测量误差分析课件.ppt

第一节 误差的来源与分类 第二节 系统误差 第三节 随机误差（偶然误差） 第四节 随机误差的计算 第五节 粗大误差（过失误差） 第七节 最小二乘法、误差的综合 第八节 有效数字与计算方法 第二章思考题,第二章 测量误差分析及处理,第一节 测量误差的来源与分类,一、测量误差的概念二、误差的来源三、测量误差的分类,一、测量误差的概念测定值与被测量真值之差称为测量的绝对误差，或简称测量误差。 = x X0 式中， 测量误差； x 测定值（例如仪表指示值）； X0 被测量的真值。真值一般无法得到，所以用实际值X代替X0。,对于绝对误差，应注意下面几个特点：绝对误差是有单位的量，其单位与测定值和实际值相同。绝对误差是有符号的量，其符号表示出测定值与实际值的大小关系。测定值与被测量实际值之间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。,示值的绝对误差与约定值之比值称为相对误差，其为无量纲数，以百分数表示。一般约定值m有如下几种取法：m取测量仪表的指示值x时，称为标称相对误差；m取测量的实际值X时，称为实际相对误差；m取仪表的满刻度值时，称为引用相对误差。,对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。但对于不同的被测量，则应采用相对误差来评定。,测量过程中存在测量误差是不可避免的，任何测量值只能近似反映被测量的真值。测量过程中无数随机因素的影响，使得即使在同一条件下对同一对象进行重复测量也不会得到完全相同的测量值。被测量总是要对敏感元件施加能量才能使测量系统给出测量值，这就意味着测量值并不能完全准确的反映被测参数的真值。,二、测量误差的来源,1、仪器误差它是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。减少仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，正确地选择测量方法和使用测量仪器。,2、人身误差它指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。减少人身误差的途径,3、影响误差它是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。,4、方法误差它是所使用的测量方法不当，或对测量设备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，也称理论误差。原则上可通过理论分析和计算或改变测量方法来加以消除或修正。,三、测量误差的分类 1、按误差出现的规律分类 1）系统误差 在相同条件下对某一个量进行多次测量时，误差的绝对值和符号均保持恒定，或者按照一定的规律变化，这类误差称为系统误差。 前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。变值系统误差又分为累进系统误差、周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。,系统误差一般是由某些固定的因素造成的。系统误差产生的原因通过仔细的检查、校验，可以被发现，采取相应的校正措施后，系统误差可以减小或者消除。 2）随机误差 对同一个被测量进行多次测量时，由于受到某些不可知随机因素的影响，测量误差时大时小地变化没有一定规律，并且无法估计。这类误差称为随机误差。,随机误差的出现是无法控制的，所以在任何测量过程中，随机误差的存在不可避免。 从测量数据的个体来说，随机误差的大小是无规律的，有其不可预测的随机性。但只要在等精度条件下进行测量，而且测量次数足够多，则从总体上来看，随机误差又有其一定的统计规律性。因此可以通过数理统计的方法从理论上来估计随机误差对测量结果的影响。,3）粗大误差 凡在测量过程中完全由于人为过失而明显造成了歪曲测量结果的误差称为粗大误差。 粗大误差的值大大超出同样条件下所测得的正确数值。一旦发现粗大误差，这类数据必须予以剔除，并通过主观努力克服这种错误。,思考题：,1.某测温仪表的准确度等级为1.0级，绝对误差为1，测量下限为负值（下限的绝对值为测量范围的10），试确定该表的测量上限值、下限值和量程。 （90， 10， 100 ）,2.用测量范围为50+150kPa的压力表测量140kPa压力时，仪表示值为+142kPa，求该示值的绝对误差、实际相对误差和引用相对误差。 （+2kPa， +1.43%， +1.0% ）,3.某1.5级测量范围为0100kPa的压力表，在50kPa、80kPa、100kPa三点校验时，其示值绝对误差分别为0.8kPa、+1.2kPa、+1.0kPa，试问该表是否合格？