第七章最优控制：最大值原理ppt课件.ppt

第四章 最优控制,第一节 最大值原理第二节 其他终结条件第三节 变分法与最优控制的比较第四节 政治商业周期,导入例子,最大化,满足,和,自由,表示资源的储量,表示时间 时这种资源的抽取速度,表示使用资源带来的总效用,状态变量是用来描述某一状态范围内所给定的变量，在状态不变的情况下，状态变量的值也就是一定的。,控制变量是引起状态变量变动的变量。,变分法是寻求状态变量 的最优时间路径，最优控制理论把决定控制变量 的最优时间路径作为首要任务。,自由端点问题（垂直终结线）：,最大化,满足,和,，对于所有的,自由,（A、T给定）,汉密尔顿函数：,解决最优控制问题的工具是汉密尔顿函数。,包含被积函数 加上共积变量 与函数 的乘积。,第一节 最大值原理,（一）最大值原理,对于所有的,的运动方程,的运动方程,横截条件,关于 最大化 的这种要求称为最大值原理。,曲线1有内部解；,曲线2和3有边界解。,最大化,满足,和,（给定）,根据运动方程：,所以,步骤1 推导新的目标泛函,证明思路：由原泛涵 推导出新泛涵 ，根据新泛涵 推导得到最大值原理的三个条件和一般横截条件。,（二）最大值原理的证明,把汉密尔顿函数定义为：,则新泛函为：,根据分部积分公式,上页推导得到：,根据汉密尔顿函数 ，得：,状态变量的运动方程,最大化,满足,和,（给定）,推导得到最大值原理的条件之一,步骤2 推导状态变量 的运动方程,以上两个方程右边相同，因此左边相等：,以上推导得到：,的邻近路径：,的邻近路径：,更进一步，如果 与 都是可变的，则有：,新目标泛函 的新形式：,步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式,上页推导得到,的第一项对 求导，得：,的后两项对 求导，得：,令 ，即（7.28）与（7.29）的和设为零得：,(7.28),(7.29),(7.30),步骤4 令 推导另外两个条件和横截条件,(7.30),由于 是任意的，因此：,推导得到最大值原理的条件之二,由于 是任意的，因此：,推导得到最大值原理的条件之三,由于积分项（即第一项）为零，因此：,推导得到最大值原理的一般横截条件,上页推导得到：,第二节 其他终结条件,固定终结点的横截条件：,（ 和 给定）,水平终结线的横截条件：,一般横截条件：,（7.30）,终结曲线的横截条件：,终结曲线,一般横截条件：,（7.30）,截断垂直终结线：,令 ，,根据库恩塔克条件,综合情况一和二：,情况一,情况二,一般横截条件：,对于,（7.30）,截断水平终结线：,情况一,情况二,综合情况一和二：,对于,情况一,情况二,例1 最大化,满足,和,步骤1,汉密尔顿函数：,的解是最大化,（7.39),步骤2,可以得到通解：,汉密尔顿函数：,（ 任意）,（7.40),例1 最大化,满足,和,步骤3,解方程：,该方程属于 这种类型。,根据标准公式,它的解如下:,（7.41),把(7.39)和(7.40)代入状态变量的运动方程，得：,以上推导得到：,步骤4,代入 ，得：,把这些代入(7.41)、(7.40)和(7.39)得：,以上推导得到：,（7.41),第三节 变分法与最优控制的比较,一、最简单的问题,运动方程具有如下简单形式 ，并且 的选择是无约束的。,一个特例,把运动方程 代入被积函数，我们可以消去 ，以上最优控制问题可以重新写成变分法问题：,最优控制问题：,二、变分法与最优控制的比较,（7.2）,最优控制问题：,汉密尔顿函数是：,最大值原理可列出下列条件：,（7.56）,（7.57）关于 求导，得：,第三个方程给出了 的另一个表达式,因此得：,欧拉方程,上页推导得到：,当关于 最大化汉密尔顿函数时，除了满足一阶条件之外，还要满足二阶必要条件 。,这就是勒让德必要条件。,最优控制垂直终结线的横截条件：,以上推导得到：,（7.57）,把（7.57）式代入该横截条件，得：,这就是变分法垂直终结线的横截条件。,最优控制水平终结线的横截条件：,根据以上例子的汉密尔顿函数 ，最优控制水平终结线的横截条件可变为：,（7.56）,把（7.56）和（7.57）式代入该横截条件，得：,这就是变分法水平终结线的横截条件。,第四节 政治商业周期,一、选举函数与菲利普斯曲线,选举函数：,为失业率， 为通货膨胀率。,菲利普斯曲线：,其中， 表示预期通货膨胀率。,其中，度量执政党的得票能力。,预期通货膨胀率 按照适应性预期理论生成：,（7.61）,最优控制问题：,为了定量求解，诺德豪斯假设如下函数形式：,二、最优控制问题,和,（7.62）,（7.63）,三、最大化汉密尔顿函数,汉密尔顿函数为：,关于控制变量U最大化H，我们有一阶条件：,二阶条件：,（7.66）,因此,（7.66）式的控制路径最大化了汉密尔顿函数。,汉密尔顿函数：,的运动方程：,这是一阶非齐次线性微分方程，该方程的特解为：,对应的一阶齐次线性微分方程的通解为：,该一阶非齐次线性微分方程的通解为：,根据垂直终结线的横截条件：,代入(7.67)得最优共态路径：,四、最优共态路径,(7.67),五、最优控制路径,以上得到最优共态路径：,控制路径：,(7.66),把 代入（7.66）得到最优共态路径：,是 的减函数，因为,预备知识一：对定积分的求导,对于函数,（1）莱布尼兹法则对定积分的求导,（2.6),（2）积分上限函数的求导,（2.8),由积分中值定理得,证：,（3）对积分下限函数求导,证：,根据对积分上限函数求导的公式，得：,（2.9),(4)如果定积分具有如下形式：,根据（2.6）式和（2.8）式，得：,（2.11),一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,预备知识二：一阶线性微分方程,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,