胡寿松自控第二章教案ppt课件.ppt

第二章,控制系统的数学模型,2,第二章 控制系统的数学模型,什么是控制系统的数学模型？ 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。 如果描述变量之间关系的数学表达式是代数方程，则称其为静态数学模型； 描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫做动态数学模型。,3,第二章 控制系统的数学模型,为什么要建立数学模型：需要了解系统的具体的性能指标;只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的;希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。,4,第二章 控制系统的数学模型,建立控制系统数学模型的主要方法： 分析法， 实验法。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。,5,第二章 控制系统的数学模型,实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。,6,第二章 控制系统的数学模型,控制系统数学模型的形式：时域： 微分方程、差分方程、状态方程；复数域：传递函数、结构图；频域： 频率特性等。,7,第二章 控制系统的数学模型,8,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-4 数学模型的实验测定法,9,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,列写元件微分方程的步骤:根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程；消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,便得到元件时域的数学模型；系统微分方程的标准形式：输入在右，输出在左，方程两端变量的导数项按降幂排列。,10,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,例2.1,11,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,12,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,例2.2,13,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,14,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,15,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,16,微分式（3）得到 （4）用 乘（3）的两端得到 用 乘（4）的两端得到,17,在将上述两式相加并利用（1）得到,18,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,19,2-1 控制系统的时域数学模型1 线性元件的微分方程,20,2-1 控制系统的时域数学模型2 控制系统微分方程的建立,由系统原理线路图画出系统方块图；列写组成系统各元件的微分方程；消去中间变量得到描述系统输出量和输入量之间关系的微分方程；,21,2-1 控制系统的时域数学模型2 控制系统微分方程的建立,相似系统RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，为相似系统。相似系统便于用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统，也便于控制系统的计算机数字仿真。,22,2-1 控制系统的时域数学模型3 线性系统的基本特性,线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。 线性系统：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。,23,2-1 控制系统的时域数学模型3 线性系统的基本特性,如果元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t）， 对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t） 如果r（t）=r1（t）+r2（t）时， c（t）=c1（t）+c2（t） 则满足迭加性。 如果r（t）=ar1（t）时， c（t）=ac1（t） 则满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。,24,2-1 控制系统的时域数学模型3 线性系统的特性,例如 y=kx 是线性元件 输入 x1y1 输出 x2y2 输入x1 x2 对应输出y1 y2 满足迭加性 k为常数， kx1ky1 满足齐次性,25,2-1 控制系统的时域数学模型3 线性系统的特性,线性方程不一定满足迭加性和齐次性。 y=kx+b(b为常数0)线性方程，所表示的元件不是线性元件. 输入x1y1 输出 y1kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 输入x1 x2 输出 y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性,26,2-1 控制系统的时域数学模型3 线性系统的特性,k为常数:kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kbyky1不满足齐次方程。所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：,27,2-1 控制系统的时域数学模型3 线性系统的基本特性,重要特点： 迭加性表明：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题。,28,考虑下述线性系统,选取输入,和,相应的系统输出由下图所示,29,选取输入为,相应的系统输出由下图所示,30,2-1 控制系统的时域数学模型4 线性定常微分方程的求解,拉氏变换法求解微分方程：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量 s 的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为求微分方程的解。