线面角的三种求法ppt课件.pptx

线面角的三种求法,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。,一条直线垂直于平面，它们 所成的角是直角；,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角。,直线和平面所成角的范围是0，90。,1、平面的斜线和平面所成的角,直接法,平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。,四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。,（1） SCSB,SCSA, SC平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结SM,CM，则SMAB,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM过S作SHCM于H, 则SH平面ABCCH即为 SC 在面ABC内的射影。 SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC与平面ABC所成的角的正弦值为77,“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。,例题,例1 . 如图，在Rt ABC中，已知 C=90，AC=BC=1，PA平面ABC，且PA=,，求PB与平面PAC所成的角.,P,A,C,B,解：PA 平面ABC PA,BC 平面PAC,又AC BC PA,AC=1, PA=,PC=,平面ABC,BC 平面PAC,AC=A,PB与平面PAC所角为BPC,又BC=1，tan BPC=,BPC=30,1,1,即BP与平面PAC所成的角为30 .,利用公式,其中是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。,如图，AO是平面的斜线，OB 平面于B，AD是内不与AB重合的直线OAB= ，BAD= ，OAD= ，求证：cos =cos cos ,B,A,D,C,证明:,最小角定理,例3. 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60, 求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。,解：AOB=AOC OA 在面OBC 内的射影在BOC 的平分线OD上，则AOD即为OA与面OBC所成的角，可知,DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOC cos60=cosAODcos30 cosAOD= 33 OA 与 面OBC所成的角的余弦值为33。,练习,1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面成角，B是A在上的射影,OD是内的直线，BOD=30，AOD=60，则sin = 。,解:,由最小角原理得,