题型二次函数压轴题ppt课件.ppt

二、解答题重难点突破,第二部分 题型研究,目录,题型七 二次函数压轴题 类型一 线段问题 类型二 面积问题 类型三 图形判定问题 拓展类型 三角形相似问题,类型一 线段问题,典例精讲,例1 如图，抛物线 y =ax2+bx+8(a0)与直线 y =x+4相交于A（-4,0），C（1,m）两点，抛物线与x轴的另一个交点为B（点B在点A的右侧），直线 y=x+4交y轴于点D，点P是线段 AC上方抛物线上一个动点（不与A，C重合），过点P作PGx轴于点G，交直线 y=x+4于点F，作PEAC于点E.（1）求抛物线的解析式；,例1题图,【思路点拨】将C（1,m）代入y=x+4中，求得m的值即可知C点坐标. 二次函数y=ax2+bx+8(a0)含有两个未知数，将点A，C坐标代入得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组可求得a，b的值，即可知抛物线的解析式.,解：（1）把 C（1 , m ）代入y=x+4得，m=1+4=5，则 C（1 , 5）.把A（-4 , 0），C（1 , 5 ）代入y=ax2+bx+8(a0)得 16a-4b+8=0 a=-1 a+b+8=5 b=-2则抛物线的解析式为y=-x2-2x+8.,，,，,解得,例1题图,，,（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；【思路点拨】思路一：将(1)求得的二次函数解析式配方成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标和对称轴；思路二：根据二次函数顶点坐标公式直接写出顶点坐标和对称轴.,（2）解：方法一：抛物线的解析式： y = -x2-2x+8 = -(x+1)2+9，则抛物线的顶点坐标为（-1 , 9），对称轴为x=-1.方法二： -1， = 9，所以对称轴是 x=-1，顶点坐标是（-1 , 9）.,（3)求出AC的长；【思路点拨】过点C作x轴的垂线可构造出直角三角形，AC是直角三角形的斜边，根据A,C两点坐标分别求出两直角边即可知AC长.,如解图过点C作 CCx轴于C，A（-4 , 0），C（1 , 5），AC=4+1=5，CC=5,AC= = .,例 1 题解图,解：,（4）若点P的横坐标为x, 请求出线段PE的长度关于P点横坐标x的函数解析式；由AC的解析式可求出点D的坐标，根据OA,OD的长度可知OAD是等腰直角三角形，根据角度的关系可以判定PEF也是等腰直角三角形，所以求出PF的长度即可知PE的长度.根据抛物线和直线AC的解析式可分别写出P点和F点的坐标.由此可知PF的长度，题目得解.,【思路点拨】,PE= PF；点P的横坐标为x，则点P坐标为（x,-x2-2x+8），点F 坐标为(x,x+4)，PF=-x2-2x+8-(x+4)=-x2-3x+4，即PF=-x2-3x+4 （-4x1）， PE= PF= （ -4x1）.,解：（4）直线AC交y轴于点D，则D点坐标为（0,4），OA=OD=4.DAO=45，由题意得，PGA=90，PFE=AFG=45，即PEF为等腰直角三角形，,（5）当x为何值时，线段PE有最大值，请求出这个最大值；【思路点拨】思路一：将（4）得到的PE长度的函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质求得最大值即可；思路二：因为PEF是等腰直角三角形，所以当PF最长时，PE取得最大值.根据(4)中求得的解析式求PF的最大值，可知PE的最大值.注意：因P是线段AC上方抛物线上的点，所以求得最大值后，要检验P是否符合要求.,当 ，PF 最大 ，此时PE最大,当时，PE有最大值 ；,（5）解：方法一：,方法二： PF = -x2-3x+4,(6)当x为何值时，PEF的周长有最大值，请求出这个最大值；【思路点拨】因为PEF是等腰直角三角形，所以PE或者PF取得最大值时，三角形的周长最大，根据（5）的计算结果，即可求出最大值.,解：（6）在等腰直角三角形PEF中，PE=EF= PF, PEF的周长=PE+PF+EF=（ +1）PF，由（5）知当x= - 时，PF 取得最大值 ，当x=- 时，PEF的周长最大为 ( +1).,(7) 在（6）的条件下，求出P，F，G，E的坐标；【思路点拨】由x= ，可直接写出G点坐标，将x= 分别代入直线AC和抛物线的解析式可求出点F，P的纵坐标，则F,P点坐标可求. 