边界层运动微分方程ppt课件.pptx
2.9边界层运动微分方程,本节将以平壁层流为例，建立边界层运动微分方程，并根据布拉修斯相似原理讨论其分析解。,2.9.1边界方程的推导,普朗特充分运用了边界层很薄这一特性，通过分析N-S方程中各项数量级，并忽略高阶小量，大大简化了N-S方程，导出了边界层微分方程，成功地解决了边界层的定量计算。 下面先让我们以x方向N-S方程为例，回忆一下N-S方程都有哪些项。,惯性力,体积力,压力,黏性力,量级比较,方程中的变量y限制在边界层之内，满足不等式0y。也就是说，y与为同一量级，记为：y。与x 方向的距离相比要小很多，即 是小量。符号表示数量级相同。 下面估算（2-186）中各项的量级。 在壁面上，ux=0；在边界层的外缘ux具有u0的量级，此处u0是主流速度（来流速度）。当y由0变到时，ux由0变到u0，所以有：,2-187a,2-187b,量级比较,1、假定流体沿x方向的直线边界流动并形成边界层，其厚度为。2、假定平板无限宽，流速在z方向无变化。3、在边界层流动中，重力的影响可忽略不计，即忽略体积力。 则N-S方程可以简化为如下形式：,2-186a,2-186b,量级比较,同理，沿x方向有：由二维连续性方程 ，可得：,2-188a,2-189,2-188b,量级比较,比较（2-187a）、（2-188a）和（2-189）可得： 即：在壁面上uy=0,并根据边界层内uy的量级，从而得一下（2-191）式：,2-190,2-191c,2-191b,2-191a,量级比较,比较式（2-186a）中各项的量级，有：显然，方程中的 与 相比可以忽略，故式（2-186a）简化为：,2-186a,量级比较,在边界层内，黏性力与惯性力应有相同量级，故两者之比应近似为1，即：由此可以得出：,2-192,惯性力,黏性力,压力,2-193,2-194,量级比较,式（2-194）表明，层流边界层厚度的量级大小等于 或再分析式（2-186b）,其各项的量级如下：至此，（2-186）格式的量级已经写出，让我们对比来看看：,2-186b,2-192,2-186b,简化后的N-S方程量级比较,惯性力,压力,黏性力,量级比较,惯性项 和 为同一量级，但不同于 及 的量级，两者相差 倍，是一个小量；至于 ，一般可以认为具有惯性项的量级，即 。于是，式（2-186b）左端三项均系小量，可以忽略。另一方面， 与 相比也可以忽略，故式（2-186b）就简化为：,2-195,量级比较,式（2-195）表明，压力与y无关，只是x的函数。因此在y方向上，边界层内压力不变，等于边界层外缘处的压力。事实上，通过势流理论计算得到的边界层外缘处压力，与实验测得的物体表面的压力吻合，也可证明（2-195）式的正确性。此式颇为重要，据此可直接根据欧拉方程计算边界层外缘处压力，获得边界层中的压力。,边界层方程,经量级比较，式（2-186）的两个方程只留下一个，其中有两个未知数ux和uy，假定压力已经预先确定，再加上二维连续性方程 对于稳态流动， ， 写成方程式（2-186）简化为： 式（2-196）为普朗特边界层运动微分方程，适用于平壁稳态不可压缩流体流动。不适用与平壁前缘。,2-196,边界层条件,边界层方程的边界条件是： 根据布拉修斯原理可以求解边界层方程，得出ux(x,y),uy(x,y)和p(x,y),再按牛顿黏性定律，就可以得出边壁上的剪应力和摩擦阻力。,2-198b,2-198a,边界条件,2.9.2边界层方程的精确解布拉修斯相似原理,图2-33为平壁边界层流动示意图，边界层外主体流速为u0，图中示出了相距x的两截面的速度分布曲线，前已诉及，边界层中的压力p与y无关，故p1=p2,p3=p4。