第三章+误差的合成与分配ppt课件.ppt
3-1,第3章 误差的合成与分配,3-2,直接测量(direct measurement),指被测量与该标准量直接进行比较的测量，指该被测量的测量结果可以直接由测量仪器输出得到，而不再需要经过量值的变换与计算。,用游标卡尺测量小尺寸轴工件的直径时，游标卡尺的读数即是被测工件的直径,用游标卡尺测大尺寸轴工件的直径，因量程不够，采用测量弦长与矢高的方法，间接得到工件直径,基本概念,3-3,间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差(function error).,基本概念,研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题(Propagation of Error)。,给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。这就是误差的分配或分解。,由两个或多个误差值合并成一个误差值叫做误差的合成。包括系统误差的合成（已定、未定系统误差的合成）、随机误差的合成、系统误差与随机误差的合成。,3-4,误差的合成与分配,第一节 函数误差第二节 随机误差的合成第三节 系统误差的合成第四节 系统误差与随机误差的合成第五节 误差分配第六节 微小误差取舍准则第七节 最佳测量方案的确定,3-5,大纲要求,掌握函数误差的定义。掌握随机误差的合成、系统误差的合成、系统误差与随机误差的合成方法。掌握误差分配的方法。掌握微小误差取舍准则理解最佳测量方案的确定。,3-6,第一节函数误差,一、函数(已定）系统误差计算二、函数随机误差计算三、误差间的相关关系及相关系数(correlation coefficient),3-7,间接测量的数学模型,为各个直接测量值,y为间接测量值,一、函数(已定）系统误差计算,3-8,求上述函数 y 的全微分，其表达式为：,一、函数(已定）系统误差计算,3-9,几种简单函数的系统误差,1、线性函数,2、三角函数,系统误差公式,当,当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和,3-10,已知直接测得值xi及其已定系统误差xi，求测量结果,1）建立函数式。2）由直接测得值xi求不考虑系统误差的结果 3）求函数系统误差。4）经修正，得到消除定值系统误差后的结果为,-y,修正值,3-11,【例 题】,用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 ，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长 试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。,【解】,建立间接测量大工件直径的函数模型,不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值,3-12,车间工人测量弓高、弦长的系统误差,直径的系统误差,故修正后的测量结果,计算结果,误差传播系数为,3-13,二、函数随机误差计算,随机误差是用表征其取值分散程度的指标标准差来评定的，对函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差的计算就是研究函数y的标准差与各测量值 的标准差之间的关系。,3-14,函数标准差计算,第i个直接测得量 的标准差,第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传播系数,3-15,（3-13）函数随机误差公式,函数标准差计算,3-16,或,相互独立的函数标准差计算,若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0,令,一般测量多为独立测量，一些弱相关（很小）的情况也近似地当作独立测量对待。上式常用。,（3-14）,（3-15）,3-17,函数的极限误差计算公式,当各个测量值的随机误差都为正态分布,且互不相关时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式,第i个直接测得量 的极限误差 其置信概率与xi相同,证明,（3-16）函数极限误差公式,3-18,上式成立条件：1、各个测量值的随机误差为正态分布时2、 取相同的置信概率来估算3、具有相同的置信概率。4、相互独立。,函数的极限误差计算公式,3-19,1） 正弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,2） 余弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,3） 正切函数形式为:,函数随机误差公式为：,4） 余弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,三角形式的函数随机误差公式,3-20,【解】,【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长l = 500mm。已知： ， 求测量直径的标准差,有,建立间接测量大工件直径的函数模型,3-21,三、误差间的相关关系及相关系数(correlation coefficient),3-22,相关系数对函数误差的影响,反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响,函数随机误差分量则具有线性的传播关系.,函数随机误差公式,当相关系数,当相关系数,3-23,（一）误差间的线性相关关系：指两者误差间的线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。,（二）相关系数 ，两误差之问相关性的强弱由相关系数来反映。,定 量,误差间的线性相关关系,3-24,相关系数,定义,表示了两个变量间线性相关的程度,当 ，X与Y正相关，当 ，X与Y负相关,线性相关,正相关,负相关,线性不相关,=+1,完全正相关; =-1,完全负相关.