过点E作EMx轴，过点F作FMy轴，两线交于点M，可得等腰直角三角形EFM，在等腰直角三角形PEF中可求EF长，从而可知FM，EM，再结合点F坐标即可知E点坐标.,（7）解：如解图，当x= 时，点G坐标为（ ，0）；点F坐标为( , )；点P坐标为( , )；过点E作EMx轴，过点F 作FMy轴,两线交于点M，由题意得，EFM为等腰直角三角形，EF=PE= ，则MF = ME = ，xE= yE=点E坐标为( , )；,例 1 题解图,（8）若PF=3FG,求x的值；【思路点拨】由P点的横坐标为x，可分别写出点P,F,G点的坐标，从而可用x表示出PF和FG线段长，根据关系式列方程即可求x值.注意检验x值是否符合题意. 点P的横坐标为x，则F（x，x+4），所以FG=x+4，由（4）知PF=-x2-3x+4，PF=3FG，-x=-3x+4=3（x+4），解得x=-2或-4.当x=-4时，点P与点A重合，不合题意，故x=-2.,解：,(9)若点P为抛物线上任意一点，如果PABDAO，请求出x的取值范围；【思路点拨】根据题意，结合图象，判断出分两种情况讨论，点P在x轴上方时，根据点C和点B的坐标即可得解；当点P在x轴下方时，求得y=x+4关于x轴对称的解析式，联立抛物线解析式求出交点坐标即可得解.,解：（9）点P为抛物线上任意一点，如果PABDAO，如解图，分两种情况：若点P在x轴上方,则点P在点C下方，B点上方时，PABDAO,点C坐标为（1,5），B点坐标为（2,0），则1x2；若点P在x轴下方,当PAB=DAO时，设AP与抛物线交点N，当点P在点B下方，N点上方时，满足PABDAO,例 1 题解图 ,设直线AN交y轴于点H,PAB=DAO，则点H与点D关于原点对称，可得，点H坐标为（0，-4），则直线AN的解析式为y=-x-4，联立 y=-x2-2x+8 y=-x-4，得x1=3，x2=-4（与点A重合，舍去）则2x3；综上所述，点P为抛物线上任意一点，如果PABDAO，则1x3；,例 1 题解图 ,（10）在（9）条件下，当P点的纵坐标为整数值时，点P为“好点”，请求出点P “好点”的个数.【思路点拨】由函数图象可知，当1x3时，y随x的增大而减小，分别求出y的最大值和最小值，确定在此范围内y的整数值的个数即可.,解：（10）由二次函数图象可知，当1x3时，y随x的增大而减小，当x=1时，y=-x2-2x+8=5；当x=3时，y=-x2-2x+8=-7.即-7y5，共13个整数值，则点P “好点”的个数为13个.,类型二 面积问题,典例精讲,例2 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0,3）两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.,（1）求直线AB的解析式；,例 2 题图,解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+d，将A（-3,0），B（0,3）代入得 -3k+d=0 d=3直线AB的解析式为 y = x+3.,【思路点拨】利用待定系数法直接计算. 设直线AB的解析式为y=kx+d,分别将A,B两点坐标代入，得到关于k，d的二元一次方程组，解方程组求得k，d的值即可知AB的解析式.,解得,，,，,（2）求抛物线的解析式；【思路点拨】将点A、B的坐标代入y =-x2+bx+c即可得到b、c的值，从而得到抛物线解析式.,将点A（-3,0），点B（0,3）代入抛物线得： -9-3b+c=0c=3 b=-2 c=3抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.,解得,，,，,解：,（3）求ABC的面积和四边形AOBD的面积；【思路点拨】根据抛物线解析式可求出点C，D坐标.在ABC中，可根据A,C点坐标求出底边AC长，根据点B的坐标求出高OB的长，即可求面积.对于四边形AOBD，可分割成AOB和ABD分别进行计算.RtAOB的面积可根据OA,OB长进行计算.在ABD中，设对称轴与AB的交点为D，求出DD的长度即可求出ABD的面积，从而四边形AOBD的面积可求.,解：（3）由y=-x2-2x+3，转化为顶点式得 y=-(x+1)2+4， 抛物线的对称轴为x=-1,顶点D为（-1,4）； 令y=0得-x2-2x+3=0， 解得x1=-3,x2=1， 点C的坐标为（1 , 0）, 点A（-3 , 0），点B（0 , 3），点C（1 , 0）， AO=3，OC=1，OB=3，,例 2 题解图 ,BOAC，SABC= ACBO= （3+1）36；如解图，设抛物线的对称轴与AB的交点为D，将x=-1带入 y=x+3得 y=2，D（-1,2）， DD=2，, SABD= OADD= 3， S四边形AOBD = SABO+ SABD = 33+3=,例 2 题解图 ,（4）在抛物线上是否存在点G，使得GAE的面积与BEC的面积相等，若存在，请写出相应的点G的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】在BEC中，OB是EC边上的高，根据点坐标可求出EC和OB，从而可知BEC的面积 .