《数值分析》课件.ppt
1,数值分析,主讲数值分析课题组Chenning,2,数值分析课程简介,数值分析主要包括计算方法和数值方法两部分。它是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个重要的数学分支，它主要涉及到代数、微积分、微分方程的数值解等问题。,数值分析及计算的主要任务，就是研究适合于在计算机上使用的的数值计算方法及与此相关的理论，如方法的收敛性、稳定性及误差分析等。此外，还要根据计算机的特点，研究计算时间最短、需要计算机内存最优等计算方法问题。,数值分析,3,第一章 数值计算中的误差分析,第二章 线性方程组的直接解法,第六章 曲线拟合,第七章 数值积分与数值微分,第九章 常微分方程的数值解法,目 录,第八章 非线性方程的数值解法,第五章 函数插值,第三章 线性方程组的迭代解法,第四章 矩阵特征值特征向量的计算,数值分析,4,第一章 数值计算中的误差分析,（一） 误差的来源；（二） 绝对误差、相对误差和有效数值;（三） 数值计算中误差的传播；（四） 数值计算中应注意的问题。,数值分析,5,第一节 误差与数值计算的误差估计,第二节 选用和设计算法 适应遵循的原则,数值分析,6,误差与数值计算误差估计,一 误差的来源与分类,二 误差与有效数字,数值分析,7,一 误差的来源与分类,按照误差的来源,误差可以分为:模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差四种.,1. 模型误差 用数值计算方法解决问题时,首先必须建立数学模型.由于实际问题的复杂性,在对实际问题进行抽象与简化时,往往为了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,这样就会使得建立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述,它与实际问题之间总会有一些误差.我们把这种数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差.,数值分析,8,2 观测误差 在数学模型中往往有一些观测或实验得来的物理量,由于测量工具和测量手段的限制,它们与实际量大小之间必然存在误差,这种误差称为观测误差.,3 截断误差 由实际问题建立起来的数学模型,在很多情 况下要得到准确解是困难内的,通常要用数值方法求出它的近似解.这种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差,由于截断误差是数值计算方法固有的,故又称为方法误差.,9,4 舍入误差 用计算机进行数值计算时,由于计算机的数位有限,计算时只能对超过位数的数字进行四舍五入,由此产生的误差称为舍入误差.,二 .误差与有效数字,1 绝对误差与绝对误差限,e=x-x*.,称为近似值x*的绝对误差限。,简称误差限或精度.,设x*为准确值x的一个近似值，称,为近似值x*的绝对误差,10,有了误差限和近似值，可得到准确值范围,易知，由四舍五入所得到的数，其误差限一定不超过被保留数的最后数位上的半个单位,11,例：问3.142,3.141,22/7分别作为 的近似值各具有几位有效数字？,3.142具有4位有效数字；,3.141具有3位有效数字；,22/7具有3位有效数字。,12,2 绝对误差、相对误差和其误差限,设x*为准确值x的一个近似值，称绝对误差限与准确值之比为近似值x*的相对误差。记:,称为x*的相对误差限。,若存在正数 ,使得,13,3 有效数字,有效数字。,自左向右看，第一个非零数,误差不超过该数的半个单位。,14,15,例1-1：,例1-2：,16,绝对误差（限）,相对误差（限）,有效数字,有效数字与绝对误差、相对误差的关系,17,4 有效数字与绝对误差、相对误差的关系：,18,解,EX:P13.5,19,小结,模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差,绝对误差 绝对误差限,相对误差 相对误差限,有效数字 有效数字与绝对误差、相对误差的关系,20,第二节 选用和设计算法适应 遵循的原则,一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播,二、尽量简化计算步骤以减少计算次数,三、尽量避免两个相邻的数相减,四、小结,21,1、基本运算的误差估计,设 在点 可微,当数据误差较小时，解的绝对误差为,22,解的相对误差为,注:函数的和、差、积、商的部分误差公式为：,23,可得：,即：和、差的误差限不超过各数的误差限的和，积、 商的相对误差限不超过各数的相对误差限的和。,则 的相对误差为x相对误差的n倍。特别有 相对误差为x相对误差的0.5倍。,例1、设 ,求y的相对误差与x的相对误差之间的关系。,解：由公式知，,24,(1),(2),算法1：x=0.182322for n=1:20 n x=-5*x+1/nend,算法2：x=0.00873016for n=20:-1:1 n-1 x=-(1/5)*x+1/(5*n)end,x =0.1823 n =1 x = 0.0884 n =2 x =0.0581 n = 3 x = 0.0431 n = 4 x = 0.0346 n = 5x = 0.0271 n =6 x = 0.0313 n =7 x =-0.0134 n = 8 x =0.1920 n = 9 x = -0.8487 n =1x = 4.3436 n =11 x =-21.6268 n =12 x =108.2176 n =13 x =-541.0110 n =14 x =2.7051e+003n =15 x = -1.3526e+004 n =16 x =6.7628e+004 n =17 x = -3.3814e+005 n =18 x =1.6907e+006 n =19 x =-8.4535e+006 n =20 x =4.2267e+007,x = 0.0087 ans = 19 x = 0.0083 ans = 18 x = 0.0089 ans =17 x = 0.0093 ans = 16 x = 0.0099 ans = 15 x = 0.0105,EX,25,一个算法是否稳定是非常重要的，如果算法不稳定，则数值的结果就会严重背离数学模型的真实结果。在选择数值计算公式来进行计算时，应用在数值计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。,一、选用数值稳定的计算公式，控制舍 入误差的传播,例 1 计算定积分,(1.2.1),26,解 算法一 利用分部积分法不难求得递推关系式:,27,则由以上的 的不等式可以看出,28,算法二,29,30,31,s0=1-exp(-1);s1=1-s0;for n=2:20 s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20),s(30)=1/31;for n=30:-1:2 s(n-1)=(1-s(n)/n;ends(1:20),32,二、尽量简化计算步骤以减少计算次数,同样一个问题,如果能减少运算次数,不但可以节省计算机的计算时间,而且还能减少舍入误差,这是数值计算必须遵守的原则.,例2,解,33,三、尽量避免两个相邻的数相减,在数值计算中，两个相近的数相减会造成有效数字的严重损失。这种情况，应当多保留两个数的有效数字，尽量避免减法运算，改变计算方法如可通过因式分解、分子分母有理化、三角函数恒等式、其他恒等式、Taylor展式等计算公式，防止减法运算的出现。,例3,解,34,35,除了以上的三条运则外， 在实际计算中还要注意以下两原则：绝对值太小的数不宜作除数、合理安排运算顺序,防止大数“吃掉”小数。,例5 求解二次方程,解：利用因式分解易得,若用求根公式得：,用8位小数的机器处理时，有 易得显然是错误的；处理方法是改写差式，才得有效结果。,36,六、小结,
