第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义课件.ppt

第九章 二次型,9.1 二次型和对称矩阵9.2 复数域和实数域上的二次型9.3 正定二次型9.4 主轴问题,研究对象：,二次齐次多项式,(1)也叫二次型,(2)在数学和物理的许多分支都有重要应用,(3)展现矩阵的无穷魅力,1,谢谢观赏,2019-8-17,9.1 二次型和对称矩阵,学习目标： 1.掌握二次型及其矩阵的定义， 2.理解变量的线性变换 3.掌握矩阵合同的概念 4.掌握二次型的标准形,2,谢谢观赏,2019-8-17,一、二次型及其矩阵,1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式,叫做F上的n 元二次型，简称二次型,注：（1）二次型的特点,（ii）每项都为二次项,(2)例：下列是否二次型,答:不是,答:不是,答:是,3,谢谢观赏,2019-8-17,1）分析：,2、二次型的表示,约定aij=aji，,4,谢谢观赏,2019-8-17,其中矩阵A称为二次型 的矩阵.,2）分析：,计算,5,谢谢观赏,2019-8-17,于是有,6,谢谢观赏,2019-8-17,3）总结：,7,谢谢观赏,2019-8-17,4）说明:,ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定,正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.,i）二次型的矩阵A是对称矩阵,即,（这表明二次型,完全由对称矩阵A决定.),8,谢谢观赏,2019-8-17,3、例题:,1）求下列二次型的矩阵,2）求下列矩阵的二次型,4、定义:,A的秩,1）例，求下列二次型的秩,9,谢谢观赏,2019-8-17,二、变量的线性变换,1、定义：,是两组变量,关系式,称为,变量的线性变换,10,谢谢观赏,2019-8-17,2、分析：,变量的线性变换,11,谢谢观赏,2019-8-17,3、定义：,注：,12,谢谢观赏,2019-8-17,即，B为对称矩阵.,4、分析：,也是二次型.,13,谢谢观赏,2019-8-17,5、总结：,（2）问：,经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩,保持不变,（3）例：,（1）问：,非奇异线性变换,实施变量的,得到的二次型的矩阵为,14,谢谢观赏,2019-8-17,三、矩阵的合同,1、定义：设A，B为n 阶矩阵，,2、基本性质, 传递性：, 自反性：, 对称性：,若存在可逆矩阵P，可使,则称B与A合同。,若A与B合同,如果B与A合同，那么A也与B合同,如果 A 与 B 合同，B 与 C合同，那么A 与 C合同。,3、性质:,任意矩阵A都与自身合同,15,谢谢观赏,2019-8-17,4、比较：合同，相似,A与B合同,A与B相似,16,谢谢观赏,2019-8-17,F上两个二次型等价，是指：可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.,5、定义：,6、分析 ：,7、结论：,8、问：,17,谢谢观赏,2019-8-17,1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型,它的矩阵是对角阵,平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？,2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成,四、二次型的标准形,18,谢谢观赏,2019-8-17,证明：,对二次型变量个数n作归纳法.,假定对n1元二次型结论成立. 下面考虑n元,过非退化线性替换化成平方和的形式.,3、定理：数域F上任一二次型都可经,二次型,分三种情形来讨论：,1) aii ( i =1 , 2 , , n ) 中至少有一个不为零，,不妨设 a11 0 , 这时,19,谢谢观赏,2019-8-17,20,谢谢观赏,2019-8-17,这里，,配方法,21,谢谢观赏,2019-8-17,它是非退化的，,且使,22,谢谢观赏,2019-8-17,使它变成平方和,于是，非退化线性替换,由归纳假设，对 有非退化线性替换,23,谢谢观赏,2019-8-17,就使 变成,24,谢谢观赏,2019-8-17,不为零.,由情形1）知，结论成立.,则,这是一个 的二次型，且 的系数,25,谢谢观赏,2019-8-17,这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立.,总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性,替换化成平方和的形式.,即,26,谢谢观赏,2019-8-17,4、二次型的标准形的定义:,所变成的平方和形式,注：1）由上定理知任一二次型的标准形是存在的.,2）可应用配方法得到二次型的标准形.,27,谢谢观赏,2019-8-17,则,解：作非退化线性替换,5、例：求,的标准形.,28,谢谢观赏,2019-8-17,或,最后令,则,或,再令,29,谢谢观赏,2019-8-17,所作的非退化线性替换是,即,则,30,谢谢观赏,2019-8-17,6、定理：数域F上任一对称矩阵合同于,一个对角矩阵.,31,谢谢观赏,2019-8-17,五、合同变换法,矩阵的第 i 列.,32,谢谢观赏,2019-8-17,2、合同变换法化二次型为标准形,又，,设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵,（1）基本原理：,C, 使.,33,谢谢观赏,2019-8-17,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足,就相当于对A作s次合同变换化为D.,所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，,又注意到,所以，,34,谢谢观赏,2019-8-17,（2）基本步骤：,对A作合同变换化为对角矩阵D,对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C, 作非退化线性替换X=CY，则,即,为标准形.,D为对角阵,且,35,谢谢观赏,2019-8-17,3、例：用合同变换求下面二次型的标准形,36,谢谢观赏,2019-8-17,37,谢谢观赏,2019-8-17,作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形,令,则,38,谢谢观赏,2019-8-17,对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性可利用这一点检查计算是否正确.）,对A作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的.,可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.,4、说明：,39,谢谢观赏,2019-8-17,作非退化线性替换,f 