因点2和4均处于边界层以外，故p2和p4的关系符合伯努利方程：,2-199,边界层方程的精确解,式中，u2和u4分别为点2和点4处的速度，显然有：将式（2-200）带入式（2-199）得：由此可得：,2-200,2-201a,2-201b,边界层方程的精确解,式（2-201）表明，在边界层内，压力不随x而变，即：故普朗特边界层方程最终可以简化为：,2-202,2-203,边界层方程的精确解,由于随x而逐渐变大，每一个x处都存在相应的速度分布曲线，且具有共同特征：壁面速度为零，边界层外缘速度为u0。也就是说它们是相似的。 布拉修斯首先观察到这一特征，并假设在距平壁前缘不同的x距离处，速度分布的形状是相似的，即：该式即为布拉修斯相似原理的数学式。,2-204,边界层方程的精确解,将式（2-194）代入（2-204）可得：式（2-205）右侧的量为x和y的函数，可用(x,y)表示，即：由上诉两式可知， 和(x,y)相似，即存在某种函数关系：,2-205,2-206,边界层方程的精确解,故可得： 或 由此可见，通过引进量纲为一的变量，已使两个独立自变量x,y合二为一。考虑到流函数与两个因变量ux与uy有关，但是有量纲的，故还需寻找一个量纲为一的流函数将ux和uy统一起来。 前已知，流函数的定义式为：,2-207,2-109a,2-109b,边界层方程的精确解,将流函数定义式代入式（2-207）可得：积分式（2-208）得：将式（2-206）对y求导，得：,2-208,2-209,2-210,边界层方程的精确解,将式（2-210）代入式（2-209），经整理得： 虽然无法获知式中积分项的具体函数形式，但可以推知它必为的函数，故可令： 即将式（2-211）代入式（2-212）得： 量纲为一的流函数,2-211,2-212,2-213,边界层方程的精确解,由此可得速度分量ux和uy分别是：,2-214a,2-214b,边界层方程的精确解,ux和uy的一阶导数和二阶导数分别为：,2-215a,2-215b,2-215c,2-215,边界层方程的精确解,将上式各式代入(2-203) 得：经简化后，得关于f()的微分方程为：,2-216,2-217,边界层方程的精确解,相应的边界条件变为： 由此可知，经过上述相似变换，普朗特边界层方程已由二阶非线性偏微分方程转换成三阶非线性常微分方程。结合式（2-218）所示的三个边界条件，可获得f()的精确解。,2-218b,边界条件,2-218a,边界层方程的精确解,因方程（2-217）是非线性的，难以直接获得精确解。布拉修斯用幂级数将其解表达为：式中，a0,a1,a2.为待定系数，根据边界条件加以确定。将式（2-219）依次对求一阶导数、二阶导数和三阶导数，得：,2-219,2-220a,2-220b,2-220c,边界层方程的精确解,将边界条件f(0)=0代入式（2-219），得a0=0。将边界条件f(0)=0代入式（2-220a），得a1=0。在此基础上，将式（2-219）、（2-220b）、（2-220c）代入（2-217），合并同类项，得： 式（2-221）是一恒等式，因其右侧为零，故左侧多项式中各项的系数均为零，得：由此可得：,2-221,2-222,2-223,边界层方程的精确解,式（2-223）表明，除了为零得系数以外，所有非零项系数均可表达为a2的函数。将各系数代入式（2-219），得：式中系数a2可根据边界条件f()=1,采用数值计算法确定，结果为将a2值代入式(2-224),可得f()的表达式为：该式即为普朗特边界层方程精确解，又称布拉修斯精确解。,2-224,2-225,2-226,边界层方程的精确解,至此，我们已求出边界层方程精确解，它适用于平板壁面上不可压缩流体的层流流动。再加上推导时的简化过程，我们可以得出此方程的几个适用条件： 1、平板壁面 2、不可压缩流体 3、稳态流动 4、层流流动 由于式（2-226）为无穷级数之代数和，为方便起见，研究者们已将式（2-226）列成表格，参加附录2。,边界层方程精确解适用条件,边界层内速度分布函数,在壁面附近（1），由式（2-214） 可得壁面附近速度的近似表达式：,2-214,速度近似表达式,2-227a,2-227b,边界层厚度,在y=时，ux=0.99u0。