保险精算ppt课件第1章利息理论.ppt

2.1.1 累积函数1.总额函数本 金：最初的投资额累积额：本金经过一定时间后形成金额利 息：累积额与本金之差,2.1 利息基本理论,2.累积函数：单位本金经过t年的累积额,如果单位时间为1年，则1年内1单位本金的利息就是实际年利率,3.利息率：单位本金在单位时间内所滋生的利息. 表示第n个基本计息时间单位的实际利率,2.1.2 单利和复利,单利：只在本金上计算利息,复利：利上生利的计息方式,常数利率时,常数利率时,此时累积函数为,解：显然，A(0)=1000, A(1)=1050, A(2)=1100因此，,例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？,例2. 某人存入银行5000元，年利率6%，试分别以单利和复利计算5年后的积累值。,解：按单利计算，A(5)=5000(1+56%) =50001.3=6500(元) 按复利计算，A(5)=5000(1+6%)5 =6691.13(元),例3. 王亮1994年1月1日从银行借款10000元，假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算（1）1994年5月20日他需还银行多少钱？（2）2019年1月1日他需还银行多少钱？（3）多少年后他需还15000元？,我们把为了在 t 期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是在t期末支付1单位的现值，在t期末支付k单位的现值为ka-1(t)。,2.1.3 现值和贴现率1.现值, 积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子; 称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地，把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。 在复利方式下，当年利率不变时 通常记,1,0,1,t,-1,货币时间,-t,2.贴现额,如果把应在将来某时期支付的金额提前到现在支付，则在支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。 利息是在本金基础上的增加额，贴现是在累积额基础上的减少额。,3.贴现率 单位货币在单位时间内的贴现额。,以dn表示第n年贴现率，第1年的贴现率简化表示为d,有,可解释为：在年末应付的利息是年初可 付利息的累积值。,表明1-d在利率i下经过1年累积为1,以贴现率d投资1赚得的、在期初支付的利息是d,也可以说d是i在一期前的现值。,例： 已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而与本金等价的贴现额为300元，求本金。,1.名义利率：所谓名义利率 ，是指每 个度量期支付利息一次，而每 个度量期的实际利率为 。设与名义利率等价的实际利率为 ，则有：,2.1.4 名义利率和名义贴现率,时间点：,利 息：,余 额：,2.名义贴现率：一个度量期内结算多次利息的贴现率称为名义贴现率 。以 表示每 个度量期以实际贴现率 计息的名义贴现率，设与之等价的实际贴现率为 ，则有：,时间点：,贴 现：,余 额：,或,例1：（1）求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的年名义利率；（2）求相当于每月结算一次的年利率为12%的半年结算一次的贴现率。,例2：求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资三年的积累值。,例3：每年计息2次的年名义利率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。,利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的指标。记为 ，则,2.1.5 利息力,时，,或,上式两边从0到t积分得,例：如果 ，确定投资1000元在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。,2.1.6 利息问题求解,一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量：1.原始投资的本金2.投资时期的长度3.利率4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个价值等式，由此等式确定第四个量。,利息问题求解举例,例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息，年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。,x,50000300001.03-4200001.03-101.03-14x,500001.0314300001.0310200001.034 x,价值等式,或,例2： 某人在2019年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2019年1月1日取出12000元，如果利率为5%，计算2019年1月1日他帐户上的余额。,价值等式,2019,2019,2019,2019,8000,12000,x,80001.05960001.057 120001.053x,6000,例3： 某人为了能在第7年末得到一笔10000元的款项，愿意在第1年末付出1000元，在第3年末付出4000元，并在第8年末付出一笔钱，如果年利率为6%，问他在第8年末应付多少元？,答案为3743.5元,例4： 某人在2019年1月1日在其银行帐户上存款2000元，2019年1月1日存款3000元，如果之后没有存取款项，2000年1月1日的帐户余额为6000元，计算实际利率。,2000(1i)53000(1i)2 6000,价值等式,f (i) 2000(1i)53000(1i)2 6000,可利用中点插值法求解,补充作业：1、设 ，请把 按从大到小的次序排列。