通信原理 第3章随机过程ppt课件.ppt

第三章 随机过程,3.1 随机过程的统计特性3.2 平稳随机过程3.3 高斯随机过程3.4 平稳随机过程通过线性系统3.5 窄带随机过程3.6 正弦波加窄带高斯随机过程3.7 白噪声,3.1 随机过程的统计特性,定义：无穷多个样本函数（试验记录）1(t), 2(t),的结合构成一个随机过程，记为(t) 。或随机过程是由无穷多个随机变量(t1),(t2),的结合构成。它具有两个基本属性：(1)(t)是一个时间函数，但不能用确定的时间函数描述；(2) 给定任意时刻t1，(t1)是一个不含t变化的随机变量（不可预知）。其含义对于平稳随机过程，仅需要一个样本函数即可；可以由随机变量拓展到随机过程。随机过程的统计特性可以用其概率分布和数字特征两种方法表述。,1 不同随机试验结果的时间过程的集合,n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，得到一个确定的时间函数。随机过程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t)是全部样本函数的集合。,随机过程广泛存在：,在工程实际中，随机信号随处可见，如语音信号、气温的变化、机器振动的变化等，即使同一机床同一工人加工相同零部件，其尺寸也不尽相同。,2 随机过程是随机变量概念的延伸,在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i(t1),i =1,2,n是一个随机变量，记为 (t1)。随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。,随机过程,随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能用确切的时间函数描述。在任意时刻观察，它是一个随机变量随机过程是全部可能实现的总体尽管随机信号和随机噪声具有不可预测性和随机性，但都遵循一定的统计规律性随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描述,随机过程的概率分布（统计特性之一）：,随机变量(t)的概率分布用n维概率分布函数和概率密度函数表述。n维概率分布函数表示为 Fn(x1, ,xn;t1,tn) = P(t1) x1, (tn) xn(2) n维概率密度函数表示为 fn(x1, ,xn;t1,tn)= nFn(x1, ,xn;t1,tn)/ (x1 x2xn),随机过程的概率分布（统计特性之一）：,对于离散随机变量的概率分布函数和概率密度函数表述。概率分布函数表示为 F()= P1 x1, n xn =P(i) i=1,2, (2) 概率密度函数表示为 f(x)=P(i)(x-i) i=1,2,随机过程的一维、二维概率分布：,随机变量(t)的一维概率分布：一维概率分布函数表示为 F1(x1,t1) = P(t1) x1，(t)在t1时刻取值(t1) x1的概率。(2) 一维概率密度函数表示为 f1 (x1,t1)= dF1(x1,t1)/ dx1 随机过程(t)的二维概率分布：二维概率分布函数表示为 F2(x1,x2;t1,t2) = P(t1)x1,(t2)x2，(t)分别在t1,t2时刻取值(t1) x1,(t2)x2的概率。(2) 二维概率密度函数表示为 f2(x1,x2;t1,t2)= 2F2(x1,x2;t1,t2)/(x1x2),通信系统中典型的随机过程：,1 均匀分布随机变量：设-ab+ 其概率密度函数为 f(x)=,通信系统中典型的随机过程：,2 高斯（正态）分布随机变量： 其概率密度函数为 f(x)=,通信系统中典型的随机过程：,3 瑞利分布随机变量（窄带高斯噪声包络）： 其概率密度函数为 f(x)=,随机过程的统计特性 说明：,虽然分布函数和概率密度函数，能够全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，往往难以求出，而且有时并不关心随机变量的概率分布 一般地，二维分布特性已能有效描述随机过程统计特性，解决时间问题。多维？ 实际上，许多应用只想了解随机变量的某些特征参量，如随机变量的统计平均值，随机变量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。数字特征简单、直观,随机过程的数字特征（统计特性之二） ：,随机变量(t)的数字特征通常用数学希望、方差和相关函数表述。数学希望（统计平均值或均值）：表示(t)的摆动中心。 E(t) = -xf1(x,t)dx = a(t),随机过程的数学希望为一时间函数，而随机变量的数学希望为一常数（定值）。