,因为1.21.5%，所以该表合格。,仪器基本误差小于允许误差，仪器合格；反之则不合格。,4.现有2.5级、2.0级、1.5级三块测温仪表，对应的测量范围分别为100+500、50550、01000，现要测量500的温度，其测量值的相对误差不超过2.5%，问选用哪块表最合适？ 解：(500+100)2.5%=15，15500100%=3%； (550+50)2.0%=12， 12500100%=2.4%； (10000)1.5%=15， 15500100%=3%； 所以准确度2.0级量程范围50550的测温仪表最合适。,第二节 系统误差,一、系统误差的判断二、削弱系统误差的典型测量技术三、系统误差存在与否的检验,第二节 系统误差 一、系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面： 由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整，使用不得当而引起的误差。 由于外界环境因素的影响而引起的误差。 由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在的理论本身不完善而引起的误差。 在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。,第二节 系统误差 二、系统误差的判断 1、理论分析法 凡属于测量方法或测量原理引入的系统误差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系统误差，甚至计算出系统误差的大小。 2、校准和比对法 当怀疑测量结果可能会有系统误差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系统误差。测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值，目的就是发现和减小系统误差。,3、改变测量条件法 系统误差常与测量条件有关，如果能改变测量条件，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系统误差。 第2、3种方法属于实验对比法，用于发现恒值系统误差。 4、剩余误差观察法 根据测量数据观察各个剩余误差的大小、符号的变化规律进行判断，主要用于发现变值系统误差。,三、削弱系统误差的典型测量技术 （一）恒值系统误差 1、零示法 在测量中，将待测量与已知标准量相比较，当两者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。,图中x为被测量，s为同类可调节已知标准量，p为零示器。,只要零示器的灵敏度足够高，测量的准确度基本上等于标准量的准确度，而与零示器的准确度无关，从而可消除由于零示器不准所带来的系统误差。电位差计是采用零示法的典型例子。,图中Es为标准电压源，Rs为标准电阻，阻值为R1，Ux为待测电压，P为零示器，一般用检流计。,调Rs使Ip=0，则被测电压Ux=Us，即,被测量Ux的数值仅与标准电压源Es及标准电阻R1、R2有关，只要标准量的准确度很高，被测量的测量准确度就很高。 2、替代法（置换法） 在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量。,以精密电阻电桥测量为例。首先接入未知电阻Rx调节电桥使之平衡，此时有Rx=R1R3/R2 ，由于R1、R2、R3都有误差，若利用它们的标称值来计算Rx，则Rx也带有误差，即,进一步计算，得到,为了消除上述误差，现用可变电阻Rs代替Rx，并在保持R1、R2、R3不变的情形下通过调节Rs使电桥重新平衡，因而得到,可见测量误差Rx仅决定于标准电阻的误差 Rs，而与R1、R2、R3的误差无关。 3、交换法 通过交换某些测量条件，使得引起恒值系统误差的原因以相反方向影响测量结果，从而消除其影响。,以天平称重物为例，若天平不等臂，可先将被测物（质量为m）放在左边，标准砝码（质量为mn）放在右边，平衡后有,图212 天平称重物,交换m与mn的位置，由于l1l2，mn需调为 方可平衡，此时有,将两式相乘，则有,消除了由于天平不等臂所造成的测量误差。 （二）变值系统误差 1、累进变化系统误差 采用对称补偿法消除线性变化系统误差。即将测量工作以某时刻为中心对称地安排，取各对称点两次测量值的算术平均值作为测量结果。,Rx R0,Ux U0,I,图213 对称补偿法测电阻,II1I2I3,t1 t2 t3 t,左图所示为电位差计测电阻示意图。