,31,2-1 控制系统的时域数学模型4 线性定常微分方程的求解,例2-6,32,2-1 控制系统的时域数学模型4 线性定常微分方程的求解,例2-6记 则有,33,由于,于是,34,2-1 控制系统的时域数学模型4 线性定常微分方程的求解,35,2-1 控制系统的时域数学模型4 线性定常微分方程的求解,拉氏变换法求解微分方程：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量 s 的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为求微分方程的解。,36,2-1 控制系统的时域数学模型5 非线性微分方程的线性化,37,2-1 控制系统的时域数学模型5 非线性微分方程的线性化,38,2-1 控制系统的时域数学模型5 非线性微分方程的线性化,39,2-1 控制系统的时域数学模型5 非线性微分方程的线性化,40,2-1 控制系统的时域数学模型5 非线性微分方程的线性化,41,对于多变量函数 同样可以在某个工作点 的附近应用多元函数Taylor 公式将其展开 略去高阶项得到,42,例2-7 设铁芯线圈磁通量变化时产生的感应电势为,根据基尔霍夫定律写出电路微分方程,43,其中 是线圈中电流i的非线性函数。,因此所得到的方程是一个非线性方程。现在假定电路中电流与电压值在某平衡点 附近作微小变化，则有 当 充分小时，忽略高阶导数项，便得到,44,令 ： ，并略去增量符号 ，便得到磁通量与电流之间的增量线性化方程：带入前面的方程后得到,45,2-1 控制系统的时域数学模型6 运动的模态,常系数齐次线性微分方程的通解1.特征根是单根的情况：设 是上述方程的n各不同的特征根，则方程具有n个线性无关的解,46,如果方程有复特征根,则方程有两个线性无关的实值解有如果方程有重根，设 是k1重根。则是k1个线性无关解，称为方程（系统）的运动模态。,47,2-1 控制系统的时域数学模型6 运动的模态,48,在例2.6中齐次线性方程的特征方程是,特征根为 。于是系统的运动模态是系统的任何一个解均可表示为下述形式,第二章,控制系统的数学模型,50,第二章 控制系统的数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型,传递函数： 线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,51,零初始条件：,1、系统的输入在t0时才作用于系统。因此，对于t小于和等于0时，系统输入及其各阶导数恒等于0。2、系统的输入作用于系统之前。系统处于稳定的工作状态，即系统的输出及其各阶导数恒等于0。,52,2-2 控制系统的复数域数学模型1. 传递函数的定义和性质,设线性定常系统由下述 n 阶线性 常微分方程描述：,53,2-2 控制系统的复数域数学模型1. 传递函数的定义和性质,对线性微分方程中各项分别求拉氏变换,54,2-2 控制系统的复数域数学模型1. 传递函数的定义和性质,由定义得到系统传递函数为：,55,2-2 控制系统的复数域数学模型1. 传递函数的定义和性质,例2.8 试列写传递函数 Uo(s)/Ui(s).,56,2-2 控制系统的复数域数学模型1. 传递函数的定义和性质,注意到,57,2-2 控制系统的复数域数学模型1. 传递函数的定义和性质,零初始条件下取拉氏变换：,传递函数：,58,传递函数的性质：, 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，分子多项式的次数 m 小于或等于分母多项式的次数n，所有系数均为实数；, 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；, 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换。即在微分方程中将微分算子,及传递函数中的,互换，即可实现微分方程与,传递函数之间的转换；,59, 传递函数 的拉氏逆变换是系统的脉冲相应,注意到设,是系统对于单位脉冲输入,的输出的拉氏变换的像。则有,于是关于上式两边求拉氏逆变换既得到,第二章,控制系统的数学模型,61,例：求例2-2电述控制直流电机的传递函数,已知电枢控制直流电机的简化微分方程：令 得到 于是,62,同理,令 可得到那么电机转速 在电枢电压 和负载转矩同时作用下的响应特性为,63,2-2 控制系统的复数域数学模型2. 传递函数的零点和极点,传递函数分子多项式与分母多项式 经因式分解可写为如下形式：,64,2-2 控制系统的复数域数学模型2. 传递函数的零点和极点,传递函数分子多项式的根 zi 称为传递函数的零点；分母多项式的根 pj 称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。 零点和极点可以是实数，也可以是复数。,65,2-2 控制系统的复数域数学模型2. 传递函数的零点和极点,零、极点分布图：,66,2-2 控制系统的复数域数学模型2. 传递函数的零点和极点,称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。,传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式：,67,2-2 控制系统的复数域数学模型3. 传递函数的零点和极点对输出的影响,例： 具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中所占比重。,68,2-2 控制系统的复数域数学模型3. 传递函数的零点和极点对输出的影响,69,考虑系统的单位阶跃信号的响应：,极点:,极点:,解,解,传递函数：,传递函数：,70,71,极点可以受输入函数的激励，在输出响应中形成自由运动模态。,设系统传递函数为 其极点为 ，零点为 自由运动模态为 。 给定输入,72,则有,进而,73,输出响应中前两项具有与输入函数相同的模态，但后两项包含了系统极点-1和-2 形成的运动模态。这是系统固有的模态，其系数则与系统的输入有关。因此我们可以认为这两项是系统受到输入函数激励所引起的运动模态。,第二章,控制系统的数学模型,75,极点可以受输入函数的激励，在输出响应中形成自由运动模态。,设系统传递函数为 其极点为 ，零点为 自由运动模态为 。 给定输入,76,则有,进而,77,输出响应中前两项具有与输入函数相同的模态，但后两项包含了系统极点-1和-2 形成的运动模态。这是系统固有的模态，其系数则与系统的输入有关。因此我们可以认为这两项是系统受到输入函数激励所引起的运动模态。