微分方程复习课课件.ppt

微分方程 复习课,基本概念,一阶方程,类 型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.线性方程,6.伯努利方程,可降阶方程,线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及其特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,一、主要内容,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,2、一阶微分方程及其解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,(2) 齐次型方程,解法,(分离变量法),(变量代换法),(3) 一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(4) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法 利用变量代换法化为线性微分方程,变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法,1、可降阶的高阶微分方程的解法,型,解法,接连积分n次，得通解,型,特点,解法,代入原方程, 得,型,特点,解法,代入原方程, 得,2、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解,非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解,3、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,推广： 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,(一)、选择题,B,1.满足,D,3.微分方程,的特解形式是 .,(A),(B),(C),(D),D,C,4.满足,C,6.以,为特解的三阶常系数,的齐次线性微分方程是 .,D,8.若 y= f(x) 是,C,7.微分方程,的一个特解是 .,(A),(B),(C),(D),B,D,(二)、填空题,则,切于该点的积分曲线,6.方程,7. y = x的经过点M (0,1), 且与直线,8.通解为 y = C1ex +C2e-2x 的最低阶的齐次线性方程,9.已知,是,例 1 求微分方程,记,两边积分得,解 分离变量得,三、典型例题,例 2 求微分方程,积分得,即原方程化为,解 设,的通解.,代入x = 1, y = 2，得 C= -1,于是积分曲线是,两边积分得,解 设u= xy, 则 du = yd x + xd y,于是,且过点（1，2）的积分曲线.,例 3 求满足方程,例 4 求,积分得,解 原方程化为,的通解.,例5 若y =ex是方程,这是一个一元线性非齐次方程 ，于是,于是有,程有,解 首先，求出未知函数p (x),把y = ex 代入原方,求满足 y (ln2)=0 的特解.,的一个解，,例6 若,解 设 ux=t ,则,当 u = 0, t = 0;当u = 1, t = x.,例 7 设 f ( x) 在0，+ ）上连续，且,解 方程,的解为,证明方程,例 8 解方程,解,例9 解方程,解 设,积分得,再积分得原方程的通解为,则原方程可化为,例 10 求微分方程,适合条件,的特解.,解 设,则原方程化为,解之,由于,积分两次有,例 11 求方程,解 设,原方程可化为,当p = 0时，y = C是方程的解，当p 0时，有,积分得,例 13 求方程,解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的,可以判断出其特解为,代入初始条件解得,通解为,例 14 解方程,解 不难求出方程的特征根为2，2.,方程,的特解,方程,的特解,方程,的特解,原方程的特解,代入初始条件，并解方程组，求得,解,由于,是原方程的解，故,例15 设y1 = (x)是方程,的一个解,若,求出此方程的另一个与 y1线性,无关的解,并写出所给方程的通解.,令,原方程的通解为,例 16 设 y (x) 是 x的连续可微函数,且满足,解 两边对 x 求导, 得到,整理即,再求导，并整理得到微分方程,解之得,即,例 17求方程,解,代入原方程得,解这个微分方程，得其通解为,的通解.,例 18 若可微函数f (x) 满足方程,解 由所给方程可知 f (1)=1,两边对 x 求导, 得,记 y =f (x), 则上述方程化为,这是关于 n = 3 的伯努力方程.,则,整理即,例 19 设函数f (x) 满足 xf (x) 3 xf (x) = 6x2求由曲线y=f (x), x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小.,解 原方程可化为,旋转体的体积为,令,又,所以V(C )在此唯一驻点处取最小值，所求函数为,例 20 若f (x) 可微,解 令 y = 0, 则,对任何x, y, 有,解方程,得通解,代入条件 f (0) = 0 , 则 C = 0 , 所以,例 21 若,解 由线性方程的理论可知,是对应齐次方程的解，,也是对应齐次方程的解，,所以,也是对应齐次方程的解，,于是,都是对应的齐次方程的解，,是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程.,不难写出这个齐次方程为（因为特征根是-1和2）,设所求的非齐次方程为,代入,则,所以所求线性非齐次方程为,例22 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式,解 固定 x , 对 y 求导，,对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .,两边再对x求导,整理得,令,