信息论与编码理论基础（第四章）课件.ppt

2022/12/3,1,第四章：信道及其容量,4.1 信道分类4.2 离散无记忆信道4.5 信道的组合4.6 时间离散的无记忆连续信道4.7 波形信道,2022/12/3,2,4.1 信道分类,信道是传输信息的媒质或通道。（输入信道输出）说明（1）信道输入是随机过程。（2）信道响应特性是条件概率P(输出值为y|输入值为x)，又称为转移概率。（3）信道输出是随机过程，输出的概率分布可以由输入的概率分布和信道的响应特性得到。（全概率公式）（4）根据信道输入、信道响应特性、信道输出的情况，可将信道分类：离散信道（又称为数字信道）；连续信道（又称为模拟信道）；特殊的连续信道波形信道；恒参信道和随参信道；无记忆信道和有记忆信道；等等。,2022/12/3,3,4.2 离散无记忆信道,定义4.2.1和定义4.2.2(p104) 如果（1）信道的输入为随机变量序列X1, X2, X3, ，其中每个随机变量Xu的事件集合都是0, 1, , K-1，（2）信道的输出为随机变量序列Y1, Y2, Y3, ，其中每个随机变量Yu的事件集合都是0, 1, , J-1，则称该信道为离散信道。如果更有（3）P(Y1Y2YN)=(y1y2yN)|(X1X2XN)=(x1x2xN)=P(Y1=y1|X1=x1)P(Y2=y2|X2=x2)P(YN=yN|XN=xN)，则称该信道为离散无记忆信道（DMC）。如果更有（4）对任意x0, 1, , K-1，y0, 1, , J-1，任意两个时刻u和v，还有P(Yu=y|Xu=x)=P(Yv=y|Xv=x)，则称该信道为离散无记忆平稳信道。,2022/12/3,4,4.2 离散无记忆信道,关于定义4.2.1和定义4.2.2的注解“离散”的含义是时间离散，事件离散。即：信道的输入、输出时刻是离散的，且输入随机变量和输出随机变量都是离散型的随机变量。“无记忆”的含义是信道响应没有时间延迟，当时的输出只依赖于当时的输入。“平稳”的含义是信道在不同时刻的响应特性是相同的。“离散无记忆平稳信道”是最简单的信道，信道在某一时刻u的响应特性P(Yu=y|Xu=x)； x0, 1, , K-1，y0, 1, , J-1，就能很简单地计算出信道在任意时间段的响应特性。,2022/12/3,5,4.2 离散无记忆信道,一、有关DMC的容量定理（所说的DMC都是离散无记忆平稳信道）设DMC在某个时刻输入随机变量为X，输出随机变量为Y。信道响应特性为转移概率矩阵p(y|x)，x0, 1, , K-1，y0, 1, , J-1，它是一个KJ阶矩阵（其中p(y|x)=P(Y=y|X=x)）。X的概率分布为x, q(x), x0, 1, , K-1。Y的概率分布为y, w(y), y0, 1, , J-1。以下的结论是我们已知的。,2022/12/3,6,4.2 离散无记忆信道,（1）转移概率矩阵的每一行都是一个概率向量。,2022/12/3,7,4.2 离散无记忆信道,（2）对任意y0, 1, , J-1，由全概率公式有,2022/12/3,8,4.2 离散无记忆信道,（3）I(X; Y)是概率向量q(x), x0, 1, , K-1和转移概率矩阵p(y|x)，x0, 1, , K-1，y0, 1, , J-1的函数。,2022/12/3,9,4.2 离散无记忆信道,（4）设转移概率矩阵p(y|x)，x0, 1, , K-1，y0, 1, , J-1确定，希望选择概率向量q(x), x0, 1, , K-1使I(X; Y) 达到最大。则见定理2.6.2。定义4.2.3(p105) 离散无记忆信道的信道容量定义为如下的C。达到信道容量的输入概率分布x, q(x), x0, 1, , K-1称为最佳输入分布。 其中,2022/12/3,10,4.2 离散无记忆信道,定理4.2.2(p106) （1）输入概率分布x, q(x), x0, 1, , K-1是最佳输入分布的充分必要条件为：对任何满足q(k)0的k，都取一个相同的值；对任何满足q(k)=0的k，I(X=k; Y)此相同的值。