测量学第五章测量误差的基本知识课件.ppt

第五章 测量误差的基本知识,5.1 测量误差概述5.2 偶然误差的统计特征5.3 观测值的最或然值及改正数。5.4 观测值的精度评定5.5 误差传播定律5.6 加权平均值及其中误差5.7 最小二乘原理与测量平差,5.1测量误差概述,定义对于某个观测量，观测值与理论值之间的差值称为测量误差。特点测量的过程中始终伴随着误差；测量误差可以通过一定的方法得到减小，但无法消除；误差错误。,5.1测量误差概述,（1）测量误差产生的原因仪器的误差人的原因产生的误差外界环境的影响,5.1测量误差概述,（2）测量误差的分类根据产生的原因和对观测结果影响性质的不同，测量误差分为系统误差和偶然误差,5.1测量误差概述,系统误差在相同的观测条件下，对某一个观测量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相等，或按一定的规律变化，则称为“系统误差”。偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看也没有一定的规律性，则称为“偶然误差”。,5.1测量误差概述,（3）测量误差的处理原则对于系统误差，采用高精度的测量仪器和数学模型改正的方法对于偶然误差，采用多次测量取平均值的方法另外为防止错误和提高观测精度，均需要进行多余必要观测数的“多余观测”。,不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）,不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）,精密（随机误差小）准确（系统误差小）,精密（随机误差小）不准确（系统误差大）,5.2 偶然误差的统计特征,测量误差理论主要讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果（称为最或然值或估值）和评定观测成果的精度。,5.2 偶然误差的统计特征,研究的分布规律,偶然误差的分布规律,真误差的频率直方图,偶然误差的特性,在一定条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值大的出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋于零。,偶然误差的特性,真误差是一个随机变量,直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化，即其取值具有随机性，且能事先知道它的所有可能取值，不能事先确定它将要取哪一个值；则称这个变量为随机变量。,偶然误差的统计特性,当误差的个数逐渐增大，同时又无限缩小误差的区间时，则频率直方图的边界为概率统计中的“正态分布曲线”,偶然误差的统计特性,评定精度的标准中误差,定义,引入中误差的原因：由于方差（数学概念）要求观测值个数趋于无穷，因而在工程测量中引进中误差的概念。,评定精度的标准相对误差,相对误差是观测值的中误差与观测值之比，常用来表示距离测量的精度。一般用分母为1的分数来表示。,相对误差的数值修约规则：如某长度为738.5的边测量误差为0.15m，则其相对精度为：0.15/738.5=1/4923=1/49001/4999=1/4900,评定精度的标准极限误差,评定精度的标准极限误差,由于正态分布观测值出现 2倍以上中误差的概率很小，因此一般选用2倍中误差作为“极限误差”或称为“允许误差”。用来作为衡量某个观测值是否含有粗差的标准。,5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数,观测值最或然值定义在大多数条件下，观测值的真值不是已知的，测量就是要通过大量的多余观测计算出观测值的最或然值。因此最或然值就是在一定的观测条件下与真值最接近的值。一般用以下的两个符号来表示真值和最或然值。,5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数,5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数,5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数,5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数,观测值改正数的特点：一组观测值取算术平均值作为其最或然值之后，其改正值之和恒等于零;以算术平均值为最或然值满足最小二乘原则(vv=min);观测值改正数与真误差是有区别的。,5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数,取算术平均值作为最或然值，满足最小二乘法的证明：,5.4 观测值的精度评定,问题：怎样用改正数v来计算中误差？,表示观测值的精度的指标：中误差，比例误差，极限误差回顾：中误差的定义,5.4 观测值的精度评定,5.4 观测值的精度评定,已知观测值的改正数求中误差，适用于绝大多数情况。,已知观测值的真误差求中误差，适用的情况比较少。,5.5 误差传播定律,1 直接观测量和间接观测量如圆的直径和面积2 误差传播率的定义：在测量工作中，有一些需要知道的量并非直接观测量，而是由直接观测量通过一定的函数关系计算而得到，由于直接观测量包含误差，因而函数会受其影响也包含一定的误差，称之为误差传播。,S=D2/4,直接观测量，有误差,有误差,5.5 误差传播定律,（1）和差函数的误差传播率,5.5 误差传播定律,（2）倍函数的误差传播率,5.5 误差传播定律,（3）线性函数的中误差,5.5 误差传播定律,（4）一般函数的误差传播律：,5.5 误差传播定律,由于误差相对于观测值而言是微小量，由高等数学的知识可知：变量的误差和函数的误差之间的关系，,一般函数误差传播率的推导,5.5 误差传播定律,线性方程组的误差传播律：,5.5 误差传播定律,测量中的中误差即是数学中的方差，测量的真误差服从正态分布，可以用概率中的方差公式来推导。,5.5 误差传播定律,由方差阵的定义：,例1,某量进行了n次等精度观测，求其算术平均值的精度：,设采用某经纬仪测量角度，一测回测量中误差为6,欲使观测的精度达到2 ，最少需要观测多少测回？,例2,例3,对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。解：,例3（续）,例4,设对某三角形的三个内角进行了等精度观测，观测误差为 , 求经闭合差分配后三个角的方差阵。,例4（续）,5.5 误差传播定律,用误差传播率求观测值函数精度的步骤：,5.6 加权平均值及其中误差,1 不等精度观测与权：,5.6 加权平均值及其中误差,加权平均值：,5.6 加权平均值及其中误差,加权平均值的中误差：,5.6 加权平均值及其中误差,单位权中误差的计算：,5.7 最小二乘原理与测量平差,测量平差（Adjustment) 依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。,5.7 最小二乘原理与测量平差,必要观测与多余观测的概念：,1.确定三角形的形状：观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择,2.确定三角形的形状和大小：6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。,5.7 最小二乘原理与测量平差,必要观测： 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测数，一般用t表示。多余观测：观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。,5.7 最小二乘原理与测量平差,nt, 可以确定模型，还可以发现粗差。,条件方程,必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件方程。,条件方程,误差方程,条件平差的一般形式：,以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。,线性化以后得到误差方程：,条件方程的线性化,得到最小二乘解：,按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：,求其一阶偏导数，并令其为0：,条件平差的计算步骤：,根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，并线性化，条件方程的个数等于多余观测数r。 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式解算法方程，求出联系数K值。 将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程,条件平差算例：,为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数 t =3，实际观测了6 段高差, 故多余观测数 r = nt =3，应列出3个线性无关条件方程.,这个水准网可以列出7个条件方程,其中3个是相互独立的, 取：,式中： 表示观测量 hi 的平差值。,（a）,由于：,代入(a)式得： 其中：,(b),令：,V = ( v1 v2 v3 v4 v5 v6)T得到条件方程的一般形式： AV +W=0 （c）,