若电流随时间而线性递减，用1台电位差计不能同时测定Ux和U0的值，则可设计测量步骤如下：在时间t1，测Rx上电压降，得 Ux1=I1Rx （1）在时间t2，测R0上电压降，得 U02=I2R0 （2）在时间t3，测Rx上电压降，得 Ux3=I3Rx （3）,将（1）式和（3）式相加除2，得,与（2）式联立求解，得,消除了电流变化所引起的系统误差。,四、系统误差存在与否的检验 根据系统误差处理的一般原则，在测量之前及测量之中必须采取正确的方法和措施，尽量消除系统误差对测量结果的影响，提高测量精确度。 尽管如此，在取得测量数据之后仍需设法检查是否存在未被注意到的系统误差，以便进一步采取措施消除之，或估计其影响。,1、根据测定值残差的变化进行判定 准则1 将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的大小（就代数值而言）有规则地向一个方向变化，由正到负或者相反，则测量列中有累进的系统误差（若中间有微小的波动，则是随机误差的影响）。 准则2 将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的符号呈有规律的交替变化，则测量列中含有周期性的系统误差（若中间有微小波动，则是随机误差的影响）。,例：对某恒温箱内的温度进行了10次测量，依次获得如下测量值（单位：）： 20.06 20.07 20.06 20.08 20.10 20.12 20.14 20.18 20.18 20.21 试判断该测量列中是否存在变值系统误差。解:,计算各测量值的残差，并按先后顺序排列如下： 0.06 0.05 0.06 0.04 0. 02 0 0.02 0.06 0.06 0.09 可见，残差由负到正，其数值逐渐增大，故测量列中含有累进系统误差。,2、利用判据来判定变值系统误差的存在 根据残差变化情况来判定变值系统误差的存在，只有在测定值所含系统误差比随机误差大的情况下才是有效的，否则，残差的变化情况并不能作为变值系统误差存在与否的依据。 为此，还需要进一步依靠统计的方法来判别。下面给出几个变值系统误差存在与否的判据。这些判据的实质乃是以检验分布是否偏离正态为基础的。,判据1：对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1，x2，xn（按测量先后顺序排列），各测定值的残差依次为v1，v2， ，vn， 把前面k个残差和后面（n-k）个残差分别求和（当n为偶数时，取k=n/2；n为奇数时，取k=(n+1)/2），并取其差值,若差值D 显著地异于零，则测量列中含有累进的系统误差。,判据2：对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1，x2，xn （按测量先后顺序排列），各测定值的真误差依次为1，2 ， ， n ，设,若,则可认为该测量列中含有周期性系统误差。其中 是该测量列的均方根误差。,判据2 是以独立真误差的正态分布为基础的。在实际计算中，可以用残差 来代替，并以估计值 来代替。,例：仍以某恒温箱内的温度测量获得的数据为例，试用判据1、2来判定测量列中是否含有系统误差。解: 上例已得各测量值残差，排列如下： 0.06 0.05 0.06 0.04 0. 02 0 0.02 0.06 0.06 0.09用判据1检验,可见，D显著地异于零，故可认为测量列中含有累进的系统误差。与用准则1判定的结论相同。,应该注意，判据1指出，当D显著异于零时方可认为测量列中含有累进系统误差。至于何谓“显著”，则没有定量的概念。实际上，当测量次数无穷时，只要D0，一般即可认为测量列中含有累进系统误差。但当测量次数有限时，D0不能说明累进系统误差的存在，一般采用 作为判定测量列中累进系统误差存在的依据。此时，与观察残差变化的准则1联合使用是可取的。,故可判定测量列内含有周期性变化系统误差。这一结果在上例中未曾得到。说明在判定一个测量列中是否会有变值系统误差时，联合运用上述判别准则和依据是有益的。,用判据2检验：,第三节 随机误差 一、随机误差的正态分布性质 对同一静态物理量进行等精度重复测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同。例如测定某转轴直径，假定其系统误差小到可以忽略不计，重复测量50次（n50）。每次测得的直径为xi（cm），假定测量仪器的最小刻度为1mm，则测量时能读到的最小值为0.1mm，即0.01cm。,表21 静态物理量等精度重复测量举例（n=50，x=0.01）,图22 频率及累积频率分布直方图,当改进测量技术（如量具的最小刻度更为精细，以使测量值的有效位数更多和组距更小），并在其同时增加测量次数，各组的频率将逐步以某确定的数值稳定下来，直方图也逐渐趋向于一条曲线。 