（2）此时此相同的值恰好就是信道容量C。 （定理4.2.2实际上叙述了定理2.6.2的含义。）,2022/12/3,11,4.2 离散无记忆信道,注解给定一个DMC信道的响应特性，也就是说给定一个信道的转移概率矩阵p(y|x)，x0, 1, , K-1，y0, 1, , J-1，达到信道容量时所对应的最佳输入分布是满足定理4.2.2条件的概率向量q(x), x0, 1, , K-1 。其信道容量是每个使得q(k)0的k所对应的半平均互信息量I(X=k; Y)。如果对DMC信道没有任何简化，要计算最佳输入分布并不容易。但是，通常使用的DMC是很简单的（比如，以下的准对称信道和对称信道），最佳输入分布很容易求出。,2022/12/3,12,4.2 离散无记忆信道,二、对称DMC和准对称DMC的信道容量与最佳输入分布的计算 定义4.2.45(p108) 设DMC的转移概率矩阵为 若P的任一行是第一行的置换，则称信道是关于输入为对称的。若P的任一列是第一列的置换，则称信道是关于输出为对称的。若信道是关于输入为对称的，又是关于输出为对称的，则称信道为对称信道。,2022/12/3,13,4.2 离散无记忆信道,命题1 若DMC关于输入为对称的，则对任意k0, 1, , K-1都成立。证明 p(y|x)，y=0 J-1与p(y|k)，y=0 J-1互为置换，所以,2022/12/3,14,4.2 离散无记忆信道,命题2 若DMC关于输出为对称的，则当输入分布等概时，输出分布等概。证明 此时p(y|x)，x=0 K-1与p(0|x)，x=0 K-1互为置换。设q(x)=1/K，x0, 1, , K-1。则,2022/12/3,15,4.2 离散无记忆信道,定义4.2.6(p108) 若DMC的转移概率矩阵P的列的全体可分成若干个列子集，每个列子集所对应的P的子阵都满足以下两条性质：（1）任一行是第一行的置换，（2）任一列是第一列的置换。则称信道为准对称信道。（特别若列子集只有一个，即转移概率矩阵P本身的任一行是第一行的置换，任一列是第一列的置换，则称信道为对称信道。 ）例4.2.2 准对称信道的例子。(见p108109),2022/12/3,16,4.2 离散无记忆信道,几个简单的结论：（1）准对称信道一定是关于输入为对称的。（2）对称信道不仅是关于输入为对称的，也是关于输出为对称的。（3）对称DMC当输入分布等概时，输出分布等概。（4）准对称DMC当输入分布等概时，输出分布局部等概。（准对称DMC当输入分布等概时，若j和l属于转移概率矩阵的同一个列子集，则wj=wl。）（5）对称信道未必有J=K。,2022/12/3,17,4.2 离散无记忆信道,定理4.2.3(p109) 对于准对称DMC信道，（1）达到信道容量的最佳输入分布为等概分布；（2）信道容量为,2022/12/3,18,4.2 离散无记忆信道,证明 根据定理4.2.2的含义，只需要证明：当输入分布为等概时，对任意k0, 1, , K-1，半平均互信息量I(X=k; Y)都取相同的值。（此时，该相同的半平均互信息量I(X=k; Y)就是准对称信道容量C。）换句话说，只需要证明：当输入分布为等概时，对任意k0, 1, , K-1，I(X=k; Y)与k无关。设转移概率矩阵P的列的全体被分成S个互不相交的列子集：0, 1, , J-1=Y1Y2YS；Y1、Y2、YS互不相交；对任意s1, 2, , S，列子集Ys所对应的子阵都满足：任一行是第一行的置换，任一列是第一列的置换。自然有以下三个结论。,2022/12/3,19,4.2 离散无记忆信道,结论一：准对称信道是关于输入为对称的，所以对任意k0, 1, , K-1，结论二：对每个列子集Ys，结论三：对每个列子集Ys，取定ysYs。则对任意yYs，,2022/12/3,20,4.2 离散无记忆信道,于是,2022/12/3,21,4.2 离散无记忆信道,于是,2022/12/3,22,4.2 离散无记忆信道,例4.2.3 特殊的对称DMC：KSC（p109）,其中0p1。称p为错误概率。