,(2) 方差D (t) = E(t)- a(t)2 = E(t) 2 - a(t)2 =-x 2 f1(x,t)dx- a(t)2 = 2 (t)表示(t)与均值的偏离程度（标准差）。(3) 相关函数：随机变量之间的关联程度，通常用自相关函数和自协方差函数表示。,随机过程的数字特征（统计特性之二） ：,对于离散随机变量的数字特征表述数学希望（统计平均值或均值）：表示(t)的摆动中心。 E() =iP(i) i=1,2,(2) 方差D = i - E()2P(i) i=1,2,数学希望性质：1 常数的数学希望为常数2 两个随机变量之和的数学希望等于两个随机变量数学希望的和3 两个独立随机变量之积的数学希望等于两个随机变量数学希望的积,数学希望（统计平均值或均值）, (t)的均值a ( t )是时间的确定函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :,a (t ),方差2 (t),方差等于均方值（周期信号的平均功率）与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a(t)的偏离程度。,均方值,均值平方,自相关函数R(t1, t2)和自协方差函数B(t1, t2),自相关函数（简称相关函数） (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。或用R()表示，=t2-t1自协方差函数（简称协方差函数）a(t1)，a(t2)在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1,x2;t1,t2) (t)的二维概率密度函数。,自相关函数和自协方差函数之间的关系,若a(t1) = a(t2)，则B(t1, t2) = R(t1, t2)互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。,相关函数性质说明：,自协方差函数B(t1, t2) 是衡量随机过程(t)在任意时刻 t1、t2 上的随机变量(t1) 、(t2)之间的相关性。自协方差函数B(t1, t2) 中，当 E(t1)= E(t2)=0时，取得自相关函数R(t1, t2) 。当 E(t1)、E(t2)之一为0时，B(t1, t2)、R(t1, t2)相等。自相关函数R()是偶函数：R()=R(-)互相关函数R()不是偶函数，也不是奇函数： R()= R(-),自相关函数性质说明：,自相关函数R()在=0处取得最大值（R(0)处相关性最强）：R(0)R()。这是相关技术确定同名点的依据，影像相关是利用互相关函数，光的干涉和衍射（相干光学），平稳随机过程等。周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。随机信号的自相关函数R()随值增大而很快趋于零（衰减）。任意相位的正弦、余弦之自相关函数仍为余弦。,对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有,互相关函数性质说明：,两周期信号具有相同的频率，才有互相关函数，即两个非同频的周期信号是不相关的。两个相同周期信号的互相关函数仍是周期函数，其周期与原信号的周期相同，并不丢失相位信息。两信号错开一个时间间隔处的相关程度有可能最高，它反映两信号(t)和(t)之间主传输通道的滞后时间。,说明（n阶矩）：,矩是随机变量更一般的数字特征。数学希望、方差都是矩的特例。随机变量的n阶矩（n阶原点矩）为数学希望E(t)=a就是一阶矩。 n阶中心矩：相对于均值a的n阶矩。随机变量的二阶中心矩就是其方差。,注意事项：,1 随机过程的统计特性可以用其分布特性（概率分布）和数字特征两种方法描述。2 分布特性（概率分布）包括概率分布函数和概率密度函数；数字特征包括数学希望、方差和相关函数等。分布特性描述具有完整、严密的优点，但往往计算复杂，甚至无法计算；数字特征描述具有计算简单，易通过实验获取的优点，但不够严谨。有可能具有相同数字特征的随机过程，其分布特性不完全相同。3 随机过程有可以两种方法表述：无穷多个样本函数（试验记录）的结合；或由无穷多个随机变量在任意时刻的结合。前者可以引出各态历经性的概念，后者是随机变量概念的拓展。,例 设随机过程X(t)=At+b,t0，其中A为高斯随机变量，b为常数，且A的一维概率密度函数为 。求X(t)的均值和方差。,解：由题意知道，A的均值和方差都为1，即E(A)=1，D(A)=1 E(X)=E(At+b)=tE(A)+b=t+b D(X)=D(At+b)=t2D(A)+0=t2,3.2 平稳随机过程,随机过程(t)的n维概率分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即对任意n和t1,t2,tn, 有 fn(x1, ,xn;t1,tn) = fn(x1, ,xn;t1+ ,tn + ) 则(t)为平稳随机过程（狭义平稳随机过程）；亦称严平稳随机过程。