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量 子 力 学,课程简介,量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是电子科学与技术专业的专业必修课程之一。设置量子力学课程的主要目的是： 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用。,基本粒子原子核原子分子团簇纳米体系介观体系,研 究 对 象,天体物理 宇宙学能源化学 生物学材料科学,目 的 要 求,1. 深入理解微观粒子的运动特性。掌握描述微观粒子运动的方法， 即量子力学的数学框架。3. 初步掌握应用量子力学处理简单体系的方法。,量子力学的十大应用,1、陌生的量子，不陌生的晶体管,2、量子干涉“搞定”能量回收,3、不确定的量子，极其确定的时钟,4、量子密码之战无不胜篇,5、随机数发生器：上帝的“量子骰子”,6、我们与激光险些失之交臂,7、专门挑战极端的超精密温度计,8、人人都爱量子计算机,9、想知道什么是真正的瞬时通信吗,10、远距传输从科幻到现实,主 要 内 容,I.绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论，微观粒子的波粒二象性。 II.波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，测不准原理和态迭加原理，薛定谔方程，一维定态问题。 III.力学量的算符表示：表示力学量的算符，算符的本征值和本征函数，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，电子在库仑场中的的运动，氢原子。,IV.态和力学量的表象：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述，幺正变换。 V. 近似方法：定态微扰理论，变分法的基本原理及方法，含时微扰理论（跃迁几率、光的发射和吸收、选择定则）。 VI. 电子自旋与角动量：电子自旋，自旋算符和波函数，角动量耦合，涉及自旋-轨道耦合时哈密顿的处理方法。 VII. 全同粒子体系：全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，氢分子。 VIII.散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩近似，方形势阱与势垒所产生的散射。,参 考 教 材,1周世勋，量子力学教程，高等教育出版社2曾谨言，量子力学，科学出版社。3L. I. 希夫，量子力学，人民教育出版社。4A. 梅西亚，量子力学，人民教育出版社。5钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。,第一章 绪论,1.2 经典物理学的困难,1.3 光的量子性,1.4 玻尔的量子论,1.1 量子力学发展简史,1.5 微观粒子的波粒二象性,1.6 波函数的统计解释,1.1 量子力学发展简史,1858年 气体放电管，发现阴极射线。,1897年 J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。,1900年 M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。,1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。,1924年 L.de Brglie 提出了“物质波”思想。,1913年 N.Bohr 提出了原子结构的量子化 理论（旧量子论）,1911年 E.Rutherfold 确定了原子核式结构,1925年 W.Heisenberg 建立了量子力学的 “矩阵形式”,1926年 E.Schrdinger 建立了量子力学的 “波动形式”并证明了与“矩阵形式”等价。,1927年 Davission, Germer 电子衍射实验。,1927年 Dirac 发展了电磁场的量子理论1928年 Dirac 建立了相对论量子力学（ Dirac方程）,第二节1.2 经典物理学的困难,二、 固体与气体分子的比热,三、 原子的线状光谱与稳定性问题,四、 黑体辐射,五、 光电效应,一、 迈克耳逊莫雷实验,1899年开尔文在欧洲科学家新年聚会的贺词中说：物理学晴朗的天空上， 飘着两朵令人不安的乌云,世纪之交实验物理学对理论物理学的挑战,以太,相对论,迈克尔逊莫雷实验是 物理史上最有名的 “失败的 实验”,18-19世纪时，人们认为“真空”中存在着一种无所不在的物体称为“以太”，光波应该通过以太传播 。,证明了以太不存在，说明了光速在真空的不变性。,一、迈克耳逊莫雷实验 （以太）,图1.1 迈克尔逊-莫雷实验,二、固体与气体分子的比热,固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。因此，固体的定容比热为,多原子分子的比热也存在类似的问题。例如，双原子分子有6个自由度（三个平动自由度、两个转动自由度、一个振动自由度、），比热应该为7R/2。,图1.3 双原子分子的比热,实际上只有在高温下为7R/2，在常温下，观测结果为5R/2，在低温度下它们的比热都降到了3R/2 。,三、原子的线状光谱与稳定性问题,1. 原子的稳定性,由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动 力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而 丧失 能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会 大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原 子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定 的存 在着。,2. 原子的线状光谱及其规律,最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。,由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律,巴尔末公式：,表示波数，R是一个常数，R=1.09677107m-1,Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差,其中m, n是某些整数。显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。,里德伯 氢原子谱普适公式：,实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。,辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。,辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。,单色辐出度,单位时间、单位表面积上所辐射出的、单位波长间隔中的能量。,辐射出射度,吸收比,反射比,对于非透明物体,基尔霍夫定律：,在热平衡下，任何物体的单色辐出度与吸收比之比，是个普适函数。,对于任意温度、或波长，绝对黑体的吸收比都恒为1,用不透明材料制成一空心容器，壁上开一小孔，可看成绝对黑体,黑体,在一定温度下，当空腔与内部的辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发出的辐射能量与其吸收的辐射能量相等，实验测出平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的温度有关与空腔材料或形状无关。,四、黑体辐射,维恩（Wien）由热力学的讨论，加上一些特殊的假设得出一个分布公式，维恩公式：,即随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。,其中， , 通过与实验数据对比得到,问：1 温度为室温20 的黑体，其单色辐出度的峰值所对应的波长 是多少？问：2 测量得知，太阳光谱单色辐出度的峰值所对应的波长 约为483nm。试由此估计太阳表面的温度？,瑞利（Rayleigh）和金斯（Jeans）根据经典电动力学和统计物理学也得到一个黑体辐射能量分布公式，瑞利金斯公式：,可以看出这个公式对高频无效，因为此时能量密度趋于无限大，这就是著名的紫外灾难。