最终，当测量次数趋向于无穷大，测定值将连续地充满数值的某一定值，此值即称为概率；而频率的直方图将演变为一光滑曲线，频率密度趋于概率密度，频率趋于概率。,图23 子样容量无限大时频率直方图和累积频率分布图的演变（a） 频率直方图 （b）累积频率分布图,任何一次测量，随机误差的存在都是不可避免的，对同一静态物理量进行等精度测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同，尤其是在各个测定值的尾数上。 测定值就其个体来说是无规律的，为一随机变量，但作为总体来说，它又遵循一定的统计规律。测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。根据测量误差的定义，测定值的分布规律实际上反映了随机误差的分布规律。,在随机误差分布上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的增大，出现的概率急剧减小。测量值和随机误差的这种统计分布规律，称为正态分布。,随机误差分布具有以下几点性质： （1）有限性 在一定的测量条件下，随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率趋近于零。也就是说，随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。 （2）单峰性 绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率接近于零。测量值等于其算术平均值时出现的概率最大。,（3）对称性 当测量次数足够大时，出现正误差和负误差的次数大致相等，即绝对值相等但符号相反的随机误差出现的概率相同。 （4）抵偿性 在等精度条件下，全部随机误差的算术平均值在测量次数不断增加而趋向于无穷时趋于零。,二、正态分布密度函数 1、正态分布密度函数 服从正态分布的随机误差的分布密度函数为,如果用测量值x表示，则,（22）,（21）,式中x0、是决定正态分布的两个特征参数。在误差理论中，x0代表被测参数的真值，它完全由被测参数本身所决定。当测量次数趋于无穷大时，子样平均值等于真值。,表示测定值在真值周围的散布程度，它由测量条件所决定。 称为标准误差（或均方根误差）。,（23）,2、方差和标准误差 随机误差反映了测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，应使用方差进行描述。方差定义为n时测量值与真值之差的平方的统计平均值，即,（24）,由于随机误差 ，故,（25）,式中 称为测量值的样本方差，简称方差。 取平方的目的是保持其总为正值，避免正负误差求和过程中相抵消。求和再平均后，使个别较大的误差在式中占的比例较大，使得方差对较大的随机误差反映较灵敏。,由于实际测量中 都带有单位，因而方差 是相应单位的平方，使用不方便。为了与随机误差 单位相一致，将上式两边开方，取正方根，得,（26）,式中定义为测量值的标准误差或均方根误差。标准误差反映了测量的精密度，小表示精密度高，测量值集中，大表示精密度低，测量值分散。,图24 正态分布密度函数随x0和变化的情况,由正态分布曲线图可以看出，的大小表征着诸测定值关于真值的弥散程度。 值愈小，正态分布密度曲线愈陡，幅值愈大；反之， 值愈大，曲线愈平坦，幅值愈小。从随机误差的角度来说， 小表明测量列中数值较小的误差占优势；大则表明测量列中数值较大的误差相对来说较多。 并不是一次具体测量的误差值， 的大小只不过说明了在一定条件下进行一系列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。因此可以用来表征测量的精密度。,三、概率的积分 随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得单个测量值的真误差x的数值。我们所能做的只是在一定的概率意义下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差（也可以是测量值本身）出现于某个区间的概率。一个没有标明误差的测量结果在工程上几乎会成为没有用的数据。,服从正态分布的随机变量x，其分布密度函数为,上式可以简写为 。由于正态分布曲线为一曲线族，其参变量为x0和 。如果考虑特殊情况，令x00及1，命之为标准正态分布密度函数：,（27）,对标准正态分布密度函数积分，则得标准正态分布函数P(x;0,1)，即,图25 标准正态分布密度函数图,（28）,由于正态分布密度的对称性，则x出现在 （-z，z）区间内的概率为,这一性质是由于密度函数从到的积分为1，加之它的对称性之故。有了这些性质，就可以方便地利用标准正态分布表求得任何Z值下的标准正态分布函数。