正弦定理和余弦定理课件.ppt
第七节正弦定理和余弦定理,【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)正弦定理: =_=_=2R(R是ABC外接圆的半径),(2)余弦定理:在ABC中,有a2=_;b2=_;c2=_.在ABC中,有:cosA=_;cosB=_;cosC=_.,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,(3)在ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况:,一解,两解,一解,一解,无解,2.必备结论 教材提炼记一记(1)三角形的内角和定理:在ABC中,A+B+C=_,其变式有:A+B=_, =_等.(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_;cos(A+B)=_;sin =_;cos =_.,-C,sinC,-cosC,(3)正弦定理的公式变形:a=_,b=_,c=_;sinAsinBsinC=_;sinA= ,sinB=_,sinC=_;,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法：代入法、边角转化法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.,【小题快练】1.思考辨析 静心思考判一判(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.()(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.()(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.()(4)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(5)在ABC中,若sinAsinB,则AB.(),【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sinA= ,sinB= ,由sinAsinB得ab,即AB.答案:(1)(2)(3)(4)(5),2.教材改编 链接教材练一练(1)(必修5P8T2(1)改编)在ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=()A.90B.120C.135D.150【解析】选B.先求B.cosB=因为0B180,所以B=60,故A+C=120.,(2)(必修5P4T1(2)改编)在ABC中,已知A=60,B=75,c=20,则a=.【解析】C=180-(A+B)=180-(60+75)=45.由正弦定理,得 答案:10,3.真题小试 感悟考题试一试(1)(2014湖北高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A= ,a=1,b= ,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知 得出sinB=由于0B,所以B=答案:,(2)(2014福建高考)在ABC中,A=60,AC=2,BC= ,则AB等于.【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,得3=AB2+4-22ABcos60,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1.答案:1,考点1 正弦定理的应用【典例1】(1)在ABC中,已知a=2,b= ,A=45,则满足条件的三角形有()A.一个 B.两个C.0个 D.无法确定(2)(2014广东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则 =.,(3)(2015吉林模拟)如图,在ABC中,AB=AC=2,BC=2 ,点D在BC边上,ADC=75,则AD的长为.,【解题提示】(1)利用正弦定理计算.(2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简.(3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB=因为ba,所以B=60或120.故满足条件的三角形有两个.(2)由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinB,所以sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB,即sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,所以 =2.答案:2,(3)过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中，在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105.由正弦定理得AD=答案：,【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗?(1)选B.数形结合法:如图,CD= sin45= ,又a=2,b= ,所以CDab,故满足条件的三角形有两个.(2)如图,作ADBC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即 =2.答案:2,【规律方法】1.正弦定理的应用技巧(1)求边：利用公式 或其他相应变形公式求解.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A= 或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边：即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,2.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.,【变式训练】(2015三门峡模拟)已知在ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有两解，则x的取值范围是( )A.x2 B.x2且xsin 452，所以2x2 .,【加固训练】1.在ABC中，a=10，B=60,C=45,则c等于( )A.10+ B.10( 1)C. +1 D.10,【解析】选B.A=180(BC)=180(60+45)=75.由正弦定理，得,2.(2015绵阳模拟)在锐角ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asinB= b,则角A=.【解析】由正弦定理得2sinAsinB= sinB,又sinB0,故sinA= ,又0A90,所以A=60.答案:60,3.(2015黄山模拟)若ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为最小边的2倍,则三角形三内角之比为.,【解析】因为A+C=2B，不妨设A=B-,C=B+.因为A+B+C=,所以B-+B+B+=,所以B=再设最小边为a,则最大边为2a.由正弦定理得即sin cos +cos sin =2(sin cos -cos sin ),所以tan = ,=所以三内角分别为 它们的比为123.答案：123,考点2 余弦定理的应用【典例2】(1)(2015青岛模拟)已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围是()A.8x10 B.2 xC.2 x10 D. x8,(2)(2015咸阳模拟)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b+c)(a-b-c)+bc=0,则A=.(3)(2014辽宁高考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac,已知 =2,cosB= ,b=3,求:a和c的值;cos(B-C)的值.,【解题提示】(1)使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求解.(2)已知三边的关系求角用余弦定理.