此时两误差之间存在着确定的线性函数关系.,3-25,越小，X，Y之间线性相关程度越小， 取值越大，X，Y之间线性相关程度越大,值得注意的是:相关系数只表示两误差的线性相关的密切程度,当很小甚至等于0时,两误差间不存在线性关系,但并不表示它们之间不存在其他的函数关系.,相关系数,3-26,相关系数的确定,可判断 的情形,当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然,与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量,与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关,1、直接判断法,3-27,相关系数的确定,可判断 或 的情形,断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系,当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然,与 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关,3-28,2、试验观察和简略计算法（1） 观察法。做点图与标准图作比较。（2） 简略计算法（3） 直接计算法 式(3-26)3、理论计算法。根据概率论和最小二乘法直接求出。,相关系数的确定,其中，,3-29,第二节 随机误差的合成,（一）标准差的合成,（二）极限误差的合成,3-30,一、标准差的合成,合成标准差（combined standard deviation),q个单项随机误差，标准差,误差传递系数,直接测量中， 要根据各个误差因素对测量结果的影响情况而定。,间接测量中由显函数模型求得,3-31,各个误差互不相关，相关系数,合成标准差,用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差,一、标准差的合成,3-32,二、极限误差合成,单项极限误差,单项随机误差的标准差,单项极限误差的置信系数,合成极限误差,合成标准差,t合成极限误差的置信系数,由标准差合成公式：,用极限误差来表示随机误差,有明确的概率意义。极限误差合成时，各单项极限误差应取同一置信概率。,3-33,二、极限误差合成,根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成,各个置信系数ti 、t 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关,对合成极限误差的置信系数 t，当各单项误差的数目q较多时，合成的总误差接近于正态分布，因此可按正态分布来确定t。,（3-34）,3-34,合成极限误差特殊情形,当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布，此时取相同置信概率,则,合成极限误差,若,各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关， （3-36）是较为广泛使用的极限误差合成公式,（3-35）,（3-36）,3-35,第三节 系统误差的合成,一、已定系统误差的合成 二、未定系统误差的合成,3-36,一、已定系统误差的合成,在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为1，2，r，传递系数为a1，a2，ar,则按代数和法，求得总的已定系统误差为,对于间接测量 ，对直接测量ai由实际情况定。,用总的已定系统误差对测量结果进行修正，使测量结果中一般不再包含有已定系统误差。,3-37,二、未定系统误差的合成,1、未定系统误差的特征及其评定,未定系统误差是指误差的大小和方向未能确切掌握，或不要花费太多精力去掌握，而只能或只需估计出其误差范围（ei）的系统误差。,测量条件不变时，未定系统误差为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具抵偿性。这是它与随机误差的最大差别。,当条件改变时，未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布。,采用标准差或极限误差来表征,3-38,二、未定系统误差的合成,未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。当无法区分随机误差和未定系统误差时，由于不论作哪一种误差处理，最后合成结果一样，故可将该项误差作任一种误差来处理。,2、未定系统误差的合成,按标准差合成,按极限误差合成,3-39,按标准差合成,若测量过程中有s项未定系统误差，其标准差分别为 ，相应的传递系数为 ，则合成后总的未定系统误差的标准差为：,当相关系数为0，,（3-38）,（3-39）,3-40,按极限误差合成,单项极限误差,ui单项随机误差的标准差,ti单项极限误差的置信系数,合成极限误差,u合成标准差,t合成极限误差的置信系数,（3-42）,（3-43）,3-41,特别，当各项末定系统误差服从正态分布且置信概率相同时，且,（3-44),3-42,第四节 系统误差与随机误差的合成,按标准差合成,按极限误差合成,3-43,一、按极限误差合成,测量过程中,q个单项随机误差的极限误差,s个单项未定系统误差的极限误差,则测量结果总的极限误差为,R为各个误差间协方差之和,当各个误差之间互不相关,有r个单项已定系统误差,3-44,当各个传播系数均为1，,当各个随机误差与未定系统误差服从正态分布，各误差间互不相关，取相同置信概率.,一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是随机误差与未定系统误差的均方根。,(3-45),(3-46),(3-47),3-45,上式表明，当多项未定系统误差和随机误差合成时，对某一想误差不论作哪一种误差处理，其最后合成结果相同。,在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差,在多次重复测量中的总误差合成中，则必须严格区分各个单项误差的性质,3-46,二、按标准差合成,测量过程中,q个单项随机误差的标准差,s个单项未定系统误差的标准差,设各个误差传播系数均为1，则总的测量标准差为,R为各个误差间协方差之和,当各个误差之间互不相关,（3-49),（3-50),3-47,（3-50),（3-51),3-48,【例题】,在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为 ， ，已知工件的高度为 。根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。