圆周运动和一般曲线运动课件.ppt
1-2 圆周运动和一般曲线运动,1. 切向加速度和法向加速度,采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。,在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。,切向单位矢量,法向单位矢量,显然，轨迹上各点处，坐标轴的方位不断变化。,1.1 自然坐标系,由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：,由加速度的定义有,切向加速度和法向加速度,1.2 自然坐标系下的加速度,切向加速度和法向加速度,以圆周运动为例：,如图，质点在dt 时间内经历弧长ds，对应于角位移d ，切线的方向改变d角度。,由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢量的增量为,即 与P点的切向正交。因此,加速度,即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：,at称切向加速度，表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，反映质点速度方向变化的快慢。,切向加速度和法向加速度,上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径R 要用曲率半径 代替。,tangential acceleration,normal acceleration,at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？,at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？,at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？,at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？,讨论：下列情况时，质点各作什么运动？,切向加速度和法向加速度,由,的大小为,2. 圆周运动的角量描述,用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线量描述法；也可用一个角度来确定其位置，称角量描述法。,设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的,角位置(angular position)为 ,角位移为 规定反时针为正,平均角速度为,圆周运动的角量描述,角速度,角加速度,角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ；角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。,讨论： (1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。,圆周运动的角量描述,(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为,与匀变速直线运动的几个关系式,比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。,圆周运动的角量描述,线量与角量之间的关系,圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。,0,0+,图示 一质点作圆周运动：,在t 时间内，质点的角位移为，则A、B间的有向线段与弧将满足下面的关系,两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：,线量与角量之间的关系,上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：,将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：,例1,例2,思考题,线量与角量之间的关系,法向加速度也叫向心加速度。,线量与角量之间的关系,将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：,将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：,例1,例2,思考题,法向加速度也叫向心加速度。,例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。,解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：,如图，地面上纬度为 的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动,线量与角量之间的关系,其轨道的半径为,P点速度的大小为,P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为,P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。,线量与角量之间的关系,P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。,例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an分别为：,北京：,上海：,广州：,线量与角量之间的关系,线量与角量之间的关系,例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an分别为：,北京：,上海：,广州：,在t 时刻，质点运动到位置 s 处。,s,s,解：先作图如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的p点处。,线量与角量之间的关系,P,（1） t 时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈。,例题2 一质点沿半径为R的圆周按规律 运动，v0、b都是正的常量。求：,（2）令a = b ，即,R,o,s,（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:,线量与角量之间的关系,（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经 的弧长为,它与圆周长之比即为圈数：,R,o,s,线量与角量之间的关系,得,线量与角量之间的关系,（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经 的弧长为,它与圆周长之比即为圈数：,R,o,s,得,1.判断下列说法的正、误：,a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。,b. 平均速率等于平均速度的大小。,d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。,例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。,思考题,思考题,3. 抛体运动方程的矢量形式,抛体运动： 从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动。,以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛射角为 ，,加速度恒定,任意时刻的速度为：,则初速度分量分别为：,抛体运动的矢量描述,将上式积分，得到运动方程的矢量形式为,抛体运动方程的矢量形式,消去时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为,抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。,令y = 0 ，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标H ，它就是射程：,根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为：,抛体运动方程的矢量形式,运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：,知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析方法称为运动的分解。,由方程,抛体运动方程的矢量形式,这种分解方法可用 下图说明,还可用子弹打猴子的古老演示来证实：,抛体运动方程的矢量形式,猎人瞄准树上的猴子射击，猴子一见火光就跳下（自由下落），却不能避开子弹。,