该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程。,平稳随机过程性质：,性质：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2t1有关：数字特征：,广义（宽）平稳随机过程,数字特征：（1）其均值与t 无关，为常数a ；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。 广义平稳（宽平稳）随机过程：同时满足（1）和（2）数字特征的过程。 严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。,例 若x(t)和y(t)是统计独立的平稳随机过程，各自的自相关函数分别为Rx()、Ry()。求乘积z(t)=x(t)y(t)的自相关函数。,解：根据自相关函数定义有 Rz(t1,t2) =Ex(t1)y(t1)x(t2)y(t2) =Ex(t1)x(t2)Ey(t1)y(t2) =Rx()Ry()两个统计独立的平稳随机过程乘积的自相关函数等于各自自相关函数的乘积。,平稳随机过程的研究意义：,通信系统中遇到的信号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。此后讨论的随机过程均指平稳随机过程，且是广义平稳随机过程。狭义（严）平稳随机过程一定是广义（宽）平稳随机过程，反之未必。对正态（高斯）随机过程两者是等价的。若不加特别说明，平稳随机过程均指广义平稳随机过程,例3.1 考察随相正弦信号s(t)=Acos(ct+)的平稳性，其中A, c是常数，相位是在区间(-,)上均匀分布的随机变量。,解：s(t)的数学希望a(t)：a(t)=EAcos(ct+) =AEcoscosct-sinsinct =Acosct-cos*1/2d -A sin ct- sin *1/2d= 0s(t)的自相关函数R(t,t+) R(t,t+)= EAcos(ct+)* Acosc (t+ )+ =A2/2*Ecosc+cos(2ct+c+2)= A2/2* cosc s(t)的数学希望与时间起点无关，自相关函数仅与时间间隔有关，随相正弦信号s(t)是广义平稳的。,平稳随机过程的各态历经性,问题的提出：随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。这样自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,平稳随机过程的各态历经性：,各态历经性（遍历性）：时间平均代替统计平均。 a = a = lim 1/TT/2-T/2X(t)dt（数学希望） 2=2 =lim 1/TT/2-T/2X(t)- a 2dt（方差） R()= R()=lim 1/TT/2-T/2X(t)X(t+)dt,T,T,T,数学希望：E(t) = -xf1(x,t)dx = a(t)方差：D (t) =-x 2 f1(x,t)dx- a(t)2 =2 (t)自相关函数：R(t1, t2) = E(t1)(t2) =-x1x2f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2,遍历性指随机过程经历的各种可能的状态（包含了全部统计特性的信息）。用时间平均代替统计平均，使实际测量和计算大为简化。通信系统中遇到的信号和噪声，一般均满足各态历经性。只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，即各态历经性肯定是平稳随机过程，反之未必。,说明：,随机过程应该是无穷多个样本函数的集合；但各态历经性平稳随机过程仅取一个样本即可，因为它包含了全部统计特性的信息，这使实际研究问题大为简化。具体体现在：对于数字特征的计算，可以利用时间平均（一个样本）替代统计平均（无穷多个样本）。各态历经性的随机过程一定是平稳的，反之未必。,例 考察随相正弦信号s(t)=Acos(ct+)的平稳性，其中A, c是常数，相位是在区间(-,)上均匀分布的随机变量。,解：求(t)的统计平均值：s(t)的数学希望a(t)：a(t)= 0s(t)的自相关函数R(t,t+) R(t,t+)= A2/2* cosc s(t)的数学希望与时间起点无关，自相关函数仅与时间间隔有关，随相正弦信号s(t)是广义平稳的。