特别当K=2时，记为BSC,2022/12/3,23,4.2 离散无记忆信道,此时有：达到信道容量时的最佳输入分布为等概分布；对应的输出分布也是等概分布；信道容量是转移概率矩阵任何一行所对应的半平均互信息量，即,2022/12/3,24,4.2 离散无记忆信道,其中0p1，0q1。当q=0时，2元对称删除信道就成为BSC。当p=0时，2元对称删除信道就成为2元纯删除信道。达到信道容量时的最佳输入分布为等概分布。信道容量是转移概率矩阵任何一行所对应的半平均互信息量。（见p111）,2022/12/3,25,4.2 离散无记忆信道,定义4.2.7 （p111）特殊的对称DMC：模K加性噪声信道。设DMC的输入随机变量为X，X的所有事件为0, 1, , K-1；DMC的噪声随机变量为Z，Z的所有事件为0, 1, , K-1；DMC的输出随机变量为Y，Y的所有事件为0, 1, , K-1；X与Z相互独立；Y=X+Z(modK)。称此DMC为模K加性噪声信道。此时，p(y|x)=P(Y=y|X=x)=P(X+Z(modK)=y|X=x)=P(x+Z(modK)=y|X=x)=P(Z=y-x(modK)|X=x)=P(Z=y-x(modK)。,2022/12/3,26,4.2 离散无记忆信道,这就是说，如果记P(Z=z)=sz，则转移概率矩阵为,2022/12/3,27,4.2 离散无记忆信道,显然模K加性噪声信道是对称DMC。信道容量为,2022/12/3,28,4.2 离散无记忆信道,三、一般DMC的信道容量与最佳输入分布的计算 （p112） （当DMC不是准对称信道时，求解信道容量和最佳输入分布并不容易）若DMC的转移概率矩阵P是可逆方阵（此时K=J）。则可以先假设最佳输入分布q(x), x0, 1, , K-1 中每个概率q(x)都满足q(x)0。在这个假设下，求出信道容量C；然后求出最佳输入分布对应的“最佳输出分布” w(y), y0, 1, , K-1 ；然后求出最佳输入分布q(x), x0, 1, , K-1。,2022/12/3,29,4.2 离散无记忆信道,此时，,2022/12/3,30,4.2 离散无记忆信道,2022/12/3,31,4.2 离散无记忆信道,这是K个未知量0, 1, , K-1 =C+logw(0), C+logw(1), , C+logw(K-1)的线性方程组，系数矩阵是可逆方阵，因此唯一解出0, 1, , K-1 为,2022/12/3,32,4.2 离散无记忆信道,求出了0, 1, , K-1 =C+logw(0), C+logw(1), , C+logw(K-1)，还不能确定C和w(0), w(1), , w(K-1)的值。但是我们还有另一个等式： w(0)+w(1)+w(K-1)=1。于是,2022/12/3,33,4.2 离散无记忆信道,求出了信道容量C，立即得到了“最佳输出分布” w(y), y0, 1, , K-1和对应的最佳输入分布q(x), x0, 1, , K-1。,2022/12/3,34,4.2 离散无记忆信道,例 设DMC的输入事件为0, 1，输出事件为0, 1，转移概率矩阵为求信道容量和最佳输入分布。先假设最佳输入分布q(0), q(1) 满足q(0)0，q(1)0。因此,2022/12/3,35,4.2 离散无记忆信道,因此,2022/12/3,36,4.2 离散无记忆信道,例 特殊的DMC，称为Z信道：输入事件为0, 1，输出事件为0, 1，转移概率矩阵为其中00，q(1)0。因此,2022/12/3,37,2022/12/3,38,4.2 离散无记忆信道,容易验证： q(1)0； q(0)+q(1)=1。需要验证： q(0)0。,2022/12/3,39,4.5 信道的组合,总设有如下两个DMC，分别称为信道1和信道2。信道1的输入事件为全体x，共有K个输入事件；信道1的输出事件为全体y，共有J个输出事件；信道1的转移概率矩阵为p1(y|x)KJ；信道1的信道容量为C1，最佳输入分布为x, q1(x)。信道2的输入事件为全体u，共有N个输入事件；信道2的输出事件为全体v，共有M个输出事件；信道2的转移概率矩阵为p2(v|u)NM；信道2的信道容量为C2 ，最佳输入分布为u, q2(u)。