高等代数考研复习多项式ppt课件.pptx
高等代数考研复习 第五章 多项式,2013年 8月,第五章 多项式,多项式理论是古典代数的主要内容.多项式的研究,源于“代数方程求解”,是最古老的数学问题之一.多项式理论是高等代数中较为独立的部分,本章复习内容分为三个部分：(1) 多项式的整除及最大公因式(2) 多项式的因式分解与重因式(3) 常见数域上的因式分解问题,1.多项式的整除及最大公因式,1.1 多项式的有关概念形如 的表达式称为系数在数域P上的一元n次多项式，记 称为多项式的次数.当n=0时且 称为零次多项式，当 时称为零多项式，零多项式不定义次数.次数公式：,多项式的相等：两个多项式相等当且仅当它们的次数相等，且同次项的系数相等.多项式的运算：多项式可以进行加法、乘法运算并满足交换律、结合律.乘法满足消去律即，若 则1.2 带余除法定理 对任意的 则一定存在使得 且 或,这里 称为商式， 称为余式.余数定理：当 时有， 除 所得余式为1.3 多项式的整除 (1)定义：对于多项式 若存在多项式 使得 则称 整除 记为 的充分必要条件为：,当 时称 为多项式 的根.(2)性质： a) b) 且 则 c) 且 则 d) 若 则多项式的整除与带余除法定理不因系数域的扩大而改变.,题型：1)带余除法方法与综合除法例1 设求 除 的商及余式.例2 求 除以 的余式.例3 将 按 的方幂展开.2）整除的应用例4 确定m、p的值，使,例5 证明：例6 如果 证明：例7 若 问是否有例8 证明：如果 则 的根只能是零或单位根.,1.4 最大公因式 1)定义:对任意多项式 称 为 的一个最大公因式， 如果：a) b)若 是 的任意公因式，都有 表示首项系数为1的 的最大公因式.,2)最大公因式存在定理:对任意多项式一定存在他们的最大公因式 并且3)最大公因式求法-辗转相除法依据：当最后余数为零时，上一次除法的余式为最大公因式.,例 求多项式的最大公因式,并且将最大公因式表示为的一个组合.1.5 多项式的互素 1)定义：若 则称 是互素的. 2)互素的判别定理： 互素的充分必要条件是：存在多项式 使得,3)互素的性质: a)若 且 则 b)若 且 则 c)若 则推论：若例1 证明：,例2 设且 证明：例3 设 不全为零，证明：例4 如果 证明：,例5 证明：,能整除,的充分必要条件是：n是偶数.,2.多项式的因式分解与重因式2.1不可约多项式1)定义：数域P上一个次数 的多项式 如果不能表成数域P上的两个次数比 次数低的多项式的乘积，称 为P上的不可约多项式.2)性质： a)一次多项式一定是不可约多项式. b) 是不可约多项式，则它的因式只有非零常数和,c)若 是P上的不可约多项式，对任意的必有 或 d) 是P上的不可约多项式，若 则 或3)不同数域上的不可约多项式类型 a) 在复数域上，不可约多项式只能是一次多项式. b) 在实数域上，不可约多项式只能是一次多项式或判别式小于零的二次多项式.,c) 在有理数域上存在任意次的不可约多项式，如 在有理数域上不可约.2.2 多项式因式分解定理数域P上每个次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积. (定理只具有理论意义！)标准分解式:数域P上每个次数 的多项式 都可以分解成,2）利用标准分解式可求两个多项式的最大公因式.例 已知 ，求,2.3 重因式及多项式的根 1)重因式的定义：设 是数域P上的不可约多项式，如果 但是则称 是 的一个k重因式. 当k=1时，称为单因式，k1时，称为重因式. 2)重根：若 但 则称 是 的k重根. 重因式依赖于数域.多项式有k重因式，不一定有k重根；反之，多项式有k重根必有k重因式！,3)重因式的性质 a)如果不可约多项式 是 的k重因式，那么 也是 的k-1重因式.反之不真，且 的单因式不是 的因式. 例如 b)如果 是 的k重因式，那么 也是 的因式，但不是 的因式. c) 是 的重因式的充分必要条件是：,是 的公因式.即 d)设 的标准分解式为则即它与 有完全相同的不可约因式.,题型分析：这部分题目主要是对重因式与重根概念与性质的应用,只有深刻理解概念与性质，才可能处理好这些问题!例1 求 有重因式的条件，并确定重因式.,例2 已知 试确定p的值，使 有重根，并求根.,例3 证明： 没有重根.,例4,如果a是,的一个k重因式，证明：a是,的一个k+3重因式。,例5,证明：,例6,当正整数n取何值时，都有,例7,设,若,那么,例7的应用，设,为n次复系数多项式，且,证明：,有n+1重零根.,例8 证明：,设,是首项系数为1且次数大于,零的多项式.那么 是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：,必有,或对某一正整数m，有,例9 设,都是次数不大于n-2,的式系数多项式，证明：对任意数,都有,3 常见数域上多项式的因式分解问题,3.1复数域上的因式分解问题,1)代数学基本定理：每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域上有一根.,2)复系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于1的的复多项式在C上可以唯一地分解为一次因式的乘积.,3.2 实数域上的因式分解问题,1) 实系数多项式虚根成对定理：实系数一元多项式如果有虚根 则 也是这个多项式的根.,2)实系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于1的的实多项式在R上可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积.,3.3 有理数域上的因式分解,2)本原多项式:系数没有异于 的整系数多项式.,1)任一有理系数多项式总可以表示成一个有理数域一个整系数多项式的乘积.,3)如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个整系数多项式的乘积.,4) 整多项式有理根存在判别定理：设整系数多项式,有有理根,则,特别，若,则多项式只有整数根.,5) 整多项式不可约判别法：（艾森斯坦因判别法),设,是整系数多项式,如果存在一个素数p，使得,a),b),c),则多项式在Q上不可约.,题型分析:1)特殊多项式的因式分解；,2)有理根判定；,3)可约性判定。,例1,(1)将,分别在C与R上因式分解.,(2)求,在C与R上的,标准分解式.,例2 设a为实数，证明：,最多只有一个实根(重根只算一个).,例3 设,其中a,b是整数，试求全部的a,b使得,有公共的有理根，并求出相应的有理根.,例4 设,是整系数多项式，,如果,均为奇数，且,至少有一个,奇数，证明 无有理根.,例5 判别,在Q上的可约性.,例6 判别,在Q上的可约性.,例7 求所有整数m，使得,在Q上可约。,例8 设,是不同的整数.证明：,(1),在Q上不可约.,(2),在Q上不可约.,例9 设,其中p是素数.证明：不存在整数m，使得,泛函微分方程解的零点分布研究,2012院级专项课题申请报告数学系 郭忠海,泛函微分方程解的零点分布研究,2012院级专项课题申请报告数学系 郭忠海,