,求(t)的时间平均值：其中2fcT=2,比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。,注意事项：,1 对于分布特性的平稳称为狭义（严格）平稳随机过程，其特点：一维分布与时间t无关，二维分布与时间间隔有关。对于数字特征的平稳称为广义（宽）平稳随机过程，其特点：数学希望与时间t无关，自相关函数与时间间隔有关。一个随机过程满足：数学希望与时间t无关，自相关函数与时间间隔有关，则是广义平稳的。2 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，即各态历经性肯定是平稳随机过程，反之未必。3 各态历经性的随机过程，其统计平均等同于时间平均，而经过时间平均后的参量必定不是时间函数了，即统计平均与时间无关了。4 严格意义的各态历经性的随机过程非常少见。通信系统的平稳随机过程一般可等同各态历经性。,平稳随机过程的频谱特性：,平稳随机过程(t)没有确定的频谱函数F() ，也不存在傅里叶变换（不能用确切的时间函数描述；随机信号的积分不收敛，不满足狄里赫利条件）平稳随机过程(t)属于功率信号，不是能量信号（非周期信号之频谱宽度是无限的）平稳随机过程(t)存在自相关函数R() =E(t) (t+)和功率谱密度P()自相关函数R()和功率谱密度P()是描述平稳随机过程的2个重要数字特征。功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，不存在功率谱密度，但可使用类似方法估计时变谱密度。功率谱密度是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。,平稳随机过程相关函数的性质：,平稳随机过程(t)的相关函数R() =E(t) (t+)既描述了统计特性，又与频谱特性相关联。主要性质及物理意义有（设x(t)为电压，R=1）： R(0) = E x2(t) = lim 1/TT/2-T/2 x2(t)dt = S 或P 是(t) 平均功率 R() = E 2x(t) =a2 是(t)的直流功率 R(0)- R() = 2 是(t)的交流功率（平均） R(-) = R() 是偶函数 |R()| R(0) 是有界函数,随机过程的频谱特性用功率谱密度描述。而平稳随机过程(t)的功率谱密度P()与其相关函数R(t)构成一对傅里叶变换关系，即P() R(t) 。,T,自相关函数的意义：,相关函数R()=E(t) (t+)可以判定随机过程是否广义平稳。相关函数R()的傅里叶变换为功率谱密度P(f) （PSD：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数），时域频域关系，单位W/HzPSD为非负实函数（频率函数），且为偶函数相关函数R()可获得平稳过程的平均功率、直流功率等相关函数R()可获得平稳过程的均值、方差等数字特征体现在数字信号最佳接收、同步系统等应用。,例 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为Rx()=25+4/(1+2)，求其均值和方差。,解：由平稳随机过程的自相关函数性质得 R(0) = Ex2(t) = 25+4/(1+0)=29R() = E 2x(t) =25均值E x(t)=5 方差2 =R(0)- R()=24,平稳过程的功率谱密度,对于任意的确定功率信号f (t)，其功率谱密度为式中FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数（功率谱密度谱是每一种可能实现的功率谱的统计平均，是对随机变量均方值的量度）,平稳过程的功率谱密度PSD,对于平稳随机过程 (t) ，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故(t)的功率谱密度可以定义为（单位频带内的“功率”（均方值），平均功率谱密度）,功率信号的功率谱密度,定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 t T/2， sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度 |ST(f)|2，由帕塞瓦尔定理(Parseval)将定义为信号的功率谱密度P(f) ，即周期信号的功率谱密度P(f) ： |Cn|2 第n次谐波的功率,功率谱密度（PSD： Power Spectral Density）的意义：,PSD可以描述平稳过程的频率特性PSD可以描述通信系统中滤波器等对信号和噪声的影响PSD的积分面积等于平稳过程的总（平均）功率P功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数PSD与相关函数R()构成一对傅里叶变换关系，从而建立时域频域联系,PSD说明：,随机信号与确定性信号的主要区别之一是随机信号的功率谱是它的自相关函数的傅氏变换，而非直接对信号进行付氏变换。