,2022/12/3,40,4.5 信道的组合,定义4.5.1（p121） 信道的输入事件为全体(x, u)，共有KN个输入事件；信道的输出事件为全体(y, v)，共有JM个输出事件；转移概率矩阵为p(y, v)|(x, u)(KN)(JM)，其中p(y, v)|(x, u)= p1(y|x)p2(v|u)。则称该信道为信道1与信道2的积信道。（又称该信道为信道1与信道2的独立并行信道）（在物理上，积信道是两个信道的并行使用）,2022/12/3,41,4.5 信道的组合,定理4.5.1（p122） 积信道的信道容量为C=C1+C2，最佳输入分布为(x, u), q(x, u)，其中q(x, u)=q1(x)q2(u)。证明 此时,2022/12/3,42,4.5 信道的组合,2022/12/3,43,4.5 信道的组合,2022/12/3,44,4.5 信道的组合,所以I(XU)=(xu); (YV)=I(X=x; Y)+I(U=u; V)。注意到对任何满足q1(x) 0的x，I(X=x; Y)=C1；对任何满足q1(x) =0的x，I(X=x; Y)C1；对任何满足q2(u) 0的u，I(U=u; V)=C2 ；对任何满足q2(u) =0的u，I(U=u; V)C2。于是对任何满足q1(x)q2(u)0的(xu)，I(XU)=(xu); (YV)=C1+ C2 ；对任何满足q1(x)q2(u)=0的(xu)，I(XU)=(xu); (YV)C1+ C2 。根据定理4.2.2(p84) ，积信道的信道容量为C=C1+C2，最佳输入分布为(x, u), q1(x)q2(u)。,2022/12/3,45,4.5 信道的组合,定义4.5.2（p123） 信道的输入事件为全体xu，其中x与u不相交；共有K+N个输入事件；信道的输出事件为全体yv，其中y与v不相交；共有J+M个输出事件；信道的转移概率矩阵为则称该信道为信道1与信道2的和信道。,2022/12/3,46,4.5 信道的组合,定理4.5.2（p123） （证略）,2022/12/3,47,4.5 信道的组合,定义4.5.3（p124） 构造一个信道，使得该信道的输入是信道1的输入；信道1的输出再输入信道2；信道2的输出就是该信道的输出。则称该信道为信道1与信道2的级连信道（串联信道）。请注意：此时信道1的输出事件全体恰好是信道2的输入事件全体，即y=u，J=N。,2022/12/3,48,4.5 信道的组合,注：（1）级连信道的转移概率矩阵为p(v|x)KM=p1(y|x)KJ p2(v|y)JM，即这一结果来自于全概率公式和马尔可夫性。（2）级连信道的信道容量C满足CminC1, C2。这一结果也容易证明。,2022/12/3,49,4.5 信道的组合,例 设信道1的转移概率矩阵为其中0p1。则（1）信道1的最佳输入分布是等概分布，信道容量为,2022/12/3,50,4.5 信道的组合,（2）将信道1自级连N次，级连信道的转移概率矩阵为级连信道的信道容量为,2022/12/3,51,4.5 信道的组合,（3）令自级连的次数N+，则级连信道的转移概率矩阵趋向于信道容量趋向于0。,2022/12/3,52,4.6 时间离散的无记忆连续信道,定义 设（1）信道的输入为随机变量序列X1, X2, X3, ，其中每个随机变量Xu都是连续型的随机变量。（2）信道的输出为随机变量序列Y1, Y2, Y3, ，其中每个随机变量Yu都是连续型的随机变量。（3）转移概率密度f(Y1 Y2YN)= (y1y2yN)| (X1 X2XN)=(x1x2xN)=f(Y1=y1|X1=x1)f(Y2=y2|X2=x2)f(YN=yN|XN=xN)，则称该信道为时间离散的无记忆连续信道。如果进一步有（4）f(Yn=y|Xn=x)=f(Ym=y|Xm=x)，（此时简记为fY|X(y|x)）则称该信道为平稳的（恒参的）时间离散的无记忆连续信道。,2022/12/3,53,4.6 时间离散的无记忆连续信道,设平稳的（恒参的）时间离散的无记忆连续信道，其一元转移概率密度为fY|X(y|x)。