曲面及其方程课件.ppt
一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、小结与教学基本要求,第三节 曲面及其方程,1,水桶的表面、地球的表面等等,在空间解析几何中,曲面被看成,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,空间点的几何轨迹,曲面方程的定义：,2, 研究空间曲面的两个基本问题：,1. 已知曲面的形成条件，,求曲面的方程;,2. 已知曲面方程，,研究曲面的形状,3,解,特殊地,球心在原点时方程化为:,例1,4,关于球面方程的说明:,5,解,例2,球面方程的特点:三元二次方程，平方项前系数相等，且不含混合二次项.,6,又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程,解,例3,所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.,7,解,又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程,例4,所以,上述方程即为所要求的曲面方程.,8,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,9,旋转曲面的方程的求法：,如图:,10,旋转曲面的方程的一般结果：,11,解,例1,12,绕 z 轴：,解,例3,绕 y 轴：,圆锥面,13,绕 z 轴：,解,例3,圆锥面,点 O 称为圆锥的顶点,14,15,解,例3,16,练习,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，,求生成的旋转曲面的方程,17,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,18,旋转椭球面,19,旋转抛物面,20,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,平行于 z 轴的直线沿曲线C平移所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面,21,22,柱面举例：,抛物柱面,平面,圆柱面,23,从柱面方程看柱面的特征：,所以,/ 轴,24,其他情形类似:,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,25,1、指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角 坐标系中分别表示什么图形？,练习题,平面中,空间中,方 程,直线,平面,圆,圆柱面,直线,平面,椭圆,椭圆柱面,26,27,二次曲面的定义：,认识二次曲面的常用方法：,四、二次曲面,截痕法；,伸缩变形法.,二次曲面的种类：,要求知道几种常见的二次曲面,三元二次方程 所表示的图形,相应地平面被称为一次曲面,28,认识二次曲面的常用方法：,截痕法；,伸缩变形法.,截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，通过综合截痕的变化来想象这个曲面的形状。,29,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,椭球面,30,椭球面,31,椭球面,旋转椭球面,球面,32,33,34,x,y,o,z,单叶双曲面,35,双叶双曲面,36,单叶双曲面,双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,37,椭圆抛物面,38,双曲抛物面,马鞍面*,39,椭圆抛物面,双曲抛物面,马鞍面*,旋转抛物面,40,41,椭圆锥面,42,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,43,一、柱面,二次曲面类型总结,二、椭球面,三、双曲面,五、椭圆锥面,四、抛物面,44,一、柱面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,45,二、椭球面,旋转椭球面,球面,46,三、双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,47,四、抛物面,椭圆抛物面,双曲抛物面,马鞍面*,旋转抛物面,48,五、椭圆锥面,49,练习,平面,球面,椭球面,椭圆柱面,圆柱面,抛物柱面,双曲柱面,上半椭圆锥面,圆锥面,旋转单叶双曲面,椭圆抛物面,双曲抛物面,椭圆锥面,50,下面介绍伸缩变形法*：,1、平面图形的伸缩变形法：,51,问题：,例：,求解：,52,2、空间图形的伸缩变形法：,问题：,求解：,53,问题：,例：,求解：,54,以下用伸缩变形法讨论几种特殊的二次曲面：,伸缩变形法：,55,伸缩变形法1：,56,伸缩变形法2：,57,伸缩变形法：,58,伸缩变形法：,59,伸缩变形法：,60,练习题,问: 方程组,表示怎样空间图形？,解,双曲线.,61,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及其方程的求法， 常见旋转曲面及其方程;,柱面的概念，常见柱面及其方程.,五、小结与教学基本要求:,掌握:,常见二次曲面的方程的图形.,会用截痕法认识方程的图形.,62,作业,习题 8-3 ( P31 ):1,5,8(1,4),10(2),11(3).,63,P31 题10答案,在 xoy 面上,64,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,65,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,66,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,67,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,68,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,69,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,70,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,71,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,72,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,73,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,74,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,75,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,76,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,77,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,78,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,79,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,80,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,81,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,82,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,83,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,84,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,85,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,86,