2、已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年、第2年、第3年的利率分别为10%、8%、6%，求该笔投资的原始金额。3、基金X中的投资以利息强度 基金Y中的投资以年实际利率i积累。现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。,2.2 年 金,所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。年金在经济生活中有很广泛的应用，如零存整取的银行存款、购物的分期付款及保险领域中的养老金给付、分期交付保费等。,2.2.1 等额支付的n期年金期末付n期年金的现值和终值,金额,时期,2. 期初付n期年金的现值和终值,0,1,2,n-1,n,1,1,1,1,3. 期初、期末付n期年金的现值和终值间的关系,例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。,0,1,2,19,20万元,解得,20,例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投资3000元，投资20年的现值及积累值。如果投资在每年年初进行，那么投资20年的现值及积累值又分别是多少？,问：符号 的含义是什么？,例：某人希望通过等额的年度存款在10年后攒够10万元，在年度实质利率8%的情况下，问每年末需存入多少钱才能达到其要求。若存款改为每年年初进行，其他条件不变，计算每年需存入的款项。,例：某人在银行存入10000元，计划分4年等额支取完，每年末支取一次，银行的年度实质利率为7%。计算该人每次可支取的金额。,例：某人从银行贷款10000元，期限为10年，年实质利率为6%，比较下面三种还款方式支付利息金额的多少。（1）贷款本金及利息积累值在第10年末一次性还清；（2）每年末支付贷款利息，第10年末归还本金；（3）利用基本年金方式，每年末支付相同的金额，到第10年末正好还清贷款。,例：某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，他每年捐款支付3000元，到2019年1月1日为止从未间断。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值。（1）1970年1月1日； （4）2019年1月1日；（2）1980年1月1日； （5）2019年1月1日；（3） 2000年1月1日；,4.每年收付m次，每次1/m元的期初付n年年金的现值和终值,0,1,n-1,n,1/m,1/m,1/m,1/m,1/m,1/m,(nm-1)/m,1/m,5.每年收付m次，每次1/m元的期末付n年年金的现值和终值,0,1,n-1,n,1/m,1/m,1/m,1/m,1/m,(nm-1)/m,1/m,1/m,例：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第2个月开始每月等额还款，求每月需要的还款数额。,例：某人计划每年末存入银行10000元，一共10年，第一次存款计划在第1年末。假设银行月度转换的存款利率为6%，求在第10年末全部存款的积累值。,6.连续年金,2.2.2 永续年金,付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金,例：若存入银行10万元建立一项永续奖励基金，从存款1年后开始支付等额年金，设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。解：设每年可以提取的最大数额为 ，有,例：某人留下一笔100000元的遗产。这笔财产前10年的利息付给受益人A，第2个10年的利息付给受益人B，此后的利息都付给慈善机构C。若此项财产的年实质利率为7%，试确定A、B、C在此笔财产中各获得的遗产数额。,例：有甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额100万元的奖学基金。该基金以永续年金的方式每年支付一次用作该校部分学生的奖学金，第一次支付在基金设立一年后。甲、乙、丙经协商，决定由甲为前8年支付出资，乙为接下来的10年支付出资，余下来的款项由丙出。假设基金以年实质利率8%计息。分别计算甲、乙、丙三人的出资额。,基本年金公式总结,2.2.3 变额年金,变额年金是每次收付额不等的年金，实际中常见的变额年金有两种：一种是收付额等差变化的年金，另一种是收付额等比变化的年金。等差变化又分等差递增和等差递减两种。,1. 等差递增年金,0,1,2,n-1,n,1,1,1,1,1,1,1,1,n+1,1,1,两式相减得,0,1,2,n-1,n,1,1,1,1,1,1,2. 等差递减年金,1,1,1,1,n+1,例：某年金第1年末收付1000元，以后每隔1年收付额比前一年增加100元，共收付10年，若年利率为5%，求第10年末的年金终值。,解：这一变额年金可分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金，因此第10年末的年金终值为,3. 等比变化年金,若某期末付年金各期付款额成等比级数，即各期付款额有如下关系：,则各年金现值为,例：我国城镇基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式，个人帐户以个人缴费工资的8%计入。如果某职工从20岁参加个人帐户保险，当年工资为6000元，工资年增长率为2%，个人帐户的累积利率为4%，求他在60岁退休时个人帐户的累积值。,例：在上例中，如果个人帐户累积利率在刚参加个人帐户的前10年内为4%，退休前的10年内为2%，中间20年为3%，求这时个人帐户在退休时的累积值。,2.3 债务偿还,债务偿还的方式一般有以下三种：（1）满期偿还：借款者在贷款期满时一次性偿还贷款的本金和利息。（2）分期偿还：分期（年、季、月）清偿贷款，每次偿还当期的利息和部分本金。通常采用的分期偿还方式有等额分期偿还和变额分期偿还。