设一元输入概率密度为fX(x)。因此一元输出概率密度为如下的fY(y)，输入、输出平均互信息量为如下的I(X;Y) 。,2022/12/3,54,4.6 时间离散的无记忆连续信道,一、可加噪声信道定义4.6.1（p101的变形） 设平稳的（恒参的）时间离散的无记忆连续信道为：输入随机变量为X；噪声随机变量为Z；X与Z相互独立；输出随机变量为Y=X+Z。则称该信道为可加噪声信道。注：此时fY|X(y|x)=f(Y=y|X=x)=f(X+Z=y|X=x)=f(x+Z=y|X=x)=f(Z=y-x|X=x)=f(Z=y-x)=fZ(y-x)；f (X, Y)(x, y)=fX(x)fY|X(y|x)=fX(x)fZ(y-x)；,2022/12/3,55,4.6 时间离散的无记忆连续信道,“功率”本来表示单位时间所做的功。但是这里却变成了一次（输入、噪声、输出）所做的功。不过这种变化并不影响信噪比的值。,2022/12/3,56,4.6 时间离散的无记忆连续信道,例4.6.1（p126） 高斯可加噪声信道，,2022/12/3,57,4.6 时间离散的无记忆连续信道,二、平均功率受限的可加噪声信道定义（p127的变形） 对于可加噪声信道，限定：其信号功率不超过S，其噪声功率等于2，此时信噪比不超过(S/2)。在此限定之下，输入、输出平均互信息量的最大值C称为平均功率受限的信道容量。,问题：似乎信道没有给定？,2022/12/3,58,4.6 时间离散的无记忆连续信道,定理4.6.1（p127） 设可加噪声信道，限定：其信号功率不超过S，其噪声功率为2，此时信噪比不超过(S/2)。则,（1）平均功率受限的信道容量为,（2）当且仅当信道为高斯可加噪声信道（XN(,S)， ZN(,2)）时，输入、输出平均互信息量达到该C。,2022/12/3,59,4.7 波形信道,定义4.7.1（p106） 信道的输入是一般的随机过程X(t), t0；信道的输出是一般的随机过程Y(t), t0。称此信道为波形信道。定义4.7.2（p106） 信道的输入是一个随机过程X(t), t0；信道的噪声是一个随机过程Z(t), t0；两个随机过程X(t), t0与Z(t), t0相互独立；信道的输出是Y(t)=X(t)+Z(t), t0。这种特殊的波形信道称为可加噪声信道。,2022/12/3,60,4.7 波形信道,在实际应用中，总是对波形信道进行采样，采样信道是时间离散的信道。其输入是随机变量序列X1, X2, X3, ，其输出是随机变量序列Y1, Y2, Y3, ，但信道一般不是无记忆的。 采样信道单位时间的容量为,2022/12/3,61,4.7 波形信道,定理4.7.1（p133）可加噪声信道输入平均功率不超过S，噪声的双边功率谱密度为N0/2，频带限制在0, W时，信道容量为,2022/12/3,62,解释,频带限制在0, W时，单位时间的采样次数为2W。“输入平均功率S”是单位时间的输入所做的功，因此每次采样时输入所做的功为S/2W。“噪声的双边功率谱密度N0/2”本来指的是固定频率成分的噪声的功率。但是有以下两个因素：（1）噪声为白噪声，不同频率成分的噪声的功率相同。（2）单位时间内2W次采样得到了2W个不同的噪声频率成分（！），每个噪声频率成分的功率相同，它们的和就是单位时间内噪声所做的功，即噪声功率。换句话说，每次采样时噪声所做的功=每个噪声频率成分的功率=N0/2。综上所述，每次采样的“信噪比”为(S/(2W)/(N0/2)，,2022/12/3,63,习题课,4.1 计算由下述转移概率矩阵给定的DMC的容量。,2022/12/3,64,习题课,该信道为对称DMC，达到信道容量的最佳输入分布是等概分布，对应的输出分布也是等概分布，信道容量C是由转移矩阵任何一行所计算出来的“半平均互信息量”：,2022/12/3,65,该信道为对称DMC，达到信道容量的最佳输入分布是等概分布，对应的输出分布也是等概分布，信道容量C是由转移矩阵任何一行所计算出来的“半平均互信息量”：,2022/12/3,66,该信道为和信道，和信道的输入事件为0，1，m，和信道的输出事件也为0，1，m。