在GAE中，A,E点坐标都可求出，当以AE为底时，G点纵坐标的绝对值是GAE的高，分G在x轴上方和x轴下方分别列方程求解即可.,例 2 题解图 ,（4）解：如解图，当G在x轴上方时，点G在抛物线上，设点G的坐标为（g,-g2-2g+3），点G在x轴上方，-g2-2g+30，过G 作GGx轴于G，SAEG = AEGG 2（-g2-2g+3）SBEC = ECOB= 23=3， 2（-g2-2g+3）=3，解得g1= -2，g2=0,这样的点G有两个，坐标为(-2 , 3)，(0 , 3).,如解图，当点G在x轴下方，-g2-2g+30，则 GG= -（-g2-2g+3）=g2+2g-3，SAEG= AEGG 2（g2+2g-3）=3，解得g3= -1+ ，g4= -1- ，这样的点G也有两个，坐标分别为(-1+ , -3)，(-1- , -3).,例 2 题解图 ,（5）在抛物线上是否存在一点M，使得SABM =SABC ，若存在，请写出相应的点M的坐标，若不存在，请说明理由；【思路点拨】由(3)已经求得ABC 的面积，本题即转化为在抛物线上求一点M使ABM 的面积为定值，解决方法同（4）.,（5）解： (i)如解图，当M在直线AB上方时，过点M做MMx轴于点M，交AB于M，设M（m,-m2-2m+3）,则M(m，0),M(m,m+3),MM=-m2-3m，SABM = AOMM= m2 m,根据题意SABM =SABC =6，则 m2 m=6，即m2+3m+4=0，此时方程无解，则不存在在这样的M；,例 2 题解图 ,解：（ii）当点M在直线AB的下方，如解图，过点C作平行于AB的直线，则这条直线上任意一点与AB构成的三角形面积与ABC的面积相等，从而点M在这条直线上.,例 2 题解图 ,直线AB的解析式为y=x+3,设过点C且与AB平行的直线解析式为y=x+b1,将点C（1,0）代入得b1=-1,所得直线解析式为y=x-1,此时存在两个点M，其坐标分别为（1 , 0），（-4，-5）.,例 2 题解图 ,（6）在抛物线上是否存在一点H，使得SABH =S四边形AOBD，若存在，请写出相应的点H的坐标，若不存在，请说明理由；【思路点拨】设点H（h,-h2-2h+3）,利用（5）的方法，使用h表示出SABH，而S四边形AOBD 在（3） 中已经求得，列出方程求解即可.,解：(6) (i)当H在x轴上方时，过点 H 做 HHx轴于点H，交AB于点H，设H（h,-h2-2h+3）,则H(h，0),H(h,h+3),HH=-h2-3h，SABH = AOHH= h2 h.根据题意SABH =S四边形AOBD = ，则 即h2+3h+5=0，此时方程无解，则不存在这样的H；,例 2 题解图 ,（ii）当H在x轴下方时，如解图，不妨设H在对称轴的右侧，HH=h2+2h-3，AHh+3,HH（h+3）-(-h2-2h+3)=h2+3h,SAHH HHAH （h2+3h）(h+3),SBHH OHHH h(h2+3h),SABH =SAHH -SBHH （h2+3h）,当SABH = 时，h2+3h-5=0,h= 或 （舍去），H,过点H作AB的平行线，则其与抛物线的另一个交点也满足要求，设其解析式为y=x+b,将H代入 +b,得b=-2,H点的坐标为（ ， ）或（ ， ）,（7）已知点P是第二象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为p，ABP的面积为S；求S关于p的函数关系式；求当p为何值时,S有最大值，最大值是多少；过P作PQAB于Q，当PQ平分SABP，求点P的坐标；当PQ将ABP的面积分为12的两部分，求点P的坐标；,【思路点拨】利用（5）的方法写出S关于p的函数关系式即可；根据二次函数的性质求S的最大值，并求出p的取值；PQ平分SABP，即Q是AB的中点，据此可求PQ的解析式，联立抛物线解析式即可知P点坐标.当PQ将ABP的面积分为12的两部分时要SAPQSBPQ =12和SAPQSBPQ =21两种情况讨论求解，要注意验证结果是否合理.,解：(7)如解图，点P在抛物线上，点P的坐标为（p,-p2-2p+3），过P作PPy轴交直线AB于点P，则P（p , p+3），则PP（-p2-2p+3）-(p+3)=-p2-3p，SABP= 3PP p2 p.