（3）偿债基金：借款者每期向贷款者支付贷款利息,并且按期另存一笔款,建立一个基金,在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金,一次性偿还给贷款者。,2.3.1 分期偿还 等额分期偿还：每期（年、季、月）偿还相等的金额，到期正好还清贷款总额。,要解决的问题：1.每次偿还的金额是多少？2.未偿还的本金余额是多少？3.每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？,1.每次偿还的金额,符号:B0 贷款本金n 贷款期限i 贷款利率R 每次偿还的金额假设每年末等额偿还，则,2.未偿还本金余额,假设：在每年末付款之后计算未偿还本金余额。符号：B0 年初的未偿还本金余额（即贷款金额）B1 第1年末的未偿还本金余额Bn 第n年末的未偿还本金余额（ Bn = 0）计算方法（两种） :（1）过去法：基于过去已偿还本金计算（2）将来法：基于将来需要偿还的金额,过去法,基本思想：从原始贷款本金中减去过去已偿还本金即得未偿还本金余额。如何计算已偿还本金？每年偿还的总金额为R每年偿还的利息为B0i， B1i， ， Bn-1i每年偿还的本金为RB0i， R B1i， ， R Bn-1i,未偿还本金余额:第1年末：第2年末：第k年末：,问题：如何理解 ？,解释：第k年末未偿还本金余额是下述两项之差原始本金在第k年末的累积值已偿还金额R在第k年末的累积值,将来法：基本思想：把将来需偿还的金额折算成计算时的现值。,在第k年末还需偿还(nk)次，故未偿还本金余额为,过去法,将来法,过去法和将来法的比较,3.每年偿还的本金和利息：,第k年应支付的利息,第k年应支付的本金,付款金额,时期,总计,偿还本金,例：已知某住房贷款10万元，分10年还清，每月末还款一次，每年计息12次的年名义利率为6%。计算在还款50次之后的贷款余额。如果还款在每年末进行，那么在第5次还款后的贷款余额会是多少呢？,例：某人从银行借得一笔款项，每年末还款10000元，共20次。在第5次还款时，他决定将手头多余的20000元也作为偿还款，然后将剩余贷款期调整为12年，若利率为9%，计算调整后每年的还款额。,例：设A向B借款20000元，期限为5年，年实际利率为6%，A在每年年末以等额分期方式偿还贷款。试计算第3年末未偿还贷款余额、第3年支付的利息以及偿还的本金。,变额分期偿还,最为常见的一种变额分期偿还方式是每期偿还的本金相等，即,设第k期偿还金额为R k ，,则有,付款金额,时期,总计,偿还本金,支付利息,未偿还贷款余额,例：某人贷款100000元，期限为10年，年实际利率为6%，每年年末以等额本金偿还方式偿还贷款。试计算第5年末应偿还的贷款数额。,2.3.2 偿债基金, 等额偿债基金需解决的问题1.借款人每年末的付款总额2.每年末的贷款净额3.借款人每年末实际支付的利息,B0 原始贷款本金n 贷款期限 i 贷款利率 I 借款人每年末名义上支付的利息 ，即 j 偿债基金的利率D 借款人每期末向偿债基金储蓄的金额,符号,1. 借款人每年末的付款总额,借款人每期末向偿债基金储蓄的金额D满足,借款人每期末的付款总额为,2.每年末的贷款净额,第k期末贷款净额为,偿债基金在第k年末的累积金额为,3.借款人每年末实际支付的利息,偿债基金第k年产生的利息为,贷款人第k年实际支付的利息为,偿债基金在第k年初的余额（已偿还的本金）为,例：A曾借款1万元,实质利率为10%，采取偿债基金的方式偿还，偿债基金的利率为8%。在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问1500中有多少是当前支付给贷款的利息?1500中有多少进入偿债基金?1500中有多少应被认为是利息?1500中有多少应被视为本金?第11年末的偿债基金余额为多少?,例：某人从银行借款，期限为5年，年利率 为8%，欲采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率为7%.他每年末可支付的款额为1000、1000、1500、1500、1500元，其中一部分作为利息，另一部分作为偿债基金存款，计算他可以借款的数额。,特例：偿债基金利率j贷款利率i,结论：当i=j时，等额偿债基金法等额分期偿还法。,借款人每期支付的总金额为, 等额分期偿还法：贷款利率为i 等额偿债基金法：贷款利率为i，偿债基金利率j,问题：对借款人来讲下列哪种方法更有利？,例：假设两笔贷款的本金均为10000元，期限均为10年，但偿还方式不同：第一笔：采用偿债基金方式偿还，贷款利率为6%，偿债基金利率为5%;第二笔：采用等额分期偿还方法偿还问题：当第二笔贷款利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。,等价利率的一种近似解法：,偿债基金贷款利率,借款人在偿债基金中损失的利率每1元贷款的平均余额近似为0.5,在上例中近似的等价利率为,例：某贷款为100000元，期限10年，贷款利率为8%，采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率 为6%.计算第5年借款人实际支付的利息。如果采取等额分期方式偿还，试计算与之等价的贷款利率。,作业：1. 某人借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还本利和，其中的利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。2.有一笔金额为1万元的贷款，期限为20年，每年末等额偿还，第13期偿还的本金是第5期偿还本金的1.5倍，试求为该贷款支付的总利息。,3. 某贷款为期5年，每季度末等额偿还，每年计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。4.某贷款为10万元，期限10年，贷款利率为5%，采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率 为3%。还款在每年末进行。计算第5次还款前，贷款人要求借款人一次性实际支付的利息。如果采取等额分期方式偿还，试计算与之等价的贷款利率。,谢谢！,