其中两个分信道分别如下：,2022/12/3,67,习题课,2022/12/3,68,习题课,4.3 求图P.4.3中DMC的容量及最佳输入分布。,2022/12/3,69,习题课,2022/12/3,70,习题课,(a)困难：（1） 本题中的DMC不是准对称信道，不能用简单的方法计算信道容量与最佳输入分布。（2）如果采用一般信道容量与最佳输入分布的计算方法 （见p112） ，本题的计算量比较大，并且所求出的“最佳输入分布”中有的概率是负值。技巧：观察与猜测。设最佳输入分布为q(0), q(1), q(2)。我们猜想q(0)=q(2)=1/2，q(1)=0，因此应有以下的等式 Y)。,2022/12/3,71,习题课,验证过程：首先求出对应的最佳输出分布为w(0), w(1), w(2)。根据全概率公式，,2022/12/3,72,习题课,其次验证等式 Y)”是否成立。,2022/12/3,73,习题课,等式 Y)=3/4,2022/12/3,74,习题课,问题一：凭什么猜想q(0)=q(2)？答 转移概率矩阵的形状具有某种对称性，似乎应该有q(0)=q(2)。因此I(X=0; Y)=I(X=2; Y)。问题二：凭什么猜想q(1)=0？答理由1：转移概率矩阵的中间行为（1/3, 1/3, 1/3）。这说明，当输入值为1时，输出值取0、1、2是等概的。换句话说，当输入值为1时，得不到输出值的消息。因此，q(1)似乎应该很小。理由2：已知I(X=0; Y)=I(X=2; Y)。如果假设q(1)=0，只需要验证“I(X=0; Y)I(X=1; Y)”；而如果假设q(1)0，则需要验证“I(X=0; Y)=I(X=1; Y)”。前者更容易验证。问题三：为什么不猜想“最佳输入分布”中的两个概率等于0？答 如果“最佳输入分布”中的两个概率等于0，则第三个概率等于1。此时输入随机变量X实际上是一个常数，其平均自信息量（熵）等于0。因此0I(X;Y)H(X)=0，即“信道容量”为C=I(X;Y)=0，矛盾。,2022/12/3,75,(b)这是准对称信道。因此最佳输入分布为q(0), q(1), q(2)= 1/3, 1/3,1/3，对应的最佳输出分布为,2022/12/3,76,习题课,此时信道容量为,2022/12/3,77,习题课,4.8 一PCM语音通信系统，若信号带宽为W=4000Hz，采样频率为2W，且采用8级幅度量化，各级出现的概率为1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，1/128，1/128。试求所需的信息速率(bits/s)。 （这是什么类型的习题？似乎与信道及信道容量没有关系）4.8的解答 每次采样获得的信息量，是随机变量的平均自信息量（熵），为(1/2)log2+(1/4)log4+(1/8)log8+(1/16)log16+(1/32)log32+(1/64)log64+(1/128)log128+(1/128)log128= (1/2)+(2/4)+(3/8)+(4/16)+(5/32)+(6/64)+(7/128)+(7/128)=127/64(bits)。信息速率为127/64(bits)8000=15875(bits/s)。,2022/12/3,78,习题课,4.12 若要以R=105 bit/s的速率通过一个带宽为8kHz、信噪比为31的连续信道传送，可否实现? 4.12的解答 连续信道的带宽为8kHz，说明该连续信道可以通过采样频率不超过16kHz的采样，变成一个“时间离散的无记忆连续信道”。进一步简化：我们把该“时间离散的无记忆连续信道”看作是一个“高斯可加噪声信道”(p126)。因此，在每次采样中传送的信息量为(1/2)log(1+ 31)=(5/2)(bits)。带宽为8kHz，说明每秒种的采样次数不能超过16kHz。因此，每秒种传送的信息量不能超过(5/2)(bits)16k=40k (bits/s)。40k105，因此不能实现R=105 bit/s的信息速率。,