即S= p2 p.,例 2 题解图 ,将S= p2 p 转化为顶点式得S= (p+ )2+ ，当p= 时S最大，最大值为 .,例 2 题解图 ,如解图，连接OQ,PQ平分ABP的面积Q是AB中点，PQAB,PQ垂直平分AB，OA=OB=3，QA=QB，由A（-3,0），B（0,3），易得点Q的坐标为（- ，- ），直线OQ的解析式为 y= -x.OA=OB,OQ是线段AB的垂直平分线，,例 2 题解图,P、Q、O三点共线.,此时点P的坐标为（ ， ）,（i）若SAPQ：SPQB =21， 则SAPQSAPB =23，点Q在线段AB的三等分点，且靠近点B，,如解图，过Q作AO的垂线，垂足为点Q，则 ，易得点Q的坐标为（-1 , 2），PQAB，PQ平行于直线y=-x，,例 2 题解图,设直线PQ的解析式为y=-x+q,将点（-1,2）代入得q=1,此时直线PQ的解析式为y=-x+1,与抛物线联立得,例 2 题解图,此时点P的坐标为（-2,3）；,（ii）当点Q是AB的三等分点，且靠近点A，则易得点Q的坐标为（-2，1），此时直线PQ的解析式为y=-x-1,此时点P的坐标为（ ， ）.,(8)若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点R，使SRBC =3？若存在，请写出相应的点R的坐标，若不存在，请说明理由； 过R做y轴的平行线交BC的延长线于点F，过点R作RK垂直于BC的延长线于点K，则构造出RKFBOC，因为SRBC =3，即 BCRK=3，利用三角形相似得到的比例关系和题中的已知线段长即可求出RF长.设R的横坐标为x，则F点的纵坐标可根据BC的解析式求得，R点的纵坐标可根据抛物线的解析,式求得，而RF的长等于F点的纵坐标减去R点的纵坐标，由此可列方程求出R点横坐标，即可知R点坐标.注意验证求得的R点是否是在对称轴的左侧.,【思路点拨】,(8) 不妨假设存在点R，使SRBC =3.过点R作RKBC，交BC的延长线于点K，作RHy轴，交BC的延长线于点F，如解图，则F =BCO，RKF =BOC = 90，RKFBOC， ， BCRK=BORF.,解：,例2题解图,又SRBC =3，BO=1， BCRK= BORF=3，RF=6.由B (1，0)，C (0，3)可求出直线BC的解析式为:y=-3x+3.设R(x，-x2-2x+3)，则F (x，-3x+3).RF=-3x+3-(-x2-2x+3)=x2-x.x2-x=6，解得x1=-2，x2=3(舍).R(-2，3).存在点R，使SRBC =3，点R的坐标为(-2，3).,例2题解图,类型三 图形判定问题,典例精讲,例3 如图，已知抛物线y-x2bxc与x轴交于点A、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，直线l经过B、C两点 抛物线的顶点为D.(1)求抛物线和直线l的解析式；,例 2 题图 ,【思路点拨】所求抛物线经过B、C两点，将B(3，0)和C(0，3)代入y-x2bxc中得到关于b，c的二元一次方程组，解出b，c的值即可；所求直线l经过B(3，0)，C(0，3)两点，根据待定系数法求出直线l的解析式,解：(1)将B(3，0)、C(0，3)代入抛物线yx2bxc 得：-9+3b+c=0, 解得： b=2, c =3. c =3.抛物线的解析式：yx22x3 设直线l的函数关系是y=kx+z，据题意得 3k+z=0, z=3.解得： k=-1, z=3.直线l的函数关系是：y =-x+3.,（2）判断BCD的形状并说明理由.【思路点拨】判断三角形形状可考虑从边和角两个角度入手.本题中可求出B,C,D三点的坐标，因此从边长入手比较方便.分别求出三角形的三边长，如果有两边相等，则三角形是等腰三角形，如果三边相等，则三角形是等边三角形.如果没有相等的边，则考虑使用勾股定理验证三角形是否是直角三角形.,解：(2)BCD是直角三角形.理由如下：由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，可得D（1，4），根据题意可知B(3，0)、C(0，3)，BC2=(3-0)2+(0-3)2=18, DC2=(1-0)2+(4-3)2=2, BD2=(3-1)2+(0-4)2=20,BC2+DC2=BD2, DCB=90，BCD是直角三角形.,例 2 题图 ,(3)如图，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EFx轴于点F，EF交线段BC于点G，当ECG是直角三角形时，求点E的坐标.,例 3 题图 ,【思路点拨】因EGy轴，所以EGC不可能等于90，故本题需要分CEG=90ECG=90两种情况进行讨论.