(3)利用向量运算及余弦定理找等量关系求解;利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.,【规范解答】(1)选B.因为31,所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故又因为x0,所以,2022/11/26,32,(2)因为(a+b+c)(a-b-c)+bc=a2-(b+c)2+bc=a2-b2-c2-bc=0,所以a2=b2+c2+bc,cosA=又A(0,),所以A= .答案: ,(3)由 =cacos B=2，所以ac=6.又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，所以a2+c2=13，因为ac，解得a=3,c=2.由a=3,b=3,c=2得cos C=sin C=由cos B= 得sin B=所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=,【互动探究】对于本例(2),若ABC的三边a,b,c满足a2=b2+c2-则A=_.【解析】由余弦定理，得cos A=因为A(0,),所以A= .答案：,【规律方法】1.利用余弦定理解三角形的步骤,2.利用余弦定理判断三角形的形状在ABC中,c是最大的边,若c2a2+b2,则ABC是钝角三角形.提醒:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.,【变式训练】(2015合肥模拟)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=() 【解析】选B.因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=因为b+c=2a,所以c= 所以cosC=因为C(0,),所以C=,【加固训练】1.在ABC中,若abc=357,则这个三角形中最大内角为()A.60 B.90 C.120D.150【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x0),则c为最大边,角C为三角形中最大内角,由余弦定理,得cosC= 所以C=120.,2.在ABC中,C=60,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则 =.【解析】因为C=60,所以a2+b2-c2=ab,所以a2+b2=ab+c2,等式两边都加上ac+bc,整理得(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c),所以 答案:1,考点3 正、余弦定理的综合应用知考情利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题的形式出现,以后两种题型为主.,明角度命题角度1:综合利用正、余弦定理求角(或其正、余弦值)【典例3】(2014天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.【解题提示】利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用余弦定理求cosA的值.,【规范解答】因为2sin B=3sin C，所以2b=3c，又b-c= a,解得b= a=2c.所以cos A=答案：,命题角度2:判断三角形的形状【典例4】(2013陕西高考改编)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断.,【规范解答】选D.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,即A= ,又因为sin2B=sin2C,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故ABC为等腰直角三角形.,命题角度3:综合利用正、余弦定理求边长【典例5】(2014湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .(1)求cosCAD的值.(2)若cosBAD= ,sinCBA= 求BC的长.【解题提示】利用余弦定理和正弦定理求解.,【规范解答】(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD= (2)设BAC=,则=BADCAD.因为cosCAD= ,cosBAD=所以sinCAD=,悟技法1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出.(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解.提醒:在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.,2.判断三角形形状的方法若已知条件中有边又有角,则(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.,通一类1.(2013山东高考)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b= ,则c=()A.2 B.2 C. D.1【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A,由正弦定理知即 所以cosA= 所以A=B=2A= 所以C=-B-A= ,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2.,2.(2015锦州模拟)在ABC中,cos2 (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2 ,所以2cos2 所以cosB= ,所以 所以c2=a2+b2.所以ABC为直角三角形.,3.(2015开封模拟)如图ABC中，已知点D在BC边上，满足 =0，sinBAC=AB=3 ,BD=(1)求AD的长.(2)求cos C.,【解析】(1)因为所以ADAC,所以sinBAC=sin( +BAD)=cosBAD,因为sinBAC=所以cosBAD=在ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD,即AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3.由于ABAD,所以AD=3.,(2)在ABD中，由正弦定理可知又由cosBAD=可知sinBAD=所以sinADB=因为ADB=DAC+C,DAC= ,所以cos C=,规范解答4 正、余弦定理在三角形计算中的应用【典例】(12分)(2014天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知ac= b，sin B= sin C.(1)求cos A的值.(2)求cos(2A )的值.,解题导思 研读信息快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范(1)在ABC中，由 及sin B= sin C,可得b= c,2分又由a-c= b,有a=2c. 4分所以cos A=7分,(2)在ABC中，由cos A=可得sin A= 8分于是，cos 2A=2cos2A-1= 9分sin 2A=2sin Acos A= 10分所以，,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分1.认真审题,把握变形的方向认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第(1)问求cosA的值,自然想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系.,2.大胆书写,争取多得分解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形,在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得几分.3.计算准确,争取得满分(1)公式运用要准确,这是算对的前提.(2)算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是很重的.,2022/11/26,63,
