2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵?,3.单刚元素 的物理意义是什么?,4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵?,5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?,6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗?,7.试写出自由式单元坐标转换矩阵.,二. 单元分析,8.求图示结构2单元的坐标转换矩阵中的元素,二. 单元分析,9.试写出桁架单元坐标转换矩阵中的第二行元素.,三. 整体分析,1.结构刚度方程 是整体结构所应满足的变形 协调条件吗?,2.总刚元素 的物理意义是什么?,3.试写出图示刚架2单元的单元定位向量.,4.图示结构2单元的整体单刚元素 应放在总刚的什么位置?,三. 整体分析,4.图示结构2单元的整体单刚元素 应放在总刚的什么位置?,第5行第6列,三. 整体分析,5.试求总刚元素 EA=常数,6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变),三. 整体分析,6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变),7.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变),三. 整体分析,7.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变),三. 整体分析,8.等效结点荷载的数值等于汇交于该结点的所有单元 固端力之和. 此结论对否?,9.试求图示结构的荷载列阵(先处理法).,三. 整体分析,10.试求图示结构的荷载列阵(先处理法).,11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).,三. 整体分析,11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).,三. 整体分析,12.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).,四. 求杆端力,1.连续梁在一般荷载作用下,单元杆端力由下式计算. 是否正确?,四. 求杆端力,1.连续梁在一般荷载作用下,单元杆端力由下式计算. 是否正确?,2.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为,求:1单元的杆端力,2.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为,求:1单元的杆端力,100,本章结束欢迎提出问题,
