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第七章 系统函数,连续系统,离散系统,7.1 系统函数与系统特性,连续系统,零点,极点,一、H(s)的零、极点与时域响应,s,jw,0, (t),e-t (t),et (t),1,-1,s,jw,0,-1,1,sin(t) e-t (t),sin(t) et (t),sin(t) (t),1,-1,H(s)的极点分布与时域函数的对应关系,LTI连续系统的冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。,(1)若H(s)的极点位于s左半平面,则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡,当t时,它们趋于零,系统属于稳定系统。,(2)若H(s)的极点位于s右半平面,则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡,当t时,它们趋于无限大,系统属于不稳定系统。,(3)若H(s)的单极点位于虚轴（包括原点）,则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界稳定系统。,(4)若位于虚轴（包括原点）的极点为n重极点(n2),则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定系统。,二、 H(s)与系统的频率特性,若系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 即H(s)的收敛域包含 j 轴，则,令,则式又可以表示为,幅频响应,相频响应,例：已知二阶线性连续系统的系统函数为,式中，0, 0 0, 0 。粗略画出系统的幅频和相频特性曲线。,解 H(s)有一个零点s1= ; 有两个极点，分别为,式中， 。 于是H(s)又可表示为,由于H(s)的极点p1和p2都在左半平面，因此，系统的频率特性为,令,则H(j)又可表示为,幅频特性和相频特性分别为,(a) H(s)零、极点的矢量和差矢量表示； (b) 系统的幅频特性和相频特性,一般情况下,可以认为,若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭极点p1,2= -j ，则在=附近处,幅频特性出现峰值,相频特性迅速减小。类似地，若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭零点s1,2= -ajb，则在=b附近处,幅频特性出现谷值,相频特性迅速上升。,全通函数,系统位于极点左半平面，零点位于右半平面，且零点极点对于j 轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统，或全通网络。,全通，即幅频特性为常数，对所有频率的信号都一律平等的传输。,从对称零点极点之和为180度逐渐减少最后为-360度,最小相移函数,非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的极联,零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值较大,零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值较小,定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的系统函数称为最小相移函数，相应的网络称为“最小相移网络”,相互抵消,乘,离散系统,系统的时域特性主要取绝于系统的极点,二、H(z)与离散系统频率响应,若系统函数H(z)的极点全部在单位圆内， 即H(z)的收敛域包含 单位圆，则,由于是 为复数，故令,ej,则 又可表示为,幅频响应和相频响应分别为,例：已知离散系统的系统函数为,解 由于H（z）的收敛域为 ，所以H（z）在单位圆上收敛。H（z）有一个极点 ，有一个零点z1=1。系统的频率响应为,求系统的频率响应，粗略画出系统的幅频响应和相频响应曲线。,令,则有,7.2 系统的因果性与稳定性,一、系统的因果性,因果系统是指响应不出现于激励之前的系统。即：,连续因果系统的充要条件为：,冲激响应：h(t)=0，t 0,或 系统函数H(s)的收敛域为：Res0,离散因果系统的充要条件为：,单位样值响应：h(k)=0，k 0,或 系统函数H(z)的收敛域为：|z| R0,二、系统的稳定性,一个系统，若对有界的激励f()所产生的零状态响应 yf () 也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。,即，则称系统是稳定的。,LTI连续系统是稳定系统的充要条件是：,M为有限正实数,系统的冲激响应h(t)绝对可积。即,充分性：设线性连续系统的输入f(t)有界，即|f(t)|Mf。系统的零状态响应yf(t)为,证明：,若h(t)绝对可积，,必要性：所谓式 对系统稳定是必要的，是当h(t)不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输入f(t)产生无界输出yf(t)。,为此，设f (t)有界，则 f(-t)也有界，并且表示为,于是有,因为,若h(t)不绝对可积， 即,令t=0, 根据 则有,所以，h(t) 绝对可积是必要的。,如果系统是因果系统，则稳定性的充要条件为：,s域的稳定条件：,特别指出：在 j 轴上的一阶极点也会使得系统不稳定。这类系统成为边界（临界）稳定系统。,系统函数H(s)的全部极点位于的 左半s平面。,例：判断下述因果系统是否稳定,（1）极点为s= -1和s= -2，都在s左半平面。,解:,显然输出也有界，所以系统稳定。,若激励为有界输入 (t)，则其输出为,（2）极点为j0，是虚轴上的一对共轭极点。,显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。,若激励为有界输入sin(0 t ) (t)，则其输出为,稳定系统的系统函数H(s)的特点,对于稳定系统，H(s)的极点位于左半s平面，即A(s)的根的实部应为负数,若有实根， A(s)中分解因子为(s+),其中0,若有共轭复根， A(s)中分解因子为 (s+j) (s+j),其中0,对于稳定系统，多项式A(s)的系数 ai都是正实数，且无缺项。,是必要条件，但不是充分条件,如,罗斯-霍尔维兹准则,H(s)的分母多项式为,H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。,判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则),罗 斯 阵 列,罗斯判据(罗斯准则) 指出： 多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 若第一列元素的值不是全为正值， 则表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面， 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同， 则系统是不稳定系统。,若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。,判断线性连续系统稳定的方法：,根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai (i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai 的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式， 故系统不是稳定系统。,例 已知三个线性连续系统的系统函数分别为,判断三个系统是否为稳定系统。,不稳定,不稳定,H3(s)的分母为,A3(s)的系数组成的罗斯阵列为,因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。,例 图所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为,K取何值时系统为稳定系统。,解: 令加法器的输出为X(s)， 则有,由上式得,根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得,根据R-H准则，若 和K0，则系统稳定。 根据以上条件，当0K110时系统为稳定系统。,LTI离散系统是稳定系统的充要条件为：,系统的单位样值响应h(k)绝对可和。即,M为有限正实数,因为,系统函数H(z)应满足的条件呢？,当z1时,稳定离散系统的系统函数H(z)的收敛域包括单位圆,因果稳定系统的极点全部在单位圆内。,例：已知一离散LTI系统的系统函数为,解：,系统不稳定，非因果系统,2) 0.5 |z| 1.5,系统稳定， 非因果系统,3) |z| 1.5,系统不稳定， 因果系统,试判断该系统的稳定性与因果性。,1)|z| 0.5,例： 一离散因果系统如图所示，求(a)H(z), (b)系统稳定时k的范围.,系统稳定,解:,