量子力学近似方法由非简并微扰公式得能量一级修正ppt课件.ppt
第七章,Approximation method,相关概念回顾,完备集在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态 ，可以看成抽象的Hilbert空间的一个“矢量”，而体系的任何一组力学量完全集F的共同本征态 构成此态空间的一组正交归一完备的基矢，即 。以 为基矢的表象，成为F表象。体系任何一个量子态 可以展开为其中 。,相关概念回顾,二. 量子力学的矩阵形式设力学量完全集F的本征值取离散值，以它们的本征态 为基矢的表象中，力学量L表示成矩阵的形式 其中 。而任一量子态 则表示成列矢其中,一. 引言二. 定态非简并微扰方法三. 定态简并微扰方法*四. 变分法,本章主要内容,第一节 引言,前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如： 一维无限深势阱问题； 线性谐振子问题； 势垒贯穿问题； 氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对于大量的实际物理问题，薛定谔方程能有精确解的情况很少。通常体系的 哈密顿量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法(简称近似方法) 就显得特别重要。,一、近似方法的重要性,第一节 引言,近似方法通常是从简单问题的精确解(解析解)出发，来求较复杂问题的近似(解析)解。,二、近似方法的出发点,体系哈密顿量不是时间的显函数定态问题定态微扰论； 变分法。2. 体系哈密顿量显含时间状态之间的跃迁问题与时间 t 有关的微扰理论； 常微扰。,三、近似解问题分为两类,第二节 非简并定态微扰理论,本节主要内容: 微扰体系方程 态矢和能量的一级修正 能量的二阶修正 微扰理论适用条件 讨论 实例,第二节 非简并定态微扰理论,一. 微扰体系方程 微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：,第二节 非简并定态微扰理论,可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系哈密顿量不显含时间，而且可分为两部分：,所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 , 本征矢 满足如下本征方程：,另一部分 是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可以看作加于 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后总哈密顿量 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的薛定谔方程：,第二节 非简并定态微扰理论,不难看出, 当 时,当 时，引入微扰，使体系能级发生移动，,状态由，,能量由，,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为:,其中 是很小的实数，表征微扰程度的参量。,第二节 非简并定态微扰理论,因为 都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将 其展开成的幂级数：,其中 分别是能量的零级近似, 能量的一级修正和二级修正等; 而 分别是状态矢量零级近似，一级修正和二级修正等。,代入薛定谔方程得：,第二节 非简并定态微扰理论,上式对任意的都成立，故的同次幂系数相等. 乘开可得：,整理后可得：,H(0)的本征方程, 满足的方程, 满足的方程,第二节 非简并定态微扰理论,二. 态矢和能量的一级修正现在我们借助于未微扰体系的态矢 和本征能量 来导出扰动后的态矢 和能量 的表达式。,1. 能量一级修正,用 左乘上式, 并作空间积分得,注意到,第二节 非简并定态微扰理论,能量一级修正,能量的一级修正等于微扰哈密顿量 在零级近似波函数中的平均值.,根据力学量本征矢的完备性假定， 的本征矢 是完备的，任何态矢量都可按其展开， 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：,2. 波函数的一级修正,其中,准确到一阶微扰的体系能量：,第二节 非简并定态微扰理论,若 满足方程：,则 也满足方程：,b为任意数,所以可以选择,一阶修正的体系波函数为：,第二节 非简并定态微扰理论,左乘 (m n)并积分：,(m n),第二节 非简并定态微扰理论,若 满足方程：,则 也满足方程：,b为任意数,所以可以选择,一阶修正的体系波函数为：,第二节 非简并定态微扰理论,3. 能量的二级修正,用 左乘上式, 并作空间积分得,其中,能量二级修正,第二节 非简并定态微扰理论,准确到二阶微扰的体系能量：,准确到一阶微扰的体系波函数：,欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：,三. 微扰适用条件,微扰适用条件表明：,(2) 要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即 由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级(n大)的修正，而只适用于计算低能级(n小)的修正。,(1) 要小，即微扰矩阵元要小；,第二节 非简并定态微扰理论,2. 展开系数 表明第k个未扰动态矢 对第n个扰动态矢 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态 混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。,3. 由 可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量 加上微扰哈密顿量 H在未微扰态 中的平均值组成。该值可能是正或负, 引起原来能级上移或下移。,1. 在一阶近似下：,第二节 非简并定态微扰理论,四. 讨论,表明扰动态矢 可以看成是未扰动态矢 的线性叠加。,4. 对满足适用条件微扰的问题, 通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正 就需要求二级修正，态矢求到一级修正即可。,5. 在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量，令 只是为了便于将扰动后的定态薛定谔方程能够按的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，就可不用再明显写出，把 理解为 即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。,第二节 非简并定态微扰理论,四. 讨论,例1 一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,(1) 电谐振子哈密顿量,将 哈密顿 量分成 两部分, 在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,五. 例题,第二节 非简并定态微扰理论,(2) 写出 的本征值和本征函数,(3) 计算能量的一级修正,五. 例题,第二节 非简并定态微扰理论,欲计算能量二级修正, 首先应计算 矩阵元,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,第二节 非简并定态微扰理论,(4) 计算能量的二级修正,五. 