,78,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,单容水箱,79,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,80,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,81,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,82,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,83,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,84,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,85,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,有纯延迟的单容水箱,86,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,有纯延迟的单容水箱,87,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,电加热炉,88,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,89,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,90,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,91,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,92,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,93,2-2 控制系统的复数域数学模型4. 典型元部件的传递函数,94,2-2 控制系统的复数域数学模型5. 典型环节的传递函数,比例环节 : G(s)=K 积分环节 : G(s)=1/s微分环节 G(s)=s,95,2-2 控制系统的复数域数学模型 5. 典型环节的传递函数,惯性环节: 一阶微分环节: 振荡环节 :,96,练 习,如图: 1) 列写输入为ui(t),输出为uo(t)的网络 微分方程; 2) 求传递函数Uo(s)/ Ui(s); 3) 当R=1欧，C=1F，uo(0)=0.1v, ui(t)=1(t)时， 用拉氏变换法求 uo(t),97,于是:,进而,经拉氏变换及初始条件,当,时,经拉氏逆变换：,由相应物理定律,第二章,控制系统的数学模型,99,第二章 控制系统的数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图和信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算。,100,2-3 控制系统的结构图与信号流图1.系统结构图的组成与绘制,信号线：表示信号传递通路与方向。 方框： 表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件 或系统的传递函数。 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相 加，“-”表示相减。 引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的 信号数值和性质完全相同。,控制系统的结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，包括：,101,2-3 控制系统的结构图与信号流图1.系统结构图的组成与绘制,绘出右图中网络 的结构图：,102,2-3 控制系统的结构图与信号流图1.系统结构图的组成与绘制,Uo(s),I(s),I1(s),I2(s),(d),I1 (s)R1,Ui(s),I1(s),I2(s),103,2-3 控制系统的结构图与信号流图1.系统结构图的组成与绘制,绘出双RC网络 的结构图：,104,2-3 控制系统的结构图与信号流图1.系统结构图的组成与绘制,105,2-3 控制系统的结构图与信号流图2.结构图的等效变换和简化,串联方框的简化(等效)：,106,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,并联方框的简化(等效)：,107,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,反馈连接方框的简化(等效)：,C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) H(s)C(s),108,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,等效为单位反馈系统：,109,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,例：,110,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,等效原则：前向通道和反馈通道传递 函数都不 变。,比较点和引出点的移动：,111,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,引出点前移：,112,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,引出点后移：,113,比较点前移,114,比较点后移,115,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,例：双RC网络的 结构图简化,116,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,例：双RC网络的结构图简化,117,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,(c),118,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,119,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,120,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,121,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,122,2-3 控制系统的结构图与信号流图 2.结构图的等效变换和简化,123,2-3 控制系统的结构图与信号流图 3.信号流图的组成及性质,信号流图: 是由节点和支路组成的一种信号 传递网络。,结构图,信号图,124,2-3 控制系统的结构图与信号流图 3.信号流图的组成及性质,125,2-3 控制系统的结构图与信号流图 3.