由ux=u0f()，可知f()=0.99,查表可得所对应的=5.0，于是有：式（2-228）又可变形为：根据牛顿黏性定律可得壁面上的剪应力为：其中，f(0)=0.332。,2-228,2-229,2-230,摩擦阻力、摩擦因数或曳力因素,对于长为L，宽为b的平板，其一侧的摩擦阻力为：根据平壁摩擦因素或曳力因素定义，有： 上述分析和计算，对平板前缘附近，即L很小时是不适用的。这是由于此时不能满足建立边界层方程所作的假定 。,2-231,2-232,2.9.3位移厚度与动量厚度,图2-34(a)是边界层中的速度分布，边界层以外是势流，速度均一，直至边界。比较图2-34(a),(b)两种情况可见，由于边界层内速度减慢，与不存在边界层的情况相比，通过同样区域的质量流量减少。这种减少（或称“亏损”），相当于将势流流线向外推移了一段距离（图2-34c）称为位移厚度*，又称排挤厚度。使流过*的流量与因边界层所造成的流量亏损量相等，由此可决定*，即令图中阴影面积相等。,2.9.3位移厚度与动量厚度,或将式（2-226）代入式（2-233）可得平板壁面边界层位移厚度：,2-233,2-235,2.9.3位移厚度与动量厚度,类似的可以得到动量厚度的定义。由于边界层内速度减慢，相应地使动量减少。设想厚度为，运动速度为u0的流体，其动量等于边界层中损失的动量。边界层中的动量损失是 ，于是有： 或：,2-234,2.9.3位移厚度与动量厚度,将式（2-226）代入式（2-234）可得平板壁面边界层动量厚度： 由此可见，对于平板上的层流边界层，位移厚度约为边界层厚度的三分之一，动量厚度约为边界层厚度的13%。,2-236,2.9.4圆管进口段的流动,圆管进口段内发展着的流动和绕流时壁面附近的流动具有相似之处，因而分析进口段流动的特点和计算进口段的长度可以借助边界层理论。 进口段流动的发展： 进口处边界层厚度为零，沿管长厚度逐渐增加，离开圆管进口不同距离处的速度分布如图所示。沿流动方向压力降低，推动中心部分加速，存在着轴向速度梯度 。,2.9.3位移厚度与动量厚度,至压降与剪应力平衡，速度分布不再变化，边界层充满了整个流动截面，建立所谓充分发展了的流动。从管道进口到充分发展这一段距离称为进口段长度Le，此后的速度分布呈抛物线形充分发展形，有：,2-206,进口段的流动状态,当流率较小，充分发展后的流动是层流时，管道进口的形状，对于以后流动的影响不大。这时，不论进口处的流动是层流还是湍流，边界层中的流动通常是层流。 当管道内充分发展后的流动是湍流时，进口形状对下游的流动将产生重要影响。,进口段长度,分析进口段流动时，有两个不同含义的进口段长度，即： 1、发展速度分布所需的长度 2、壁面剪应力达到充分发展时所需的长度。 对于后者，流体进入管道时，壁面的速度梯度理论上为无穷大，在相当短的距离中，壁面附近流体的速度分布将变为有限值，因此，在进口附近的摩擦因素最高，然后逐渐减低为充分发展时的值，而形成充分发展了的速度分布则需要相当的长度。,进口段长度,计算进口段长度Le，可参照一下两式： 当Re2100时： 在湍流的情况下： 由于湍流边界层的厚度要比层流边界层的增长的快，因此，湍流时进口段比层流时短。当粗略计算时，可取层流进口段长度为100d，湍流为50d，d为管径。在许多工程应用中，进口效应在10d之外已然不显著，所以可以考虑Le10d。,2-237,2-238,进口段压降,由于进口段中的流体未充分发展。因而导致沿管长压降增加，此时，可用下式进行计算： 式中：流动作为充分发展时的摩擦阻力因素； m校正因素，工程上通常取m=1.31估算压降。,2-239,壁面剪应力,管壁面剪应力w决定于壁面速度分布曲线在壁面的斜率。充分发展后的速度分布不再变化，自然w也趋于常熟。进口处边界层厚度为零，w有最大值。随后向下游逐渐降低，这和压降变化相一致。,