情况中，连接CE，因为CEG=90，所以CEx轴，故E的纵坐标与C的纵坐标相同，由此即可求出点E的坐标.情况中，过点C做BC的垂线，与BC上方的抛物线的交点即是点E的位置.过点E做y轴的垂线可得到等腰直角三角形，利用其性质求得E点坐标.,解：（3）ECG是直角三角形，EFx轴，如解图有两种情况：E为直角顶点，CEG=90，则C、E两点纵坐标相等为3，由x22x3=3得E点坐标为(2，3)；,例 3 题解图 ,C为直角顶点，ECG=90，过E作EQy轴于点Q,设EQ=x，OB=OC=3，OCB=ECQ=45，EQ=QC=x, QC+OC=x+3=y=x22x3,解得E点坐标为(1，4).综上可知点E坐标为(2，3)或(1，4).,例 3 题解图 ,（4）如图，设DC延长线与x轴交于点N,动点P在抛物线上，当NPC是以NC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标.,例 3 题图 ,【思路点拨】由D,C两点的坐标可求得CD的解析式，可求得N的坐标.本题中设定NC是直角边，所以应该分PCN=90，PNC=90两种情况讨论.当PCN=90时，过点C作NC的垂线，与抛物线的交点即是点P，求出垂线的解析式与抛物线解析式联立即可求出P点坐标；当PNC=90时，过点N作NC的垂线，与抛物线的交点即是点P，求出垂线的解析式与抛物线联立即可求出P点的坐标.注意在求出点P的坐标后要检验结果的合理性.,解：（4）C(0，3)，D（1，4），可得直线CD的解析式为y=x+3,N(-3，0).NPC是以NC为直角边的直角三角形，有两种情况：当C为直角顶点时，CP1CN,则直线CP1的解析式为y=-x+3，由y=-x+3与y=-x2+2x+3联立解得点P1点的坐标为(0，3)或者（3,0），（0,3）与点C重合，不能够成三角形，故不合题意.所以P1坐标为(3，0);,当N为直角顶点时，NPCN,设直线NP的解析式为y=-x+b，把点N(-3，0)代入得b=-3，由y=-x-3与y=-x2+2x+3联立得x2-3x-6=0，解得:x1= , x2= .y1= ，y2= .点P2坐标为( , ），P3坐标为 ( ， ）.,例 3 题解图 ,综所上述，所求点P的坐标为(3，0)，（ , ）或（ ， ）.,例 3 题解图 ,（5）如图，在抛物线的对称轴上求点P，使PBC为直角三角形.,例 3 题图 ,【思路点拨】因为P点在抛物线的对称轴上，因此可以设P（1,t）,使用含有t 的代数式分别表示出PC,PB的长，而B,C两点坐标已知，即可求出BC的长度，根据勾股定理分PC是斜边PB为斜边BC为斜边三种情况列方程求t值，即可知P点坐标.,解：（5）据题意设点P坐标为（1，t）, B(3，0)、C(0，3),BC2=18，PB2=（1-3）2+t2=4+t2，PC2=（1-0）2+（t-3）2=t2-6t+10，若PC为斜边，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；若PB为斜边，则BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4;,若BC为斜边，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18,解之得：t1= ，t2= ；综上所述P的坐标为（1，-2）或（1，4）或（1， ）或（1， ）,(6)如图，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P，使PDC为等腰三角形.若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由,例 3 题图 ,【思路点拨】由C,D两点的坐标可求出CD的长，设P点的横坐标为x，即可使用x表示出PD,PC，因题目中未说明PDC那个角是顶角，故分（1）当D是顶角：根据抛物线的对称性，P的纵坐标应该等于C的纵坐标，即可求出P点的坐标（2）DCP是顶角，因为点D在抛物线的对称轴上，所以抛物线上对称轴右侧的点的距离点C的距离一定大于CD，因此这种情况在对称轴的右侧不存在满足条件的P点.