高等数学函数的概念课件.ppt
,主讲教师：,总课时：,124,第一讲,函数的概念,高等数学,1,2022/11/30,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,2,2022/11/30,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续.,2. 微积分学:,1)多元函数微分学,4. 常微分方程,主要内容,2) 一元积分学.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) 一元微分学;,3. 多元微积分:,2) 二重积分;,3,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .,第一节 目录 上页 下页 返回 结束,华罗庚,4,谢谢观赏,2019-8-23,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,5,谢谢观赏,2019-8-23,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,6,谢谢观赏,2019-8-23,三、高等数学 的性质与作用,高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。,高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。,通过本课程的教学，使学生掌握较完整的高等数学基本知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、综合运用能力和数学语言及符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法分析问题和解决问题的能力，并逐步培养学生科学求实、严谨准确的作风。通过本课程教学，与其它数学基础课共同达到全面提高学生数学素质的目的。,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,7,谢谢观赏,2019-8-23,第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数、极限、连续,8,谢谢观赏,2019-8-23,第一章,二、函数,一、集合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1 函数,9,谢谢观赏,2019-8-23,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 集合,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,谢谢观赏,2019-8-23,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集合,和,有理数集, 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,谢谢观赏,2019-8-23,无限区间,半开区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间,12,谢谢观赏,2019-8-23,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,13,谢谢观赏,2019-8-23,主讲教师：陈殿友,总课时：,124,第二讲,函数的概念,高等数学,14,谢谢观赏,2019-8-23,二、函数,1. 函数的概念,定义2. 设有两个变量x和y，如果对于x所考虑范围内的每一个值，y按一定的规则对应着一个确定的值，则称y是x的函数，记作y=f(x).,定义3. 对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y有一个确定的值y 0与之对应，我们称函数在点x0处是有定义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化范围）称为函数的定义域。,定义域,自变量,因变量,15,谢谢观赏,2019-8-23,f ( D ) 称为值域,函数图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,谢谢观赏,2019-8-23,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,谢谢观赏,2019-8-23,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,(见上册 P11 ),例如 函数f(x)=sinx在（-，+）内是有界的，数1就是它的一个上界，数-1就是它的一个下界。,为有界函数.,在 I 上有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,| sinx|1,又如,对于任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx （-，+）内是有界的. 这里的M =1（当然也可以取大于1的任何数M而使 | f(x)| M成立）.,18,谢谢观赏,2019-8-23,例如 f(x)=x2在区间0，+）上是单调递增的，而在区间（ - ， 0上是单调递减的.在区间（-，+）上不是单调的.,又如，函数f(x)=x3在区间（-，+）内是单调增函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 单调性,当,时,称,为 I 上的,称,单调增函数 ;,单调减函数 .,为 I 上的,19,谢谢观赏,2019-8-23,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,谢谢观赏,2019-8-23,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,谢谢观赏,2019-8-23,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,谢谢观赏,2019-8-23,主讲教师：陈殿友,总课时：,124,第三讲,函数的概念,高等数学,23,谢谢观赏,2019-8-23,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,习惯上,的反函数记成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,设函数y=f(x),当变量x在一个区域Df内变化时，变量y在区域Rf内变化，如果对于变量y在区域Rf内任取一个值y0，变量x在区域Df内有x0，使y0=f(x0),则x变量是y变量的函数,用 表示，函数 称为函数y=f(x)的反函数.,24,谢谢观赏,2019-8-23,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数,25,谢谢观赏,2019-8-23,(2) 复合函数,则,两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程.设有如下两个函数,称为由, 确定的复合函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数 :,函数,但函数,不能构成复合函数 .,可定义复合,26,谢谢观赏,2019-8-23,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,27,谢谢观赏,2019-8-23,4.函数的运算：加法，乘法，商。,设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D=D1D2,则我们可以定义这两个函数的下列运算:,和(差)fg:,（fg)(x)=f(x) g(x), xD;,积f.g：,（f.g)(x)=f(x).g(x), xD;,商,28,谢谢观赏,2019-8-23,例：,设函数f(x)的定义域为(-l,l)，证明必存在的偶函数,g(x)及奇函数h(x),使得,f(x)=g(x)+h(x).,证,先分析如下：假如这样的g(x)、h(x)存在，使得,f(x)=g(x)+h(x)，,且,g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x).,于是有,f(x)=g(x)+h(x),=g(x)h(x).,29,谢谢观赏,2019-8-23,利用（）（）式，就可作出,们作如下证明：,作,这就启发我,则,g(x)+h(x) = f(x).,且,30,谢谢观赏,2019-8-23,5. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,( 自学, P17 P21 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,谢谢观赏,2019-8-23,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,谢谢观赏,2019-8-23,例5. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,谢谢观赏,2019-8-23,内容小结,1. 集合的概念,定义域对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性,奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,作业 练习题1.1,2. 函数的定义及函数的二要素,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,34,谢谢观赏,2019-8-23,且,备用题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,谢谢观赏,2019-8-23,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,谢谢观赏,2019-8-23,