,对于非标准的正态分布P（x;x0,） ，可先将函数标准化，然后用标准正态分布表求取。即当x00，1时，可令z(x-x0)，即,例：设x的分布密度函数为P（x;x0,） ，求随机误差3x-x03，2， 1的概率。解：,同理,由于随机误差出现在 的概率仅为0.27，一般可认为超出 的误差不属于随机误差，而为系统误差或者是过失误差。因此，常把作为极限误差。,四、测量结果的最佳值算术平均值 一、真值x0的估计 设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测量值x1，x2，x3，xn，由于随机误差的存在，这些测量值也是随机变量。定义n个测量值（随机变量）的算术平均值为,样本平均值,当测量次数n时，样本平均值 的极限定义为测量值的数学期望,式中EX也称作总体平均值。 假设上面的测量值中不含系统误差和粗大误差，则第i次测量得到的测量值xi与真值x0间的绝对误差就等于随机误差。,绝对误差,随机误差,随机误差的算术平均值,当n时，上式中第一项即为测量值的数学期望EX，所以,由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大时， 趋于零：,即随机误差的数学期望等于零。因此 EXx0 即测量值的数学期望等于被测量真值x0。 实际上不可能做到无限次测量，对于有限次测量，当测量次数足够多时近似认为,由上述分析可得，在实际测量工作中，当基本消除系统误差和剔除粗大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测量的算术平均值很接近被测量真值，因此就将它作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估计值。,二、剩余误差 当进行有限次测量时，各次测量值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：,对上式两边分别求和，有,上式表明，当n足够大时，残差的代数和等于零。这一性质可用来检验计算的算术平均值是否正确。,三、标准误差的估计（贝塞尔公式） 标准误差表征着一列测定值在其真值周围的散布程度，它是以随机误差i =xix0及测量次数n来定义的。实际上，当只能进行有限次测量，而且所知道的也仅仅是由算术平均值原理所求得的被测量真值的估计值 。因此，标准误差实际上也不可能准确计算，只能作出估计。,当n为有限值时，我们用残差 来近似或代替真正的随机误差i，用 表示有限次测量时标准误差的最佳估计值，可以证明,上式称为贝塞尔公式，式中n 1。 也称标准偏差，表示对标准误差的无偏估计。,四、算术平均值的标准误差 如果在相同条件下将同一被测量分成m组，每组重复n次，则每组测量值都有一个平均值 。由于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，围绕真值有一定分散性，即算术平均值与真值之间也存在测量误差。 由概率论方差运算法则可以求出算术平均值的标准误差,在有限次测量中，以 表示算术平均值标准误差的估计值，即算术平均值的标准偏差为,可见，在等精度测量条件下，对某一被测量进行多次测量，用测量值的平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精确度。上式实际上也提出了一个减小实验结果随机误差的一个途径多次测量取平均。,多次测量取平均虽可减小测量值的随机误差，但是测定次数增多时要增加测量工作量，既提高了成本，又推迟了时间。 再者，算术平均值的标准差是按 规律减小的，当n1020时，减小得很慢，收敛不显著，即仅靠增加测量次数来减小标准差收益不大。实际测量中n的取值并不很大，一般在10到20之间。,与 的区别与联系： 算术平均值的标准差 一般用于表示测量结果的精密度，而单一测量值标准差 则用于表征测量仪器的精密度。一个确定的仪器对应着一个确定的 值。适当增加测量次数可以提高测量结果的精密度参数 ，然而，如能创新、改革测量仪器及改善测量条件， 会随之减小，相应的 也得以减小。,五、测量结果的表达 任何估计总有一定偏差，如果不附以某种偏差的说明，这种估计就失去了严格的科学意义。为此通常将被测量的一组观测值的算术平均值作为对被测量真值估计时，真值真正处于某个区间（1、2）内的概率有多大，这个概率称为置信概率，（1、2）称为置信区间。,有限次测量的算术平均值 为随机变量，其分布函数为,因此，对于给定的置信概率100（1），为不确定度（危险率），有,（222）,（223）,由不等式可以推导出,因此，对于有限次测量，其测量结果可表达为,（225）,（224）,第五节 随机误差的计算一 、 直接测量误差的计算,二、非等精度测量的数据处理（“权”的概念） 在非等精度测量中，由于所处条件不同，不同的人、仪器、环境等得到的一系列测量值不具有同等的信任程度。