求测量结果及其极限误差,3-49,【例题】测量过程中主要的误差,序号,1,2,3,4,5,6,误差因素,极限误差,随机误差,未定系统误差,备注,阿贝误差,光学刻尺刻度误差,温度误差,读数误差,瞄准误差,光学刻尺检定误差,0.8,1,0.5,0.35,1.25,1,未修正时计入总误差,修正时计入总误差,3-50,【例题】的测量结果,【解】,两次测量结果的平均值为,根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在 范围内的误差 ，此项误差为已定系统误差，应予修正,则测量结果,3-51,【例题】的极限误差计算结果,设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果（两次测量的平均值）的极限误差为,（1）当未修正光学刻尺刻度误差时,测量结果可表示为,（2）当已修正光学刻尺刻度误差时,将刻度误差看成是未定系统误差,将刻度误差看成是已定系统误差，考虑刻尺检定误差。,3-52,第五节 误差的分配,3-53,误差分配基本思想,给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。,在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。,假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有,若已给定y，如何确定i，满足,式中，Di为函数的部分误差,（3-53),3-54,一、按等影响原则分配误差,等影响原则,各分项误差对函数误差的影响相等，即,可得到,3-55,二、按可能性调整误差,(2) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对另一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。,按等影响原则分配误差的不合理性,(1) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。,在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。,3-56,三、验算调整后的总误差,按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。,3-57,【解】,计算体积,体积的绝对误差:,测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D 及高度 h，根据函数式,【例】,求得体积 V ，若要求测量体积的相对误差为1，已知直径和高度的公称值分别为 ， 试确定直径 D 及高度 h 的准确度。,例 题,3-58,用这两种量具测量的体积极限误差为,因为,查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高 ，在50mm测量范围内的极限误差为+，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为+ 。,得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:,一、按等影响分配原则分配误差,3-59,调整后的实际测量极限误差为,因为,因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。,二、调整后的测量极限误差,显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为 。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。,3-60,第六节 微小误差取舍准则,3-61,一、基本概念,微小误差,测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差,3-62,对于一般精密的测量，测量误差的有效数字取一位 .某项部分误差舍去后，满足,或,则对测量结果的误差计算没有影响。,二、基本取舍准则,3-63,在计算总误差或误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般为被检器具允许总误差的1/103/10。,三、实际意义,3-64,第七节 最佳测量方案的确定,3-65,基本概念,最佳测量方案的确定,当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。,函数的标准差,欲使为最小，可从哪几方面来考虑？,3-66,一、选择最佳函数误差公式,间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最少的函数公式。,不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差较小的直接测量值的函数公式。,3-67,【例题】,用分度值为O.05mm游标卡尺测量两轴的中心距L，试选择最佳测量方案。,已知测量的标准差分别为,3-68,计算结果,【解】,测量中心距L有下列三种方法,方法一,方法二,方法三,计算结果可知，方法三误差最小,3-69,二、使误差传播系数尽量小,若使各个测量值对函数的误差传播系数或为最小，则函数误差可相应减少。,根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使 等于零的测量条件，但却指出了达到最佳测量方案的趋向,3-70,【例题3-9】,用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为,试确定最佳测量方案,【解】,直径函数误差的误差公式,3-71,最佳测量方案,欲使 为最小，必须,(1) 使 。满足此条件，必须 ，但由图中几何关系可知，此时有 ，因而无实际意义。,(2)使 为最小。若满足 为最小，则 值愈大愈好，即 值愈接近直径愈好,(3)使 。满足此条件，必须使 ，即要求直接测量直径，才能消除 对函数误差 的影响,3-72,结论,欲使为 最小，必须测量直径，此时弓高的测量误差 已不影响直径的测量准确度，而只有弦长的测量误差 影响直径的测量准确度。但对大直径测量，此条件难以满足，不过他指出了当 值愈接近值 时，直径的测量误差也越小,