频谱：时域信号中，各正弦谐波分量的幅度为纵坐标，谐波分量的次数为横坐标，得到的图形是时域信号频率特性的描述。研究信号的频谱特性（功率谱密度）主要是为了了解信号在频域内的分布规律，以便合理地选择信号的通频带，提出对传输系统的频带要求，尽量做到在信号不失真或失真不大的条件下提高信噪比。,PSD说明：,通信系统中的带宽可分为信号带宽和信道带宽。信号（或噪声）带宽是由信号（或噪声）的功率谱密度确定的；信道带宽是由通信系统的传输特性决定的。一般地，有限时间的信号之频谱分布（宽度）是无限的。但信号的大部分功率实际上只集中在某个有限的频谱宽度内，信号有效带宽通常指包含信号大部分功率的这部分频谱的宽度，或功率谱密度下降3dB内的频谱宽度：3dB带宽,平稳随机过程的功率谱密度和相关函数,维纳-辛钦定理（Wiener，Khinchin）P43： P() R() 平稳随机过程(t)的功率谱密度P()和自相关函数R(t)为 P() = -R()e-jd R() = 1/(2)-P()ejd显然有 R(0) = 1/(2)-P()d= -P(f)df =S 它表示(t)的总（平均）功率S或P，这正是功率谱密度P()的意义 。维纳-辛钦定理是研究频域和时域关系的重要工具。,掌握PSD性质：,非负性 偶函数PSD只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。从功率谱中只能获得信号的幅度信息，得不到相位信息。,例3.2 求例3.1随相正弦信号s(t)的功率谱密度Ps()和平均功率。,解：s(t)= Acos(0t+)的相关函数 R() = A2/2* cos0 P() = -R(t)e-jtdt = A2/2 *-cos0te-jtdt = A2/4 *-(ej0t +e-j0t)e-jtdt = A2/4 *-e-j(-0)t +e-j (+0) tdt = A2 /2 (-0) + (+0)信号平均功率S S = A2/2* 1/(2)-P()d= A2 /2 = R(0),3.3 高斯随机过程（正态随机过程）,高斯（Gaussian）随机过程（正态随机过程）是通信系统中最重要、最常用的，又称为高斯噪声。通信系统中遇到的噪声通常是高斯随机过程，如通信系统中的主要噪声（热噪声）服从高斯分布。任意n维分布服从正态分布(n=1,2,）的随机过程(t) ，称为高斯过程。其n维正态概率密度函数可表示：对随机过程(t)在t1,t2 , ,tn时刻观察得到一组随机变量x1 , x2 , , xn。若随机过程(t)是高斯过程，则随机变量x1 , x2 , , xn的n维联合概率密度函数仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数（相关函数）决定。,需要的概念与术语：,1 统计独立：若满足fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)或FX,Y(x,y)=FX(x)FY(y)，则称X,Y相互统计独立。若X,Y相互统计独立，则E(XY)= E(X) E(Y)，反之未必。2 相关：可用自相关函数R(t1, t2)描述。3 不相关：可用自协方差函数B(t1, t2)描述。 若B(t1, t2)=0， 则称互不相关。统计独立必不相关，反之未必。但对高斯过程，反之亦然。4 正交：若E(XY)=0，则称X,Y正交，反之亦然。,独立、相关与正交相互关系：,1 独立一定不相关，反之未必。2 相关一定不独立，反之未必。3 正交一定不相关，反之未必。4 相关一定不正交，反之未必。,高斯随机过程的性质：,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。,高斯随机过程的性质：,若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的（通常仅反向成立）。若高斯过程的随机变量之间互不相关，则这些随机变量是统计独立的（同上）。若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程，但数字特征可能改变。高斯过程通过线性变换或线性系统后的过程仍是高斯过程，但数字特征可能改变。,一维高斯随机过程（一维正态分布）：,一维正态分布概率密度函数 f(x) = 1/(2 ) exp-(x-a)2/(22) 其中a和2是均值和方差（常数）,结论： f(a+x) = f(a-x)，即f(x)对称于 x = a （偶对称）。 