在计算最后结果时，应给以好的测量值较大的信任，差的次之。 我们用一个数值pi来表示对某一测量值xi的信任程度，pi称之为权。pi愈大，表示该测量值xi愈值得重视。而某数乘以pi ，则称之为加权。 在非等精度测量中，被测量真值的最佳估计值是测定值的加权平均值。,若对某一被测量进行n次测量，得到一列测定值x1,x2,xn。假定各个测量值互相独立，服从正态分布，且具有相对应的标准误差1,2, ,n ，可以用最大似然估计方法求取被测量真值x0的估计值。,（228）,令 ，则权与测定值的方差 成反比。 i愈小，pi愈大，在计算 时，相应的测量值所得的比重也应该愈大。对于等精度测量，由于各测量值具有相同的精密度i ，它们的权pi也应相同，故有,（229）,同理可求得加权算术平均值的标准误差为,（230）,5.2 间接测量误差分析处理 任何量的测量总是有误差的，间接测量误差大小不仅与有关的各直接测量量的误差有关，还与两者之间的函数关系有关。那么，直接测量对象的误差如何影响间接测量对象的误差，这就是间接测量误差分析的任务。,三、间接测量的误差传递 （一）只进行一次测量时误差的计算 由于条件限制，试验时对被测量只进行一次测量的情况是经常遇到的。在这种情况下，只能根据所采用测量仪器的允许误差，估算测量结果中所能包含的最大误差，看其是否超过所规定的误差范围。对其中系统误差通常不需作具体分析与修正，而偶然误差由于只进行一次测量，也就无从加以计算。,当对某一参数进行间接测量时，总是涉及到采用一些直读式仪器对某几个物理量同时进行测量（对各单个物理量的测量属直接测量），这些仪器本身的最大允许误差已从仪器的精度中给出，因而可估算出测量值的误差，即,式中， 为仪器的精度等级； 为仪器量程；A为实测时仪器所示读数； 为实测示值可能出现的最大相对误差。,例：某一离心式转速表满刻度读数为2000r/min，精度等级为1，试求用此转速表测量转速，当指针值为200r/min与1500r/min时，可能出现的最大误差。解：当示值为200r/min时,当示值为1500r/min时,（二）多参数间接测量函数误差的计算 1、绝对误差和相对误差的传递公式 设函数,y是由x，z，w，各直接测量量所决定，对x，z，w，进行一次测量。令x，z，w，分别代表测量x，z，w，时的误差， y代表由x，z，w，引起的被测参数y的误差，则得,将上式按泰勒级数展开,略去上式右边高阶项，得,函数的相对误差为,故函数的绝对误差为,2、常用函数的误差传递 （1）和差函数的误差传递 设,两式相减得绝对误差,当 、 误差符号不能确定时，有,相对误差,或者写成,对于和函数，可得,对于差函数，可得,可见，对于差函数，当测量值 较接近时，可能造成较大的误差。,例：已知电阻R1=1k，R2=2k，相对误差均为5，求串联后总的相对误差。 解：串联后电阻R=R1+R2 串联后电阻的相对误差,例：用温度表测量散热器进出口水温差。温度表满量程为100，准确度为1，测得进口水温T1为65 ，出口水温T2为60 ，试计算温差T=T1-T2的相对误差。 解：温度表的最大绝对误差为 1100 1 进口水温T1的最大相对误差为 1 /65 1.5% 出口水温T2的最大相对误差为 1 /60 1.7%,温差T=T1-T2的相对误差为,虽然所用温度表的准确度为1，但最终测量结果的相对误差却很大，这是由于T1、T2比较接近的缘故，应改变测量方法，选择合适的温差表直接测量温差。,（2）积函数的误差传递 设 ，得绝对误差,相对误差,若 都有正负号，则,（3）商函数的误差传递 设 ，绝对误差分别为,则间接测量量y的绝对误差,相对误差,若 都带有正负号，则,（4）幂函数的误差传递 设 为常数，将积函数的合成误差公式略加推广得,若 都带有正负号，则,例：电流流过电阻产生的热量Q=0.24I2Rt，若已知i=2%， R=1%， t=0.5%，求 Q。 解：,（三）多参数多次测量时间接测量误差的计算 1、标准误差的传递公式 如果对各直接测量量x1，x2， ，xm，各进行n次等精度测量，可以推出间接测量量的最佳估计值为,间接测量量的标准误差为,2、常用函数的误差传递 （1）和差的标准差,（2）积的标准差,（3）商的标准差,第六节 粗大误差 一、拉伊特准则（3判据） 大多数测量的随机误差服从正态分布。而误差大于 3的概率是极小的，因之反过来说，大于3的误差已不属于随机误差的范围，显然，这就是该剔除的粗大误差了。 3判据如下：如果测量列中某一测定值xi其残差i的绝对值大于该测量列标准误差的3倍，那么可以认为xi为坏值，应予以剔除。,在实际使用时，取 。