（3）P是顶角，根据PC=PD列方程求解即可，结果要舍去P在对称轴左侧的情况.,若D是等腰三角形的顶角，由C点（0，3）和x=1可得对称点为P1（2，3）满足条件；若DCP是等腰三角形的顶角，C（0，3），D（1，4），而点P在抛物线对称轴的右侧，CPCD，与等腰三角形矛盾，故在抛物线的右侧不存在满足条件的P点.,（6）存在,若P是等腰三角形的顶角，设P2（x，y）， =（3-y）2+x2， =（x-1）2+（4-y）2，（3-y）2+x2=（x-1）2+（4-y）2，将y=-x2+2x+3代入可得：x 或 x （舍），y ，P2（ ， ），故满足条件的点P的坐标为（2，3）或（ ， ）.,例 3 题图 ,（7）如图，若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,例 3 题图 ,【思路点拨】（1）若点Q是直角顶点，因为抛物线和等腰直角三角形都是轴对称图形，所点Q1必为抛物线的对称轴与x轴的交点；（2）若点M或点N为直角顶点时，因为图形的对称性，我们不妨以N点为对象进行探究，此时因为不确定MN在x轴的上方还是下方，所以需要分MN在x轴上方MN在x轴下方进行分类讨论.在每种情况下，根据MN=2QQ1,NQ=MN列方程求解Q点的横坐标，注意验证Q点是否在对称轴的左侧，确定Q点在对称轴左侧的情况后其关于x=1的对称点即是Q点在对称轴右侧的情况.,解：（7）存在.若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1（1，0）；若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时，设Q2（x，0）（x1），则N（x，-x2+2x+3）MN=2Q1Q2=2（1-x），Q2MN为等腰直角三角形，NQ2=MN,-x2+2x+3=2（1-x）,解得x= 或x= ，x1，Q2（ ，0），由对称性可得Q3（ ，0）；,例 3 题图 ,若N是直角顶点，且M、N（x，-x2+2x+3）在x轴下方时：同理设Q4（x，0），（x1），Q1Q4=1-x，而Q4N=2Q1Q4，N在x轴下方，-（-x2+2x+3）=2（1-x）解得x= 或x= x1，x= ，Q4（ ，0），由对称性可得Q5（ +2，0）综上:Q1（1，0），Q2（2 ，0），Q3（ ，0），Q4（ ，0），Q5（ +2，0）；,（8）如图，一动点P从原点O出发以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，连接CP，过点B作直线CP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒随着 点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使MPQ为等边三角形？若存在，求t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由,例 3 题图,【思路点拨】观察点C、P、O、B、Q的位置，为常见的直角三角形全等模型，故可知OP=OQ，若MPQ是等边三角形，则M一定在PQ的垂直平分线上.求出PQ的解析式，与抛物线解析式联立即可求出M点所有可能的坐标.针对每个可能的M值，根据等腰直角三角形OPQ和等边三角形MPQ的性质，求出t的值即可.,解：（8）当t = 时，抛物线上存在点M（ ， ），或当t= 时，抛物线上存在点M（ ， ），使得MPQ为等边三角形理由如下：BQCP，QBO+CPO=90，QBO+BQO=90，BQO=CPO，,例 3 题图,在BOQ和COP中，BQO=CPO, QOB=POC=90，BO=CO,BOQCOP，OP=OQ，OPQ为等腰直角三角形，,例 3 题图,MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线y=-x上，设M（x， -x），代入抛物线解析式y=-x2+2x+3得x1= ，x2= M点可能为（ ， ）或（ ， ）,例 3 题图,如解图，当M的坐标为（ ， ）时，点Q在点C的下方，OM= ,设OM与PQ交于点N，点P运动时间为t秒, OPQ是等腰直角三角形，MPQ是等边三角形，OP=t ,PQ= t, MN= PQ= t, ON= PQ= t,例 3 题解图,OM=ON+MN， t+ t= ；,例 3 题解图,如解图，当M的坐标为（ ， ）时，点Q在点C的上方，OM= ,设直线OM与PQ交于点N，点P的运动时间为t秒, OPQ是等腰直角三角形，MPQ是等边三角形，OP=t, PQ= t, MN= PQ= t,ON= PQ= t,例 3 题解图,t = ，综上所述，当t= 时，抛物线上存在点M（ ， ），或当t= 时，抛物线上存在点M（ ， ），使得MPQ为等边三角形,OM+ON=MN,(9)如图，分别过点D,B作x,y轴的平行线，两线交于点M,连接OM, 点Q是线段MB上一动点，在线段OM上是否存在这样的点P，使POQ为等腰三角形且PMQ为直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,例3题图 ,【思路点拨】OPQ中的内角OPQ和MPQ的内角MPQ互补，因此从这一点进行突破：若MPQ=90，则OPQ=90，从而等腰OPQ中只有OP和PQ才能作为腰，若PQM=90，则MPQ是锐角，故OPQ是钝角，所以OP和PQ是等腰三角形的腰.