信号流图的组成及性质,信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所 有流向该节点信号的代数和，用“O”表示； 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘 以支路增益而变成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。,126,2-3 控制系统的结构图与信号流图 3.信号流图的组成及性质,信号流图中常用的名词术语： 源节点（ 输入节点）： 在源节点上，只有信号输出支路而没有信号 输入的支路，它一般代表系统的输入变量。,阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。,127,2-3 控制系统的结构图与信号流图 3.信号流图的组成及性质,信号流图中常用的名词术语： 混合节点： 在混合节点上，既有信号输出的支路而又有 信号输入的支路。,前向通路： 信号从输入节点到输出节点传递时，每个节 点只通过一次的通路，叫前向通路。,128,2-3 控制系统的结构图与信号流图 3.信号流图的组成及性质,信号流图中常用的名词术语： 回路： 起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节 点不多于一次的闭合通路称回路。,不接触回路： 回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回 路。,129,2-3 控制系统的结构图与信号流图 4.信号流图的绘制,由系统微分方程绘制信号流图 : 1）将微分方程通过拉氏变换，得到s的代 数方程； 2）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列； 4）连接各节点，并标明支路增益。,130,拉氏 变换 ,得,例:,131,1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 注意：信号流图的节点只表示变量的相加。,由系统结构图绘制信号流图:,132,例: 绘制结构图对应的信号流图,133,2-3 控制系统的结构图与信号流图5.梅森(Mason)增益公式,等价于,134,利用克莱姆法则求解上述方程组的解x4得到,135,则有并且,136,现在结合系统信号流图对上述传递函数进行分析首先看 的构成： 分别是三个回路的增益乘积之和 则是两个不相交回路增益的乘积,于是我们可以将 表示为其中La表示信号流图中单独回路a的回路增益，而LaLb表示两个不相交回路a和b的增益的乘积。,137,再看 的构成：由输入节点 到输出节点 有两个前向通路。 和 恰好分别为这两个前向通路增益，而 正好是在 中去掉含有与第二个前向通路相交的单独回路的增益的项后，所得的结果。,138,按照这一结论，我们看：由于所有单独回路均与第一条前向通路相交，于是在 中要去掉除去1之外的所有项，所得的结果恰好是1。这样的话，用P1和P2分别表示由源节点到阱节点的第一、二条前向通路增益之积，用 分别表示在 中去掉含有与该前向通路相交的单独回路的增益后的表达式，那么：进而,139,2-3 控制系统的结构图与信号流图5.梅森(Mason)增益公式,梅森公式为：,其中： n 从输入节点到输出节点的 前向通路总数。 Pk从输入节点到输出节点的 第k条前向通路总增益 。,140,2-3 控制系统的结构图与信号流图5.梅森(Mason)增益公式,特征式 ： 所有单独回路增益之和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两 个回路增益乘积和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中 三个回路增益的乘积之和。,余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通 路相接触的回路去掉以后的值。,141,前向通路有两条： ，没有与之不接触的回路： ，与所有回路不接触：,解：三个回路：,例: 已知系统信号流图，求传递函数。,回路相互均接触，则：,142,例: 已知系统信号流图，,求传递函数 X4/X1及 X2/X1。,解：三个回路,有两个互不接触回路,143,2-3 控制系统的结构图与信号流图6.闭环系统的传递函数,1. 输入信号作用下的闭环传递函数 (N(s)=0),144,2-3 控制系统的结构图与信号流图6.闭环系统的传递函数,.扰动作用下的闭环传递函数 (R(s)=0),145,2-3 控制系统的结构图与信号流图6.闭环系统的传递函数,.输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出,146,2-3 控制系统的结构图与信号流图6.闭环系统的传递函数,.闭环系统的误差传递函数 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ,147,148,利用信号流图，系统可以由右边的图形表示。求：C(s)/R(s)C(s)/N(s)R(s)到C(s):P=G1G2, L1=-G1G2H,于是,149,C(s)/N(s):于是E(S)/R(s):于是,150,E(s)/N(s):于是,151,总结,一、第二章知识要点：建立控制系统的时域数学模型根据系统原理图，确定系统的输入、输出变量，依据相应的物理、化学规律列写出各个元件的微分方程；消去中间变量，得到系统输入输出变量之间的微分方程。用Laplace变幻求解微分方程考虑初始条件将微分方程两端进行Laplace变换，将微分方程变成关于变量s的代数方程,152,总结,由代数方程求出输出变量Laplace变换函数的表达式对于输出变量Laplace变换函数的表达式利用Laplace逆变换求出系统输出变量在时域上的表达式3. 线性系统满足叠加原理4. 控制系统的复数域模型传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量Laplace变换与输入量Laplace变换之比,153,总结,传递函数的性质： 1. 传递函数是复变量s的有理真分式函数 所有系数均为实数。 2. 传递函数描述系统输入量与输出量之间的 关系，因此它仅与系统的结构和参数有关 与系统的输入量无关 3. 传递函数G(s)的Laplace逆变换是系统的脉 冲响应g(t),154,总结,系统微分方程描述与传递函数之间的关系 将微分算子符号 与 互换，即可得到微分方程与传递函数之间的相互转换微分方程的特征值，即传递函数的极点决定了所描述系统自由运动的模态，在系统的强迫运动中也会存在这些模态；传递函数的零点部形成自由运动模态，只是影响各模态在系统响应中的比例。4. 控制系统的结构图与信号流图系统结构图的简化由系统结构图、信号流图列写系统传递函数,155,总结,二、重点建立系统时域或复数域的数学模型，以结构图或信号流图表示系统个元件的功能以及信号的流向熟练掌握Mason 公式,