按拉伊特准则剔除含有粗大误差的某个坏值xi后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，判定在余下的数据中是否还含有含粗大误差的坏值。 根据拉伊特准则剔除粗大误差固然极为简单，不过大量的统计数据表明，由于一般工程实验的测量数据比较少，按正态分布理论为基础的拉伊特准则不太准确，而且由于所取界限太宽，,（231）,容易混入该剔除的数据。特别是，当测量次数n10时，拉伊特准则失效。 二、格拉布斯准则 格拉布斯按照数理统计理论计算出危险率及子样容量求得格拉布斯准则用表，若子样某个体的 函数超过标准表中的值，该数据即该剔除，否则就该保留。,判定异常数据的步骤简述如下： （1）将实验数据按其大小重新排列，求得其子样平均值 与子样标准误差 ，并计算出,（232）,（2）选定危险率。危险率一般不应太大，可取5.0，2.5，1.0。危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是异常数据，这是一种犯错误（即误剔除）的概率。,（3）根据n和，在格拉布斯准则表中查出相应的T（n, ）值。 （4）若 ，则认为所怀疑的数据xi=xd是异常的，即属于粗大误差，应予以剔除；如果 ，则所怀疑的数据还不能以此危险率剔除，应予保留。 （5）应该注意的是，如果xd是粗大误差造成的数据，剔除该数据后再检查其他数据时，子样的容量n变化了，子样的 和 也要变化，,T（n, ）也有所变动，应重新按（2）到（4）的程序进行检验，直至所有数据达到 为止。见37页例3-2,例：测某一介质温度15次，得如下一列测量值（单位：）： 20.42 22.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 试判断其中有无含粗大误差的坏值。解:（1）按大小顺序将测量值数据重新排列： 20.30 20.39 20.39 20.39 20.40 20.40 20.40 20.41 20.42 20.42 20.42 20.43 20.43 20.43 20.43 （2）计算子样平均值和测量列标准误差：,（3）选定危险率，求得临界值T(n,) 现选取5，查表得 T(15,5)2.41 （4）计算测量列中最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定,（5）剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和标准偏差。查表求新的临界值T (n,)，再进行判定。,余下测定值中最大与最小残差绝对值,故余下测定值中已无含粗大误差的坏值。,三、t检验准则 t检验准则是运用t分布原理对测量数据进行合理性检验的又一种方法。设有一列n次的等精度独立测量值xi（i=1，2，n）,设其中的xi为可疑数据，检验的方法可先计算暂时除去xd的算术平均值 和标准误差 ，如果,（237）,则xd被认为是坏值，式中,K（,n）也是一种置信系统，其值可由表直接查得，它的含义与前面所介绍的正态分布置信系数相似，只不过它的值是由t分布规律所确定的。 如果同时存在m个可疑值，应逐个进行检查。 参见书39页例3-3,四 狄克逊准则,前几种判断粗大误差的准则,在计算过程中都必须先求出标准误差,计算时较为麻烦.而狄克逊准则可以不用求出标准误差,而用极差比的方法得到结果.当n14时,使用r22判断 见教材40页例3-4,五 判别法的选择1 当测量次数较多时,采用莱依特准则更为合 适;若测量次数较少时,则采用格拉布斯准则 ,t检验准则或狄克逊准则.一般,要从测量列 中迅速判别粗大误差时,可采用狄克逊准则.2 在最多只有一个异常值时,采用格拉布斯准 则来判别坏值的效果最佳.3 在可能存在多个异常值时,应采用两种以上 的准则来交叉判别,否则效果不佳,第七节 有效数字与计算方法 一、有效数据与误差的表达 1、有效数字 测量数据最终结果表达，通常只允许最后一位为估算数字（或称可疑数字），其他各位数字均应当是可靠的。这样的一组数字称为有效数字。,测量数据的有效数字是针对测量精度提出来的，为使计算的精度与测量精度相一致，计算（或测量时读数）过程中的结果位数与测量所能达到的准确度相一致，计算精度不能超过测量精度。 在测量仪器精度已经确定的情况下，任意把一个数值的小数点以后位数加多，或把测量值中的估计位数增多，就认为能提高其测量精度的方法是不正确的。,2、有效数字位数的确定 从左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）止，都叫做有效数字。 3、多余数字的修约规则 以保留数字的末位为单位，它后面的数字若大于0.5个单位，末位进1；小于0.5个单位，末位不变。恰为0.5个单位，则末位为奇数时加1，末位为偶数时不变，即使末位凑成整数。