钟形函数：f(x)在(-,a)，单调上升；在(a, )，单调下降。在x = a 处达最大值1/(2 ) 。 lim f(x) = lim f(x)=0。 -f(x)dx=1； a-f(x)dx=af(x)dx=1/2 a表示分布中心，表示概率分布的集中程度。,x,x-,一维正态分布函数：,一维正态分布函数F(x) =x-f(z)dz =x-1/(2) exp-(z-a)2/(22)dz=(x-a)/说明：(x)称为概率积分函数，简称概率积分。 (x)= 1/2x-exp(-z2/2)dz；概率积分函数 F(x)还可用误差函数erf(x)、互补误差函数erfc(x)和Q(x)函数表示。erf(x) =2/x0exp(-z2)dz；误差函数 erfc(x) =2/xexp(-z2)dz = 1- erf(x)；互补误差函数 Q(x)= 1/2xexp(-z2/2) dz ； Q函数当xa时，erf(x) =2(2 x)-1； 当xa时，erfc(x) =2-2(2 x)； (-x)+(x) = 1； Q(x)= 1/2erfc(x/2),误差函数和互补误差函数（抗噪声性能分析时使用到）的主要性质： （1）误差函数是递增函数： （2）互补误差函数是递减函数,标准正态分布：,若a =0， =1，则一维正态分布概率密度函数 f(x) = 1/2 exp(-x2/2) 称为标准正态分布概率密度函数。标准正态分布函数为 F(x) =(x),正态分布概率密度函数,3.4 平稳随机过程通过线性系统,对于平稳随机过程的输入信号，只需要一个样本函数i(t)。线性系统的冲激响应为h(t) ，对应的传输函数为H ()。,线性系统的冲激响应为h(t) ，则输出随机过程o(t)是输入随机过程i(t)与h(t)的卷积，即 o(t) =i(t)*h(t) =-i()h(t-)d=- h() i(t-) d若输入有界且系统是物理可实现的，则上式为o(t)=t-i()h(t-)d= 0 h() i(t-) d若输入i(t)是平稳随机过程，则输出o(t)也是平稳随机过程。,平稳随机过程通过线性系统的统计特性,数学期望：Eo(t) = Ei(t)H(0) 其中H(0) =0h(t)dt（推导过程见P48）物理意义：平稳随机过程通过线性系统后输出的直流分量等于输入的直流分量乘以系统的直流传输函数，且与t无关。,自相关函数：Ro(t1,t1+) =-h(x)h(y)Ri(+x-y)dxdy = Ro()Ro()与时间起点无关，仅依赖于时间间隔。故输出随机过程o(t)为广义平稳的。功率谱密度Po()=|H()|2Pi()：若H()是电压传输函数，线性系统的输出功率谱密度是输入功率谱密度与系统功率传输函数的乘积。,数学希望是平均值，相当于直流分量，而H(0)为线性系统的直流响应。由于Ei(t)为常数，故Eo(t) 也为常数。,平稳随机过程通过线性系统的结论：,若一个线性系统的输入是平稳的，则其输出也是平稳的，但数字特征可能发生变化。若一个线性系统的输入是高斯型的，则其输出也是高斯型的，但数字特征可能发生变化（高斯过程通过线性系统后仍是高斯过程）。由Po()=|H()|2Pi()可以求出自相关函数Ro()。,例3.3 试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为：,解：Pi() = n0/2, |H()|2 = K02Po() = |H()|2Pi() = n0K02/2, |HRo() =1/(2)-Po()ejd= n0K02/(4)H-Hejd= n0f HK02sinH/(H) = n0f HK02Sa(H)噪声平均功率N = Ro(0) = n0f HK02其中f H =H/(2),3.5 窄带随机过程,窄带随机过程：频带宽度B(f)远小于其中心频率fc的随机过程。（ffc，fc0）。实验表明：波形的包络和相位缓慢变化、频率近似为正弦波。故可以描述如下：,窄带随机过程(t)可表示为（幅-相表示）： (t)=a(t)cosct+(t)， a(t)0 其中a(t) ,(t)分别是包络函数和相位函数，c是中心角频率（恒定）。 也可表示为（同相-正交表示）： (t)=c(t)cosct-s(t)sinct 其中c(t)=a(t)cos(t)为(t)的同相分量， s(t) =a(t)sin(t)为(t)的正交分量。,窄带系统：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频,动画,窄带随机过程的功率谱(a)和时域波形(b),其波形频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,P(f),fc,f,0,f,-fc,f,(a),缓变包络a(t),近似频率fc,(b),窄带高斯随机过程统计特性：,(t)的统计特性由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。