在每种情况下根据三角形相似求得OP的长度即可知P点的坐标.,解：B（3，0）、M（3，4），直线OM的解析式为y =43x，当QPM=90时，如解图，OPQ=90，只能OP=PQ，设OP=PQ=m，MP=5-m，MPQ=OBM=90，PMQ=BMO，MPQMBO， , ，解得 ，,例3题解图, ， ，PN= ，ON= ，P（ ， ）;,作PNBM，,当MQP=90时，如图，OPQ90，只能OP=PQ=b，,例3题解图,PQOB，PQMOBM，, ，即 ，解得b= ，点P的横坐标为3- = ，代入y = x得，y= ，P（ ， ）.,综上所述，在线段OM上存在这样的点P，使OQP为等腰三角形且MQP为直角三角形，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）,拓展类型 三角形相似问题,1. （2015 黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.,第 1 题图,（1 ）求b,c的值； （2 ）当t为何值时，点D落在抛物线上； （3 ）是否存在t，使得以A,B,D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.,解：（1）由抛物线y= x2+bx+c过点A(0,4)和C(8，0), 可得 c=4 64+8b+c=0 ,解得 c=4 b= ;,第 1 题图,（2）AOP=PEB=90，OAP=90-APO=EPB,AOPPEB，且相似比为 =2,AO=4,PE=2,OE=OP+PE=t+2，又DE=OA=4，点D的坐标为（t+2,4），点D落在抛物线上时，有- (t+2)2+ (t+2)+4=4,解得t=3或t=-2.t0，t=3,故当t为3时，点D落在抛物线上.,(3)存在t,能够使得以A,B,D为顶点的三角形与AOP相似.理由：当0t8时，若POAADB,则 ，即 ,整理，得t2 +16=0,t 无解 ;若POABDA,同理，解得t=-2+2 ，t=-2-2 (负值舍去)；,当t8时，若POAADB,则 ，即 解得t=8+4 ,t=8-4 （负值舍去）; 若POABDA，同理，解得t无解. 综上所述，当t=-2+2 或t=8+4 时，以A,B,D为顶点的三角形与AOP相似.,2. （2015 随州12分）如图，已知抛物线y= (x+2)(x-4)与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴，交抛物线于点D，M为抛物线的顶点.（1）求点A、B、C的坐标；（2）设动点N（-2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；,第 2 题图,（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.,解：（1）令 (x+2)(x-4)=0得 x1=-2, x2=4,点A(-2,0),点B(4,0),将x=0代入y= (x+2)(x-4)得 y=- ,点C(0 , - ).,第 2 题图,（2）如解图，过点A(-2，0)作y轴平行线l，则点B关于l的对称点B（-8,0），M（1，- ）,连接BM与l的交点即为使MN+BN值最小的点N.设直线BM的解析式为y=kx+b,第 2 题解图 ,则 -8k+b=0 k+b=- ，解得 k=- b=-2，y=- x-2.当x=-2时，n=- .,（3）假设存在点P（t, （t+2）(t-4)）,使P、A、B为顶点的三角形与ABD相似.下面分三种情况讨论：（）当点P在第一象限时，显然PBA为钝角，BAD与ABD为锐角，如解图，过D作DEx轴于点E，过P作PFx轴于点F，易得D（2，- ），则AE=4,DE= PF= (t+2)(t-4) , AF=t+2.,第 2 题解图 ,若PAF=DAE,则PAFDAE, ,4 (t+2)(t-4)= (t+2),t1=-2(舍去)，t2=6,当t=6时，PF= ，AF=8，PA= ，又AD= ， , , ，t=6时，PAB与BAD相似，且P（6 , ）.,若PAF=DBE,则PAFDBE, ,2 （t+2）(t-4)= (t+2),t1=-2(舍去),t2=8,当t=8时，AF=10，PF= , PA= ,DB= , , =6, =5,显然 且 t=8时，PAB与ABD不可能相似.,（）点P在第二象限时，根据对称性易知存在点P（-4, ），使PABBDA,(当然，也可以像F（）中一样计算得出)（）点P在x轴下方时，根据对称性易知存在点 P（0, ），使PABBDA.