的标准形为,5、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换.,答案：,40,谢谢观赏,2019-8-17,的矩阵为,详解：,41,谢谢观赏,2019-8-17,42,谢谢观赏,2019-8-17,43,谢谢观赏,2019-8-17,令,则,作非退化线性替换X=CY ，则 f 的标准形为,44,谢谢观赏,2019-8-17,小结,1、二次型的标准形,基本概念,基本结论,定理2、数域P上对称矩阵合同于一 个对角矩阵.,定理1、任一数域P上的二次型 f (x1,x2,xn) 可,经过非退化线性变换XCY化为标准形,2、合同变换,45,谢谢观赏,2019-8-17,9.2 复数域和实数域上的二次型,学习目标： 1掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、 2. 掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。 3掌握实二次型的惯性定律.,46,谢谢观赏,2019-8-17,复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.,一、 复二次型,1、定理： 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.,证：条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性. 设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r ，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得,即：两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.,47,谢谢观赏,2019-8-17,48,谢谢观赏,2019-8-17,取 n 阶复矩阵,的一个平方根.,49,谢谢观赏,2019-8-17,那么 ，而,因此，矩阵A，B 都与矩阵,合同，所以A与B合同.,50,谢谢观赏,2019-8-17,二、实二次型,1、定理：实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于如下形式的一个矩阵：,（1）,这里 r 等于A的秩.,证： 由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得,51,谢谢观赏,2019-8-17,如果r 0 ，必要时交换两列和两行，我们总可以假定,52,谢谢观赏,2019-8-17,取,那么,53,谢谢观赏,2019-8-17,2、定理：实数域上n 元二次型都与如下形式的二次型等价：,（1）,这里 r 是所给的二次型的秩.,注: 二次型（1）叫做实二次型的典范形式，该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价. 在典范形式里，平方项的个数 r 等于二次型的秩，因而是唯一确定的.,54,谢谢观赏,2019-8-17,3、定理 （惯性定律）：设实数域上n元二次型,等价于两个典范形式,（2）,（3）,那么,证： 设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换,（4）,（5）,55,谢谢观赏,2019-8-17,（6）,因为 所以 因此，方程组（6）在R内有非零解. 令 是（6）的一个非零解. 把这一组值代入 的表示式,56,谢谢观赏,2019-8-17,（4）和（5）. 记,我们有,57,谢谢观赏,2019-8-17,然而,所以,因为 都是非负数，所以必须,又 所以 是齐次线性方程组,的一个非零解.这与矩阵 的非奇异性矛盾.,58,谢谢观赏,2019-8-17,这就证明了 . 同理可证得 . 所以,4、总结：实二次型都与唯一的典范形式（1）等价. 在（1）中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数p与负项的个数 r p 的差s = p (r p) = 2p r 叫做所给的二次型的符号差. 注意：一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的.,59,谢谢观赏,2019-8-17,5、定理：实数域上两个 n 元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差.,证 设 是实数域上两个n元二次型. 令 分别是它们的矩阵. 那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得,如果 等价，那么 合同. 于是存在实可逆矩阵Q 使得 . 取 ，那么,60,谢谢观赏,2019-8-17,因此 都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差.,61,谢谢观赏,2019-8-17,合同. 由此推出 合同，从而 等价.,证 给定 . 令,62,谢谢观赏,2019-8-17,由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价. 当 r 取定后，p 可以取0，1， ，r ；而 r 又可以取0，1，n 中任何一个数. 因此这样的 共有,个. 对于每一个 ，就有一个典范形式,63,谢谢观赏,2019-8-17,7、例 ：a 满足什么条件时，二次型,的惯性指标是0，符号差是2 ？写出其典范形。