例 设高斯过程通过窄带系统时，则其输出(t)为是窄带高斯过程，输出集中在中心频率附近的带宽之内。若(t)均值为0，方差为2,窄带高斯随机过程统计特性：,数学期望：因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t)0 ，所以即同相分量和正交分量的均值都为0。,(t)的自相关函数：,(t)的自相关函数：式中因为(t)是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。 因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为,(t)的自相关函数：,因与时间t无关，令sin(ct)=0，以下二式自然成立所以，上式变为再令cos(ct)=0 ，同理求得由以上分析可知，若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。,(t)的自相关函数：,进一步分析，下两式应同时成立，故有上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函数，所以同理可证,(t)的自相关函数：,将代入下两式得到即上式表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。,(t)的自相关函数,根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到因为(t)是高斯过程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。根据可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。,窄带高斯随机过程性质：,同相分量和正交分量的均值都为0 ，即Ec(t)=Es(t)=0由于窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差(t)是高斯过程，则c(t) 、 s(t)也是高斯过程,窄带随机过程结论：,均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量c(t)和正交分量s(t)同样同样是平稳随机过程，均值为零，方差相同，在同一时刻得到的c(t) 及 s(t)不相关，或统计独立。f/fc20%：超宽带,窄带高斯随机过程a(t)和(t)的统计特性：,联合概率密度函数 f (a , )根据概率论知识有由可以求得,窄带高斯随机过程a(t)和(t)的统计特性,于是有式中a 0, = (0 2),窄带高斯随机过程a(t)和(t)的统计特性,a的一维概率密度函数可见，a服从瑞利(Rayleigh)分布。,窄带高斯随机过程a(t)和(t)的统计特性,的一维概率密度函数可见， 服从均匀分布。,窄带高斯随机过程结论：,一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计独立的 ，即有,窄带随机过程研究的意义：,通信系统大多为窄带带通型，故通过该系统的信号、噪声必然也是窄带随机过程。窄带随机过程的波形类似于一个中心频率近似为fc ，包络函数和相位函数随机、缓变的调幅-调相波。a(t)、(t)、c(t)、s(t)均为随机、缓慢变化过程，均为低通过程。,窄带随机过程的统计特性小结：,窄带随机过程(t)的统计特性由a(t),(t) 或c(t),s(t)确定。结论：对于均值为0，方差为2的窄带平稳高斯过程(t) 1 其同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，且均值都为0，方差相同为2 ；在同一时刻的c(t)和s(t)是互不相关（统计独立）的。即 E(t) = Ec(t) = Es(t) = 0; 2 =c2 =s2 ; Rcs= Rsc= 0 2 对于一维分布，其包络函数a(t) 是瑞利分布，相位函数(t)是均匀分布，且a(t) 和(t)是统计独立的。即 f(a) = a/2 exp-a2/(22 )， a(t)0 f() = 1/(2)，0, 2 - 一维瑞利分布 f(a,) = f(a)* f() - 幅相函数 = a/(22)exp-a2/(22 )；（a(t)0）,3.6 正弦波加窄带高斯随机过程,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波。