综上所述，存在点P1（6, ）、P2（-4, ）、P3（0,- ）三点使P、A、B为顶点的三角形与ABD相似.,3. （2015 盐城改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与抛物线y=ax2交于A、B两点，与y轴交于点P，点P的坐标为（0，2），点A的到y轴的距离为1，点Q是抛物线上的动点.（1）求A点坐标和抛物线的解析式；（2）如图，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；,第 3 题图,（3）如图，若点Q在y轴左侧，且点T(0,t)（t2）是射线PO上一点，当以P，B，Q为顶点的三角形与PAT相似时，求所有满足条件的t的值.,第 3 题图,解：（1）直线y=x+b经过点P(0，2)，b=2，则y=x+2，由题意可得点A的横坐标为-1，y=-1+2=1，点A的坐标为（-1，1）.抛物线交y=ax2经过点A，a=1,抛物线的解析式为y =x2.,第 3 题图,（2）如解图，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D，根据条件可知ACO=45,QDC=90，故QDC为等腰直角三角形，则QD= QC.,第 3 题图,设Q(m,m2),则C（m,m+2），QC=m+2-m2=-(m )2+ ,QD= QC= - （m ）2+ - （m- ）2+ .故当m= 时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为 ；,第 3 题图,（3）APT=45，PBQ中必有一个内角为45，由题图知，BPQ=45不合题意.解x+2=x2得x1=-1,x2=2,故B（2，4），如解图，若PBQ=45，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q、F.此时满足PBQ45.,第 3 题解图 ,Q（-2，4），F(0,4),此时BPQ是等腰直角三角形，由题意知PAT也是等腰直角三角形.(i)当PTA=90时，得到：PT=AT=1,此时t=1;(ii)当PAT=90时，得到：PT=2,此时t=0.,第 3 题解图 ,如解图，若PQB=45，中是情况之一，答案同上；现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q.则PQB=PQB=45（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q也是符合要求.,第 3 题解图 ,设Q（n，n2）(-2n0)，由FQ2，得n2+(4-n2)222,即n4-7n2+12=0.解得n2=3或n2=4,而-2n0，故n-3，即Q（-3，3）.可证PFQ为等边三角形，PFQ60，PBQ PFQ30.则在PQB中，PQB=45，PBQ30.,第 3 题解图 ,(i)若QPBPAT,则过点A作y轴的垂线，垂足为点E，则ATP=30，则ET= AE= ,AE=1,OT= -1,解得t=1- ;,第 3 题解图 ,(ii)若QBPPAT,则过点T作直线AB垂线，垂足为点G.则TAP=30，设TG=a,则PG=TG=a, AG= TG= a, AP= , a +a= ,第 3 题解图 ,解得a= ,则PT= a= -1,OT=OP-PT=3 ,t=3- .综上所述，所求的t 的值为t =1或t =0或t =1- 或t =3- .,4. （2015 鄂州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=- ，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.（1）直接写出点B的坐标；求抛物线解析式.（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相,似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.,第 4 题图,解：（1） y= x+2当x0时，y=2,当y=0时，x-4，C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x= 对称，点B的坐标为（1，0）.抛物线 y=ax2+bx+c过A(-4，0)，B(1,0),可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1