,下面我们将说到普朗克公式,二、早期量子论（19001924）,1、普朗克公式和普朗克假设,普朗克用插值方法试图调和维恩公式和瑞利金斯公式，得到 ：,普朗克发现要解释上列公式，需要作三个假设：,(1)辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍：,(2)谐振子吸收或发射的能量正比于,(3)吸收或发射频率为 的电磁辐射，只能以 的常数倍,补充1.证明Plank公式在高频区化为Wein公式，在低频区化为Rayley-Jeans公式。, 斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律,维恩位移定律,实验发现：当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度最大值m 向短波方向移动。, 经典物理遇到的困难, 瑞利和琼斯用 能量均分定理 电磁理论得出：,只适于长波，有所谓的“紫外灾难”。, 维恩根据经典热力学得出：,普朗克的拟合结果, 普朗克能量子假说,* 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值,* 存在着能量的最小单元（能量子=h),* 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量,从理论上推出：,分别是玻尔兹曼常数和光速。,h=6.62610-34焦耳。,o,(m),1 2 3 5 6 8 9,4,7,M,B,维恩,瑞利-金斯,实验值,紫,外,灾,难,四.光电效应, 光电效应的实验规律及经典理论的困难, 饱和光电流强度与入射光强度成正比。,或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比,相同频率，不同入射光强度,相同入射光强度，不同频率, 光电子的初动能与入射光强度 无关，而与入射光的频率有关。,截止电压的大小反映光电子初动能的大小,截止电压与入射光频率有线性关系,* 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。,经典理论的困难：,* 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。,* 瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。,当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：,当 （临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。,1.3 光的量子性,一、光的量子性,干涉、衍射现象：,光是波,赫兹：,光是电磁波,黑体辐射、光电效应：,光的量子性:电磁辐射的能量是被一份一份 地发射和吸收的。,二、Plank-Einstein关系,Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是：,并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量P波长的关系：,三、Compton散射,Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。,早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果。,康普顿散射的实验规律：,1、散射线波长的改变量 随散射角 增加而增加。,2、在同一散射角下 相同 , 与散射物质和入射光波长无关。,3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。,Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即X射线频率变小而波长增大。 相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守恒，即：,并利用相对论中能量动量关系式,（11）,从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依赖关系中包含了Plank常数K。因此，它是经典物理学无法解释的。,1.4 玻耳的量子论,一、原子的线状光谱和稳定性,组合原理：,氢原子：,二、Bohr的量子论（1913）,Bohr量子论的两个重要假定：,1.5 微观粒子的波粒二象性,一、德布罗意的物质波,德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960),德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n和波长l所描述的波动性。,德布罗意关系,三、微观粒子的波粒二象性,经典粒子,经典的波,(四） 自由粒子的波函数,平面单色波,二.自由粒子的波函数,一般地，我们用复数形式,则自由粒子的平面波,二、电子衍射实验,1、戴维逊-革末实验,戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。,实验装置：电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体M上，散射后进入电子探测器，由电流计G测量出电流。,K,实验现象：实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压U=54V,且=500时，探测器中的电流才有极大值。,实验解释：,/2,/2,X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm,实验结果：理论值(=500)与实验结果(=510)相差很小，表明电子电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。,当加速电压U=54V，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为,X射线经晶体的衍射图,电子射线经晶体的衍射图,2、汤姆逊实验,1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,3、电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,遮住缝1,遮住缝2,双缝都打开,遮住缝1,遮住缝2,双缝都打开,作业：,单位换算：,一、波函数的统计解释,1、光的衍射,根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方成正比，所以衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小。根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该处的光子数多；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处的光子数少。从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的概率要远大于光子到达暗处的概率。因此可以说，粒子在某处出现附近出现的概率是与该处波的强度成正比的，而波的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的概率是与该处的波的振幅的平方成正比的。,2德布罗意波统计解释,从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的概率是不同的，电子密集的地方概率大，电子稀疏的地方概率小。从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的概率就反映了在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。,3德布罗意波与经典波的不同,机械波机械振动在空间的传播德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅的平方表示粒子出现的概率，故是概率波。,分子的转动与振动能级,f(v),f(vp3),v,vp,f(vp1),f(vp2),T1,T3,T2,温度越高，速率大的分子数越多,