有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。,正弦波加窄带高斯随机过程,例：接收信号实际上是信号与噪声的合成。设合成信号为r(t) r(t) = s(t)+ n(t)= Acos(ct+) + n(t)其中n(t) = nc(t)cosct-ns(t)sinct 是窄带高斯过程，则均值为零，方差为2；在(0,2)上均匀分布的随机变量，振幅A和中心频率c为常数。 s(t)实际上为随相信号。 r(t) = Acos+nc(t) cosct - Asin+ns(t) sinct = z(t)cosct+ (t) 其中包络函数z(t) = zc2(t) + zs2(t) , z(t)0；其同相分量和正交分量为 zc(t) = Acos + nc(t); zs(t) = Acos + ns(t)相位函数(t) = arctanzs(t)/zc(t), 0, 2,正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性,包络的概率密度函数 f (z)利用前面的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为,正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性,利用前面分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间的随机变量关系可以求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数然后求给定条件下的边际分布， 即,正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性,由于故有式中 I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数因此由上式可见，f (, z)与无关。,正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性,故的包络z的概率密度函数为称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。 I0(0) = 1； I0(x)= exp(x)/2x(x1),结论：,正弦波加窄带高斯随机过程的包络函数服从广义瑞利分布（莱斯分布），其概率密度函数为： f(z)=z/2exp-(z2+A2)/(22)I0(Az/2); z0其中I0(x)=1/(2)20exp(xcos)d为零阶修正贝塞尔函数， I0(0) = 1。若A = 0（或低信噪比，Az/20），则f(z)为瑞利分布为 f(z)=z/2exp-z2/(22) 。若(Az/2) 1（即高信噪比），利用前面公式，则f(z)近似为均值为A，方差为2的高斯分布为 f(z)= 1/(2) exp-(z-A)2/(22) 。,结论：,信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。 小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下，才是莱斯分布。,广义瑞利分布（莱斯分布）f(z)曲线：,A2/22实际上是信号平均功率与窄带高斯随机过程平均功率之比。,相位函数的概率密度函数：,f()= 20 f(|) f()d，其相位变化规律图示见P56。正弦波加窄带高斯随机过程的相位函数的概率密度函数比较复杂，它也与信噪比有关。当低信噪比时，则f()近似为均匀分布。当高信噪比时，则f()主要集中在信号的相位附近。,正弦波加窄带高斯噪声的相位统计特性,3.7 周期函数平稳随机过程,数字基带信号s(t)随机过程可表示为： s(t)=an gT (t-nTs) 其中an 为平稳随机序列（0/1序列）， gT (t)为发送符号（0/1）波形均值：Es(t) =E(an) gT (t-nTs) 为周期函数，与时间t有关自相关函数：R(t+nTs,t+nTs,)=R(t, t+) ，与时间间隔有关s(t) 的均值和自相关函数是时间的周期函数。s(t)不是平稳随机过程，为周期函数，属于循环平稳随机过程，可以在周期内求平均值。,3.8 白噪声white noise：WN ，理想的宽带过程,白噪声：是理想的宽带随机过程（通信系统噪声模型），其功率谱密度在整个频域内是均匀分布的。双边谱密度：P() = n0/2 W/Hz （n0是常数，-f+），R(t) = n0/2 (t) 。单边谱密度：P() = n0 W/Hz （n0是常数，0f+），R(t) = n0(t) 。只是理想化的噪