最短路径问题(将军饮马问题)课件.ppt

最短路径问题将军饮马问题及延伸,为什么有的人会经常践踏草地呢？,绿地里本没有路，走的人多了 ,禁止践踏,两点之间，线段最短,在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。,A,B,P,思考：本题运用了 .,两点之间，线段最短.,l,将军饮马问题：,两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：,将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？,这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。,如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？,A,B,B,P,作法：,（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B,（2）连结BA，交MN于点 P；,所以 点P就是所求的点,M,N, BP+AP BP+AP，即AP+BP最小,N,A,B,P,B,P, 直线MN是点B、B的对称轴，点P、P在对称轴上，BP=BP，BP=BP,在MN 上任取另一点P，,连结BP、BP、AP 、BP ,证明：,在ABP中，ABAP+BP，, BP+AP=BP+AP =BA,M, BP+AP= BP+AP,变式1：已知：P、Q是ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使PQR的周长最短吗？,如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？,O,M,N,.,.,.,.,如图:已知 内一点A,求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小,作法:(1)作点A关于OM、 ON的对称点A、A,(2)连结A和A，交OM于B,交ON于C,则点B、C为所求。,11,可编辑,变式1：已知P是ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使PQR的周长最短吗？,如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。,两点在两相交直线内部,答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.,A,B,A,B,M,N,变式1：已知： MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。,A,B,C,D,变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？,.,.,.,.,.,.,A,A,B,B,C,D,M,O,N,变式2：,课堂小结：,今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？,1、确定对称轴，找出定点的对称点。,2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。,本节课研究问题的基本过程是什么？,把实际问题变成数学问题或数学模型,推理,猜想,证明,得出结论,应用到实际问题中,课后拓展：,在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？,A,B,D,C,M,N,谢谢，再见！,21,可编辑,