,64,谢谢观赏,2019-8-17,解 实二次型 的矩阵为,经过合同变换可化为标准形,所以当 或 时，二次型的惯性指标是0，符号差是2，其典范形为,65,谢谢观赏,2019-8-17,三、小结,基本概念：,这里， 秩( f ).,2、 n元实二次型 的规范形,这里， 秩( f )，p 称为 f 的正惯性指数；,称为 f 的负惯性指数；称为 符号差.,1、n元复二次型的规范形,66,谢谢观赏,2019-8-17,基本结论,定理、任意一个复系数二次型，经过一适当的,非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.,即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵,推论、两个复对称矩阵A、B合同,67,谢谢观赏,2019-8-17,定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化,线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.,即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵,其中 的个数等于矩阵的秩.,68,谢谢观赏,2019-8-17,推论、两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是,正惯性指数相等.,且二次型与的,69,谢谢观赏,2019-8-17,学习目标： 1掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。,9.3 正定二次型,70,谢谢观赏,2019-8-17,一、正定二次型与正定矩阵,1基本概念,i）正定二次型,ii）正定矩阵,实对称矩阵 称为正定的，如果二次型,71,谢谢观赏,2019-8-17,2、例：下列实二次型是否为正定的二次型：,1）,2）,3）,72,谢谢观赏,2019-8-17,从而,例： 若 ， 都是 阶正定矩阵， 证明： 是正定矩阵。,由 ， 都是正定矩阵，知 ， 正定，,73,谢谢观赏,2019-8-17,实二次型 是正定的当且仅当 .,证明：若 正定，则对任意一组不全为零的实数 ，都有 . 分别选取 为 ，则有 .,若 .则对任意一组不全为零的实数 ，都有,74,谢谢观赏,2019-8-17,非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变. 设实二次型,(1),经过非退化实线性替换,(2),变成二次型,(3),则 是正定的 是正定的。,75,谢谢观赏,2019-8-17,证明： 若 是正定的。对于任意一 组不全为零的实数 ，令,由于 是可逆实矩阵，故 也是一组不全为零的实数，从而,因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换,变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时，（1）也正定.,76,谢谢观赏,2019-8-17,二、正定二次型的判别,1判别定理1：,实二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 .,实二次型 是正定的 它的规范形为 。,一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同.,例： 正定矩阵的行列式大于零. 逆命题不成立。,反例：,的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。,77,谢谢观赏,2019-8-17,提示：,2矩阵的顺序主子式：,称为矩阵 的顺序主子式.,矩阵 的第 个顺序主子式为,练习： 若 是 阶实矩阵，则满足（ ）时， 是正定矩阵。,78,谢谢观赏,2019-8-17,称为矩阵 的顺序主子式.,3判别定理2：实二次型,是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零.,79,谢谢观赏,2019-8-17,4、例： 判定二次型,是否正定.,的矩阵为,，它的顺序主子,式,所以， 正定。,80,谢谢观赏,2019-8-17,A ， B. 非退化， C. 的元素全是正实数， D. 的主对角上元素全为正。,练习： 若 是正定矩阵，则下列结论错误的是（ ）。,81,谢谢观赏,2019-8-17,三、小结,1、正定二 次型；,基本概念：,2、顺序主子式、主子式,正定矩阵；,基本结论：,1、非退化线性替换保持实二次型的正定,性不变.,82,谢谢观赏,2019-8-17,3、实二次型 f (x1,x2,xn)XAX 正定,负定.,2、实二次型 正定,A 与单位矩阵 E 合同，即存在可逆矩阵C，使,ACC,A 的各级顺序主子式全大于零,f 的正惯性指数 p 等于 n,4、实对称矩阵 A 正定,83,谢谢观赏,2019-8-17,9.4 主轴问题,学习目标 1掌握变量的正交变换 2掌握将实二次型通过变量的正交变换化为 只含平方项的二次型,84,谢谢观赏,2019-8-17,一、变量的正交变换,我们已经看到, 实数域上一个二次型 可以经过变量的非奇异变换,化为二次型,85,谢谢观赏,2019-8-17,1、定义: 将n元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型问题, 这个问题称为二次型的主轴问题. 注：(1)这里所说的变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵.,(2)由于正交矩阵是非奇异的, 所以变量的正交变换是非奇异的.,(3)即：给一个实对称矩阵A, 要寻求一个正交矩阵U, 使得 是对角形式,86,谢谢观赏,2019-8-17,2、定理： 设,是实数域上一个二次型, 那么总可以通过变量的正交变换,化为 这里U是一个正交矩阵,而 是二次型 的全部特征根.,87,谢谢观赏,2019-8-17,证 是一个n 阶实对称矩阵.由定理8.4.3 和 8.4.6,存在一个正交矩阵U , 使得,这里 是A的全部特征根.这也就相当于说以A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式 ,88,谢谢观赏,2019-8-17,1、推论: 设,是实数域上一个n元二次型, 是它的矩阵.,(i) 二次型 的秩等于A 的不等于零的特征根的个数, 而符号差等于A 的正特征根个数与负特征根个数的差. (ii) 二次型 是正交的必要且只要A的所有特征根都是正数.,二、实对称矩阵的相似对角形,89,谢谢观赏,2019-8-17,2. 例: 已知实二次型,(1) 用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交线性变换； (2) 求出的秩、惯性指标与符号差.,解 （1） 的矩阵为,求 f 的全部特征根：因为,90,谢谢观赏,2019-8-17,故的全部特征根为 （二重）， 。,对特征根 ，解齐次线性方程组,得一基础解系：,91,谢谢观赏,2019-8-17,对特征根 ，解齐次线性方程组,得一基础解系：,92,谢谢观赏,2019-8-17,以 为列作一个正交矩阵,93,谢谢观赏,2019-8-17,则,于是 经过正交线性变换 ，化为标准形,（2） 由（1） 的秩为2，惯性指标 ，符号差 .,94,谢谢观赏,2019-8-17,