例题,代入能量二级修正公式有：,第二节 非简并定态微扰理论,(4) 计算能量的二级修正,对谐振子有,由此式可知，能级移动与 n 无关，即与扰动前振子的状态无关.,第二节 非简并定态微扰理论,五. 例题,(5) 计算波函数的一级修正,所以修正之后的能量与波函数分别为,第二节 非简并定态微扰理论,五. 例题,可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低 , 而平衡点向右移动了 .,令,所以,(6) 讨论:电谐振子的精确解,将体系哈密顿量作以下整理：,例2 设Hamilton量的矩阵形式为：(1) 设c 1，应用微扰论求H本征值到二级近似； (2) 求H 的精确本征值； (3) 在怎样条件下，上面二结果一致。,解：(1) c 1，可取零级和微扰 哈密顿 量分别为：,五. 例题,第二节 非简并定态微扰理论,H0是对角矩阵，是其在自身能量表象中的形式。所以能量的零级近似为：,由非简并微扰公式,得能量一级修正：,能量二级修正为：,第二节 非简并定态微扰理论,解得:,(2) 精确解：设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得,第二节 非简并定态微扰理论,准确到二级近似的能量,(3) 将准确解按 c ( 1)展开：,比较可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同。,第二节 非简并定态微扰理论,按 c 展开,精确解,微扰论结果,第三节 简并微扰理论,主要内容: 简并微扰理论 实例 讨论,假设 是简并的，即属于H(0)的本征值 有k个归一化本征函数：,第三节 简并微扰理论,一. 简并微扰理论,零级近似方程,假设 非简并的，即H(0)的本征值 只有一个本征函数 与之对应, 则可取 作为波函数的零级近似.,共轭方程,于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的零级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取 零级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。,第三节 简并微扰理论,级近似波函数肯定应从这k个本征函数 中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：,取 的线性组合作为零级波函数,代入上式可得,第三节 简并微扰理论,左乘 , 并积分可得,可以看出,所以,第三节 简并微扰理论,关于系数 的线性齐次方程组,要使系数 有非零解,久期方程,解此久期方程, 可得能量的一级修正 的k个根：因为 所以, 若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k度简并完全消除；若 有几个重根, 则表明简并只是部分消除, 必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,为了确定能量 所对应的零级近似波函数, 可以把 之值代入线性方程组从而解得一组ci (i = 1, 2, ., k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 零级近似波函数。,第三节 简并微扰理论,对应 修正的零级近似波函数改写为,例1. 氢原子一级 Stark 效应,(1) Stark 效应:氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象,我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n个能级有n2度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。,(2) 外电场下氢原子 哈密顿量,取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多例如, 强电场 107 伏/米, 而原子内部电场 1011 伏/米, 二者相差 4个量级. 所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理.,第三节 简并微扰理论,二. 例题,(3) H0 的本征值和本征函数,下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。,属于该能级的4个简并态是：,第三节 简并微扰理论,由简并微扰理论知, 求解久期方程, 须先计算出微扰哈密顿量 H在以上各态的矩阵元。,第三节 简并微扰理论,(4) 求 H 在各态中的矩阵元,因为,所以,由简并微扰理论知, 求解久期方程, 须先计算出微扰哈密顿量 H在以上各态的矩阵元。,第三节 简并微扰理论,(4) 求 H 在各态中的矩阵元,因为,因为,因为,第三节 简并微扰理论,第三节 简并微扰理论,(5) 求一级修正能量：将 H的矩阵元代入久期方程:,解得 4 个根:,由此可见, 在外场作用下，原来4度简并的能级 在一级修正下，被分裂成3条能级，简并部分消除。当跃迁发生时, 原来的一条谱线就变成了3条谱线。其频率一条与原来相同, 另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。,分别将 的 4 个值代入方程组：,第三节 简并微扰理论,(6) 求零级近似波函数:,代入上面方程，得：,所以相应于能级 的 零级近似波函数是：,第三节 简并微扰理论,代入上面方程，得：,所以相应于能级 的 零级近似波函数是：,代入上面方程，得：,例2. 有一粒子，其哈密顿量的矩阵形式为： ，其中,求能级的一级近似和波函数的零级近似。,解：H0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,解得：,(1) 求本征能量 由久期方程 得：,第三节 简并微扰理论,记为,(2) 求解 0 级近似波函数,由归一化条件：,则,第三节 简并微扰理论,将 代入方程，得：,解得：,(2) 求解 0 级近似波函数,第三节 简并微扰理论,将 代入方程，得：,解得：,即,所以：,同理可得：,（1）新 0 级波函数的正交归一性,1. 正交归一性,第三节 简并微扰理论,三. 讨论,利用哈密顿量的厄米性,改记求和指标,即，新 零 级近似波函数满足正交条件。,第三节 简并微扰理论,对于微扰后的两能级 ,另外，由波函数归一 化条件,综上,证：,所以 H在新零级近似波函数为基矢的表象中是对角化的.,第三节 简并微扰理论,2. 在新零级近似波函数 为基矢的 k 维子空间中，H的矩阵形式是对角化的.,主要内容： 能量的平均值 与E0 的偏差和试探波函数的关系 如何选取试探波函数 变分方法 实例,微扰法求解问题的条件是体系的 哈密顿量H可分为两部分,其中H0的本征值本征函数已知有精确解析解，而H很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法变分法.,第四节 变分法,设体系哈密顿量H的本征值由小到大顺序排列为：,上式第二行是与本征值相应的本征函数， 其中E0 、 0 分别为基态能量和基态波函数。,为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即,第四节 变分法,一、能量的平均值,证：,则,这个不等式表明，用任意波函数|计算出的平均值 总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。,若|未归一化，则,插入单位算符,第四节 变分法,设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：,必有,