概括为“四舍六入逢五取偶”,四 有效数字的加减运算 和,差的小数点后面所保留的位数应与所参与运算的诸数中小数点后位数最少者相同. 五 有效数字的乘除运算 乘,除运算以有效数字位数最少的那个数的有效数字位数作为运算结果的有效数字位数. 六 有效数字的对数运算.所取对数的尾数与其真数的有效数字位数相等 七 计算平均值时,若为四个数或超过四个数,平均值的有效数字可增加一位.,第九节 回归分析与经验公式 一、回归分析 试验中因变量与自变量的关系一般可以分为两类：一类为函数关系，即因变量与自变量之间有确定的数学表达式表达，且具有一一对应的关系；另一类为相关关系，即因变量与自变量之间并不具有确定的函数关系，但它们之间确实存在某种密切的关系，这种关系可以通过试验或其他方法建立起来。,二、一般方程的回归分析最小二乘法 利用回归分析建立试验数据的经验公式有许多方法，其中以最小二乘法为最优。 若给出n次测量数据用最小二乘法建立经验公式时，假设自变量xi为给定值，均无误差，而因变量yi则带有测量误差。两变量之间不管是何种关系，一般情况可以用一个m阶多项式来逼近，即,式中， 为待定系数或回归系数。 上式还可写成,如果测试结果无误，则正确的常数求得后，各结果均应适合于上式。但因试验结果不可避免地带有误差，故将各试验结果带入上式后，则等号右边不等于零，而为某一微量d（称剩余偏差），即,上式称为“观测方程组”。 根据最小二乘法原理，如各系数A之值能使各剩余偏差之平方和为最小，则A值即为最佳值。亦即各系数A之最佳值应使为最小。显然， 为 的函数。,欲使 为最小，则其一阶微分等于零，二阶微分为正值。即,将以上各式均除以2并经整理，可得m+1个方程，称为正态方程。,解方程即可得 。从而求得经验式。,例：某一试验中得到结果如下：,试求x与y间的经验公式。 解：由观测结果的曲线形式判断，假设经验公式用如下多项式 表示，利用正态方程组决定回归系数，,列表如下：,代入正态方程得：,因自变量x=1,2,8，故此经验公式仅适用于1x8区间内，将其延伸至适用范围以外是不妥的。,三、一元线性回归分析及其检验 作为一般方程回归分析的特例，一元线性回归分析是工程中常遇到的情况。一元线性回归方程可简化为,根据最小二乘法原理可求得回归系数,在用最小二乘法计算回归系数过程中，假设变量x与y之间呈线性相关并用回归方程表示。但是对于实验数据是否具有良好的线性度应予以检验，这就是通常称作回归方程拟和程度的检验。,采用相关系数的大小来描述两个变量之间线性相关的密切程度，其数学表达式为,值在1到1之间变化， 值越接近于1，则回归直线与试验数据点拟和得越好。当1时，两变量为正相关，即y值随x值的增大而增大；当1时，两变量为负相关，即y值随x值的增大而减小；当0时，则试验数据点沿回归直线两侧分散，也就是说回归直线毫无实用意义。,定义0 为相关系数显著值，它与测量组数k及显著度有关。这里显著度的含义是指回归直线的可靠程度，0.05及0.01分别对应于95%和99%的可靠程度。 因此，用回归方法找到了直线方程后，还必须计算相关系数的值，然后根据测量组数k及显著度查出0 的数值，再作出拟和程度的判别。,相关系数显著值表,例：若已测得一组xi、yi的试验数据，试拟和一直线方程y=a0+a1x，并作拟和程度的判别。 解：计算列表如下：,则拟和的直线方程为,相关系数,由于k=5，则k-2=3，在显著度0.05下查表得0为0.878，小于计算值0.94，表示此直线方程在显著度0.05时拟和良好，具有95的可靠程度，或线性相关显著。 但当0.01时，查表得0为0.959，大于计算值0.94，表示此直线方程在显著度0.01时线性相关不显著。换言之，如果要求回归直线的可靠程度达到99，那么本例就不宜用直线方程表示了。,最后必须指出，相关系数只表示两个变量之间的线性相关密切的程度。当值很小，甚至等于零时，并不能得出两变量x与y之间不存在任何相关关系的结论，只不过不是线性相关而已。 四、一元线性回归分析的线性变换 在工程中，许多场合变量之间的关系虽属非线性关系，但其中某些情况可通过线性变换转换成线性方程。这样，前面介绍的线性回归分析中的公式均可使用。,例如，两变量之间的关系为,将上式两边取对数，可得,上式为一线性方程式，可求出相关系数a0、b，然后再取 ，于是， 就可以完全确定了。,第二章思考题 1、随机误差正态分布曲线有何特点？ 2、什么叫等精度测量和非等精度测量?为什么在非等精度测量中引入”权”的概念更为合理? 3、在等精度测量条件下，对某涡轮机械的转速进行20次测量，获得如下一列测定值（单位：r/min）:4754.1 4756.1 4753.5 4754.7 4752.1 4749.24750.6 4751.0 4753.9 4751.6 4751.3 4755.3,4752.1 4751